2023年新高考數(shù)學適應(yīng)試題及答案

數(shù)學

本試題卷共6頁，共22題.滿分150分，考試用時120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫

在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的

位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.若集合4={xeN*|x是4與10的公倍數(shù)},5={xeR|x2<1000},則4口8=

A.0B.{-20,20)C.{20}D.{20,30)

2,若復(fù)數(shù)z滿足(z-3)(z—5)+2=0,則zN=

A.4B.VF7C.16D.17

--1A.1cosa

3.已知tana=—,則---------=

cos(a+—)

A.-2V2B.-V2C.V2D.2V2

4.紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國，也叫甘薯、番薯等.紅薯耐旱耐脊、產(chǎn)量豐富,

曾于數(shù)次大饑荒年間成為不少人的“救命糧食”，現(xiàn)因其生食多汁、熟食如蜜，成為

人們喜愛的美食甜點.小澤和弟弟在網(wǎng)紅一條街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準備分

著吃，如圖，該紅薯可近似看作三部分：左邊部分是半徑為7?的半球；中間部分是底

面半徑為五、高為3R的圓柱；右邊部分是底面半徑為R、高為R的圓錐.若小澤準備

從中間部分的甲、乙、丙、丁四個位置選擇一處將紅薯掰成兩塊，且使得兩塊的體積

高三年級數(shù)學試卷第1頁共6頁

最接近，則小澤選擇的位置是

C.丙D.T

5.在\ABC中,45=2,BC=l,/ABC),若點加滿足兩=2就，則

3

AM-AC=

14

A.-D.-

23

6.c=e,則

1110

A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

7.已知隨機事件N,B,。滿足0〈尸(4)<1,O<P(S)<1,O<P(C)<1,則下列

說法錯誤的是

A.不可能事件0與事件4互斥

B.必然事件Q與事件A相互獨立

C.P(A\C)=P(AB|C)+P(AB|C)

D.若P(*B)=P(N|8),則尸(幺)=尸(彳)=；

x2V2

8.己知力是橢圓E:-y+2=l(a>b>0)的上頂點，點B,C是E上異于4的兩點,

abT

AJ8C是以4為直角頂點的等腰直角三角形.若滿足條件的A4SC有且僅有1個，則

橢圓￡離心率的取值范圍是

/

A[O,理B.0,D.0,

高三年級數(shù)學試卷第2頁共6頁

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

(1Y

9.已知數(shù)列{4}的前〃項和S“=--b則下列說法正確的有

<2/

A.{S.}是遞減數(shù)列B.{an}是等比數(shù)列C,an<QD.S〃+牝=1

且8七=工3。，動點F在線段

10.在正方體ABCD—4B]CQi中，點后在線段BD上,

2

上(含端點)，則下列說法正確的有

A.三棱錐A-ADF的體積為定值

B.若直線EFH平面AB{D},則CF=(CB]

C.不存在點F使平面DEF1平面BB&C

D.存在點F使直線EF與平面/8C。所成角為二

3

11.已知點P是曲線C:—+y24龍|+|川上的動點，點。是直線y=x+3上的動點,

點。是坐標原點，則下列說法正確的有

A.原點在曲線C上

B.曲線C圍成的圖形的面積為兀+1

C.過。(0,3)至多可以作出4條直線與曲線相切

D.滿足P到直線y=x+3的距離為孚的點有3個

12.聲音中包含著正弦函數(shù)，周期函數(shù)產(chǎn)生了美妙的音樂.若我們聽到的聲音的函數(shù)是

/(%)=gsin2x+；sin4x+\sin6x,則

A./(x)的最小正周期是71B./(、)是f(x)的最小值

C.X=A兀，左GZ是/(X)的零點D./(x)在(把，兀)存在極值

高三年級數(shù)學試卷第3頁共6頁

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若平面上有7條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點，則共有

個交點(用數(shù)字作答).

14.若圓，+必+6%=0與圓A；?+/—2/町—16=0外離，則實數(shù)m的取值范圍

是一.

15.已知(1+4)”的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則正

整數(shù)"二.

16.某校采用分層隨機抽樣采集了高一、高二、高三年級學生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)

如下：

項目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差

高一100167120

高二100170150

高三100173150

則總的樣本方差$2=.

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知a,b,c分別為AASC的內(nèi)角力，B,。的對邊，且cosC+百sinC=*.

a

(1)求4；

(2)若a=2,A43C的面積為G，求b,c.

高三年級數(shù)學試卷第4頁共6頁

18.(12分)

已知數(shù)列缶“｝滿足%=1,a2=l,見一4_】=鞏_2523,〃wN*),S“表示數(shù)列

｛勺｝的前〃項和.

⑴求證：%=凡_2+1；

(2)求使得烏--1之一匚成立的正整數(shù)左(左23,keN*)的最大值.

19.(12分)

“惟楚有材”牌坊地處明清貢院舊址，象征著荊楚仕子朱衣點額的輝煌盛況和江城文

脈的源遠流長.某學生隨機統(tǒng)計了來此參觀的100名游客，其中40名女性中有30名

在“惟楚有材”牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照.

(1)用女性拍照的頻率估計概率，若再來4名女性(是否拍照互相之間不影響)中

至少有2名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；

(2)根據(jù)小概率值。=0.001的獨立性檢驗，分析游客在“惟楚有材”牌坊下拍照是

否與性別有關(guān).

2

皿“2n(ad-bc)廿4於」

附：K---------------------------,其中k=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.0050.001

即2.7063.8416.6357.87910.828

高三年級數(shù)學試卷第5頁共6頁

20.(12分)

在三棱錐P-4BC中，PC=AB=AC=—BC=\＞尸C_L平面N3C.點〃■是

2

棱P/上的動點，點N是棱8c上的動點，且尸M=CN=x(0<x<血).

5

(1)當=時，求證：MNLAC,

2

(2)當朋N的長最小時,

21.(12分)

已知點4(a，-1)是拋物線。：/=2戶5>0)上一點，斜率為2的動直線/交。于

M,N(異于4)的兩點，直線NM,ZN的傾斜角互補.

(1)求拋物線。的方程;

(2)若MN=M,求sin/M4N.

22.(12分)

己知函數(shù)f(x)=a"與g(x)=logax(a>0,且aH1).

(1)求g(x)在(1,g(l))處的切線方程；

(2)若。>1,旗x)=/(x)-g(x)恰有兩個零點，求a的取值范圍.

高三年級數(shù)學試卷第6頁共6頁

選擇題

題號123456789101112

選項CDDBCADBABCABACDACD

三、填空題

13.2114.（-00,-2V10）U（2V10,+oo）15.14或2316.146

三、解答題

17.

解：（1）由正弦定理得：cosC+KsinC=sinB+sinC,

sin力

故sinAcosC+行sin4sinC=sin5+sinC,

由5=7i-Z—C,得：sinB=sin（7r-A-C）=sin（^+C）=sinAcosC4-cossinC,代

入上式，于是J^sin/sinC=cos4sinC+sinC,

由Cw（0,兀），得sinCwO,從而上式消去sinC得J5sin4=cos4+1,

JT7T|

于是2sin（4-一）=1,即sinQ--）=-,

662

故/一IT上=TT'+2而或/—TT2=H>7T+2E,左eZ,結(jié)合/w（0,兀）得/=T—T.........（5分）

66663

（2）由A48c的面積為道得：-Z）csin^=V3,代入力=工得：bc=4①

23

由余弦定理得/=/-26ccosZ,代入。=2/c=4,/=工得：b24-c2=8②

3

由①②解得b=c=2.................................................（10分）

18.

解：（1）證明：由一=?！癬2得

a“一%=4-2

a?-l-an_2=an_3

*一。"-3=4-4

a3-a2=at

累加得+a1+…+q=

an-a2=an_2+a—S?_2

高三數(shù)學參考答案及評分細則第1頁（共5頁）

于是an=Sn_2+a2=Sn_2+1......................................（6分）

（2）解：由4=%=1，4=。”-2+4-i得：對任意〃wN*,an=an_2+an_x>0,進而

an-%=a?_2>0,故數(shù)列｛a“｝單調(diào)遞增,

由（1）可知a“=s,.2+i，故衛(wèi)一一1=」一=」一>0,于是只需求使得一1—〉一1-

SfSk_2ak-\ak-\100

最大的正整數(shù)左，從而只需求使得%<101最大的正整數(shù)h

由q=%=1，%=%-2+列舉得：q=1,4=L%=2,4=3,%=5,4=8,%=13,

as=21,生）=34,a］。=55,。“=89,tz12=144,

結(jié)合數(shù)列｛a,J單調(diào)遞增，于是使得強.<101最大的正整數(shù)上為11...........（12分）

19.

303

解：（1）用女性拍照的頻率估計概率，每位女性拍照的概率2=京=彳，

因為女性是否拍照互相之間不影響，所以4名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照相互獨立,

于是拍照的女性人數(shù)為2名、3名、4名，

當拍照的女性人數(shù)為2名時，概率為］（）=^,

當拍照的女性人數(shù)為3名時,

概率為啕卷，

當拍照的女性人數(shù)為4名時,

至少2名女性拍照的概率為里+小+生243

由加法原理,（6分）

256256256~256...........

（2）列出列聯(lián)表入如下:

男性女性合計

拍照203050

不拍照401050

合計6040100

零假設(shè)4°：游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別無關(guān).

力100x（20x10-30x40）2

K~=---------------—?16.667>10,828

60x40x50x503

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別有關(guān).

高三數(shù)學參考答案及評分細則第2頁（共5頁）

..............................................(12分)

20.

解：(1)證明：在平面N6C內(nèi)過點。作CQ_L/C,使得點。與點8在ZC同側(cè)，

由PCJ_平面Z8C,CQu平面48C,/。匚平面/8。，故PC，/C,PCJ_CQ,

結(jié)合CZ>_LZC,故尸C,ZC,C。兩兩垂直.

以。為原點，分別以C4,C0,C0為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，則

C(0,0),J(l,0,0),P(0,0,l).

由AB=/C=迎8C得+=8。2,

2

故Z8J.2C,ZU8C為等腰直角三角形.

同理，A4PC為等腰直角三角形.于是8點坐標為8(1,1,0).

11

當》=*-時，AM=—AP,CN=—CB,故〃,N分別是ZP,CB中點，

222

????_??_

M(-,0,-),MN=(0,--),CA=(1,0,0),

■*JJ

W-CJ=0xl+-x0一一x0=0,故MNJ.ZC................................................(4分)

22

(2)由(1)可得4(l,0,0),P(0,0,l),8(U,0),A4BC,4tpe為等腰直角三角形

72V2V2V2

故Mx,0,l——x),N(-^-x,x,0)

MN2=[-x-^x\+1?！?/p>

—x2—AX+1,

2/2

I2JI2J2

7

當》=①時，MN最小,此時",N分別是ZP,C6中點，于是

——11—?11——?11—?11

CM=(5,O,5),CN==(--,o,-),^=(--,-,0)

設(shè)平面CWN的法向量為a=(X],y,Z|),平面ZA/N的法向量為尸=。2，%/2)，

11

--

玉

+馬

a±CM.,Ior-CM=0220x,+z.=0

一___，故〈______11'1

--

a1CN[a?CN=0M+乂司+必=0

220{

取X1=-1可得平面CNN的一個法向量為2=(-1,1,1)，

高三數(shù)學參考答案及評分細則第3頁(共5頁)

________________j_1_

BLAMa-CM=0-7X2+-z2=0n—f-x,+z,=0

_°,則22，整理得《22,

[Pi-AN[a-CN=O_LX2+Ly2=o[-x2+^2=0

取0=一1可得平面力皿的一個法向量為/=QU），

設(shè)二面角A-MN-C的平面角大小為0，則cos6=%=一

\a\-\p\V3-V33

故二面角4一MN—C的余弦值為！........................................（12分）

3

解：（1）由直線MN的斜率為2,設(shè)直線〃N:x=gy+m,A/區(qū),乂）,"（々,%）（王<々），

y2=2px

直曲聯(lián)立《1消去x得：y~-py-1pm=0,A=p2+Spm>0,m>---,

x=—y+m

%+為=P

由韋達定理得:

,凹歹2=一22〃

由直線的傾斜角互補且",N為不同兩點，故直線的斜率均存在，分另IJ

記為kAM,孰，則G=左出+應(yīng)=j0一+廠總+1—=0，

x.1-a2a1,1,

-yx-\-m-a-y2^-m-a

-~——=--~-2.+l——，整理得：,夕2+（乂+乃）（加一。+；）+2加一2a=0,

代入"[必+乃一?得：-2/wj+p加一pa+』p+2加-2a=0,（2-p>+-p-2a--=0.

〔必為=-2p/n222

,1

由點4（。,一1）是拋物線C：/=2Px（p>0）上一點，2年=1,a=——，代入上式消去。得:

2P

（2-p）m+-p----^0,整理得：（2—p）（加—四）=0,故2=2,a=1

2P22p4

故拋物線方程為歹2=4x...........................................（6分）

%+%=2

（2）由（1）可得

為必=-4w

高三數(shù)學參考答案及評分細則第4頁（共5頁）

故IMN\=J(X]-X2『+(必一%)2=J(1+J)[(M+%)2-4必必]=J(1+；)(4+16m)=V5'

?]—,,3

故加=0,滿足A>0,于是"(0,0),N(l,2),AM=(一一,1),ZN=(2,3),