計(jì)算機(jī)控制技術(shù)狀態(tài)反饋

計(jì)算機(jī)控制技術(shù)狀態(tài)反饋2023/6/251第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)狀態(tài)反饋及極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定2023/6/252第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五將系統(tǒng)每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。一、狀態(tài)反饋反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋、輸出反饋原受控系統(tǒng)：線性反饋規(guī)律：2023/6/253第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：反饋增益矩陣：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：

一般D=0，可化簡(jiǎn)為：狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2023/6/254第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五極點(diǎn)配置：通過反饋增益矩陣F的設(shè)計(jì)，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在z平面期望的位置上。二、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法1、極點(diǎn)配置算法(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。1）直接法求反饋矩陣F（維數(shù)較小時(shí)，n≤3）定理：(極點(diǎn)配置定理)對(duì)線性定常系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點(diǎn)得到任意配置的充要條件是：狀態(tài)完全能控。注意：矩陣的特征值就是所期望的閉環(huán)極點(diǎn)。對(duì)不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。2023/6/255第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望特征多項(xiàng)式。(4)由確定反饋矩陣K：[例1]考慮線性定常系統(tǒng)其中：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為-2±j4和-10。[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性2023/6/256第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，可任意進(jìn)行極點(diǎn)配置。（2）計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為：（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式2023/6/257第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五由得（4）確定F陣求得：所以狀態(tài)反饋矩陣K為：[例2]對(duì)如下的線性定常系統(tǒng)，討論狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)的影響[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性由對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)可知，特征值為－1的狀態(tài)不能控。(2)假如加入狀態(tài)反饋陣F，得到反饋后的特征多項(xiàng)式為：2023/6/258第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五從中可以看出，對(duì)于－1的極點(diǎn)，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過f2去影響2這個(gè)極點(diǎn)。即狀態(tài)反饋對(duì)不能控部分狀態(tài)，不能任意配置其極點(diǎn)。求將相等繁瑣，所以引入第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法。2）第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時(shí)，n>3）1、首先將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型2、求出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài)下的狀態(tài)反饋矩陣2023/6/259第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五證明：原系統(tǒng)：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/6/2510第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五第二能控標(biāo)準(zhǔn)型：此時(shí)的系統(tǒng)不變量和原系統(tǒng)相同。能控標(biāo)準(zhǔn)型下狀態(tài)反饋后系統(tǒng)矩陣：[第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式]2023/6/2511第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

與理想極點(diǎn)多項(xiàng)式

比較，有第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：2023/6/2512第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣若給定狀態(tài)方程已是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，那么，無需轉(zhuǎn)換第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，求反饋增益矩陣K的步驟：2023/6/2513第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五(3)根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望的特征多項(xiàng)式：(4)直接寫出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解期望的閉環(huán)極點(diǎn)有時(shí)直接給定；有時(shí)給定某些性能指標(biāo)：如超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間等）2023/6/2514第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五重新求解前面例1：（2）計(jì)算原系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：[解]：（1）可知，系統(tǒng)已經(jīng)是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型了，故系統(tǒng)能控，此時(shí)變換陣（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式（4）確定F陣所以狀態(tài)反饋矩陣K為：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的狀態(tài)反饋矩陣為：2023/6/2515第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五3）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數(shù)較大時(shí)，n>3）為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：其中是在期望極點(diǎn)多項(xiàng)式中以G代λ,得到的矩陣多項(xiàng)式：推導(dǎo)過程：略此方法也非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解2023/6/2516第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五用愛克曼公式，重新求解前面例1：[解]：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)：所以：（2）確定2023/6/2517第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五（3）所以狀態(tài)反饋矩陣F為：2023/6/2518第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五期望極點(diǎn)選取的原則：1）n維控制系統(tǒng)有n個(gè)期望極點(diǎn)；2）期望極點(diǎn)是物理上可實(shí)現(xiàn)的，為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)；3）期望極點(diǎn)的位置的選取，需考慮它們對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系。4）離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點(diǎn)收斂慢，對(duì)系統(tǒng)性能影響最大，遠(yuǎn)極點(diǎn)收斂快，對(duì)系統(tǒng)只有極小的影響。2、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)的選取2023/6/2519第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五輸出反饋及極點(diǎn)配置輸出到參考輸入的反饋狀態(tài)反饋（與古典控制反饋相同）輸出到狀態(tài)微分的反饋（極點(diǎn)配置）2023/6/2520第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五輸出反饋兩種方式：輸出到輸入的反饋/輸出到狀態(tài)微分的反饋原受控系統(tǒng)：一、輸出到參考輸入的反饋將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。輸出反饋控制規(guī)律：輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/6/2521第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五輸出反饋增益矩陣：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：結(jié)論3：由于反饋引自系統(tǒng)輸出，所以不影響系統(tǒng)的可觀測(cè)性。古典控制中常采用的反饋形式。結(jié)論1：當(dāng)HC＝K時(shí)，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價(jià)。即對(duì)于任意的輸出反饋系統(tǒng)，總可以找到一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)反饋。故輸出到參考輸入的反饋不改變系統(tǒng)的能控性。結(jié)論2：由于輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，所以輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，適合工程應(yīng)用，性能較狀態(tài)反饋差。2023/6/2522第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五原受控系統(tǒng)：二、輸出到狀態(tài)微分的反饋將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的負(fù)反饋系數(shù)，饋送到狀態(tài)微分處。輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2023/6/2523第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五定理證明方法1：若系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)，則其對(duì)偶系統(tǒng)狀態(tài)能控，根據(jù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)特性，對(duì)偶系統(tǒng)矩陣特征值可以任意配置，而的特征值和一致。所以當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)可觀時(shí)，極點(diǎn)可任意配置定理：輸出到狀態(tài)微分的反饋，其極點(diǎn)任意配置條件為原系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)。定理證明方法2：系統(tǒng)能觀測(cè)，則化為第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。第二能觀標(biāo)準(zhǔn)型：2023/6/2524第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型下輸出到狀態(tài)微分的反饋系統(tǒng)矩陣反饋后，仍然為第二能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。其輸出到狀態(tài)微分的反饋系統(tǒng)特征方程為：由于反饋陣可以任意選擇，所以特征值可以任意配置。引入反饋陣：極點(diǎn)配置方法：同狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。結(jié)論：輸出到狀態(tài)微分的反饋不該變系統(tǒng)能觀性，不改變系統(tǒng)零點(diǎn)。任意配置后，零極點(diǎn)對(duì)消可能導(dǎo)致能控性發(fā)生變化。2023/6/2525第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下（2）設(shè)輸出反饋矩陣為H（根據(jù)BHC和B、C的維數(shù)，可知H為常數(shù)），加輸出到參考輸入的反饋后，系統(tǒng)矩陣為

[解]：（1）系統(tǒng)特征方程為：（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加輸出到參考輸入的反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？（3）加輸出到狀態(tài)微分的反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？（4）加狀態(tài)反饋則又如何？特征值為，系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。2023/6/2526第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五H無論取何值，都不能使系統(tǒng)的特征根都位于左半S平面，因此加輸出反饋不能使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。特征方程為設(shè)輸出反饋矩陣為（注意，此時(shí)H陣不再是實(shí)數(shù)，而是一列向量，根據(jù)A－HC來判斷維數(shù)），加輸出到狀態(tài)微分的反饋后，系統(tǒng)矩陣為

特征方程為（3）系統(tǒng)能觀測(cè)，所以輸出到狀態(tài)微分的反饋可以任意配置極點(diǎn)。2023/6/2527第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五（4）系統(tǒng)能控，加入狀態(tài)反饋可以任意配置極點(diǎn)。設(shè)反饋陣為，加狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：通過k1和k2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。說明：輸出反饋兩種形式對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的影響差別很大，輸出反饋和狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)的作用是不同的。通過h1和h2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。2023/6/2528第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五[本節(jié)小結(jié)]：1、輸出到參考輸入的反饋:閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：特性：1）當(dāng)HC＝K時(shí)，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價(jià)。2）輸出到參考輸入的反饋不改變系統(tǒng)的能控性。3）由于反饋引自系統(tǒng)輸出