高考數(shù)學(xué)專題：導(dǎo)數(shù)大題專練附答案

高考數(shù)學(xué)專題：導(dǎo)數(shù)大題專練附答案一、解答題1．設(shè)函數(shù).(1)令，以其圖象上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值.2．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．3．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)在區(qū)間的極值；(2)若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)5．已知函數(shù)(1)若時(shí)，恒成立，求a的取值范圍；(2)當(dāng)，時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：6．已知：.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線的斜率為的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，成立，求實(shí)數(shù)m的范圍7．設(shè)函數(shù)，其中(1)當(dāng)時(shí)，討論單調(diào)性；(2)證明：有唯一極值點(diǎn)，且.8．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求整數(shù)a的最大值．9．已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；10．已知函數(shù).(1)若，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【參考答案】一、解答題1．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到，在上恒成立，利用分離參數(shù)法得到，即可求解；（2）把題意轉(zhuǎn)化為有唯一實(shí)數(shù)解.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算得到.設(shè)函數(shù)，由是增函數(shù)，且，得到，即，即可解出m.(1)所以，在上恒成立，所以對(duì)于,所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以.(2)因?yàn)榉匠逃形ㄒ粚?shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解.設(shè)，則令，得因?yàn)椋裕ㄉ崛ィ?，，?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取最小值.因?yàn)橛形ㄒ唤?，所?則即所以因?yàn)椋?設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解.因?yàn)?，所以方程的解為，即，解?【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．(1)；(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，計(jì)算和，再由點(diǎn)斜式代入寫出切線方程；（2）設(shè)，由題意得，，將證明轉(zhuǎn)化為證明，令，即證，令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可證明.(1)由題意，，則，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.(2)設(shè)，由題意，，所以，可得，，要證明，只需證，即，因?yàn)?，所以可轉(zhuǎn)化為證明，即，令，則，即證，令，則，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即得證，所以.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）先討論的單調(diào)性再確定在上的極值（2）利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為求出，代入恒成立的不等式中，用分離參數(shù)法求的取值范圍(1)在區(qū)間上，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令得，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增.若，即，則在區(qū)間上極小值若或，即或，則在區(qū)間上無(wú)極值(2)因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)可知滿足題意由已知，即，即對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.4．(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）（2）（3）由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合求導(dǎo)的乘除法則求各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1).(2).(3).5．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】，，設(shè)，求導(dǎo)得，分與兩類討論，即可求得a的取值范圍；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)，則，要證，只需證，而，只需證明，再構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，通過求導(dǎo)分析即可證得結(jié)論成立．(1)，，即，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，與已知矛盾．綜上所述，a的取值范圍是(2)證明：當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，則，要證，只需證，在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需證又，只需證明，設(shè)，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即成立，原不等式成立，即成立．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接可得切線方程；（2）恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值情況.(1)當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)為，故，解得，故，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程，即；(2)當(dāng)時(shí)，成立，即恒成立，設(shè)，，，因?yàn)椋屎愠闪?，則在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，即，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，，恒成立，則在上單調(diào)遞減，所以，即，所以存在，使，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，即，設(shè)，，恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，即，所以，綜上所述，.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）首先確定定義域，再應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而分區(qū)間判斷的符號(hào)，即可確定的單調(diào)性.（2）求的二階導(dǎo)，根據(jù)其符號(hào)知在上單調(diào)遞增，令得到，構(gòu)造結(jié)合其單調(diào)性，注意利用導(dǎo)數(shù)研究的符號(hào)，再用放縮法判斷、的符號(hào)，即可判斷零點(diǎn)的唯一性，進(jìn)而得到，結(jié)合基本不等式求證.(1)當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t，，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由題意，，，則在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，于是，令，則，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，令，則在上單調(diào)遞增.故，又，所以在上有唯一零點(diǎn)，則有唯一零點(diǎn)，即有唯一極值點(diǎn).下證：因?yàn)?，所以，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上，有唯一極值點(diǎn)且，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)所得的等量關(guān)系構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的唯一性，進(jìn)而利用基本不等式證明不等式.8．(1)答案見解析(2)4【解析】【分析】（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）由恒成立分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍，從而求得整數(shù)的最大值.(1)

①當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上恒增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上恒增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)，由于，，，，

令，，由于，則，故單調(diào)遞增，，，所以存在使得，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；那么，，故，由于為整數(shù)，則的最大值為4.【點(diǎn)睛】求解含參數(shù)不等式恒成立問題，可考慮分離常數(shù)法，然后通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得參數(shù)的取值范圍.9．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）分離變量可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得的取值范圍.(1)，，又，在處的切線方程為；(2)當(dāng)時(shí)，由得：，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問題；解決恒成立問題的基本思路是采用分離變量的方式，將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間關(guān)系