2021年湖南省益陽(yáng)市驛市中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021年湖南省益陽(yáng)市驛市中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集U=R,集合，則集合等于(

)A.

B.C.

D.參考答案：C略2.執(zhí)行右圖所給的程序框圖，輸出的S的值等于(

)A.17

B.25

C.26

D.37參考答案：C略3.已知某空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為如圖所示的等腰直角三角形，如果該直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體外接球的表面積是

A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：D4.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.已知,且,成等比數(shù)列,則xy(

)A.有最大值e

B.有最大值

C.有最小值e

D.有最小值參考答案：C6.在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C解析：在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得個(gè)三角形，要得直角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)(即正方體的一邊與過此點(diǎn)的一條面對(duì)角線)，共有24個(gè)，得，所以選C。7.在空間中，若、表示不同的平面，、、表示不同直線，則以下命題中正確的有（

）①若∥，∥，∥，則∥②若⊥，⊥，⊥，則⊥③若⊥，⊥，∥，則∥④若∥，，，則∥A.①④

B.

②③

C.

②④

D.②③④參考答案：B8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A.試題分析：雙曲線的漸近線方程是，過右焦點(diǎn)分別作兩條漸近線的平行線和，由下圖圖像可知，符合條件的直線的斜率的范圍是.故應(yīng)選A.考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).9.已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像是（

）參考答案：A10.若定義在R上的二次函數(shù)在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

）A．

B．

C．

D．或參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若展開式中項(xiàng)的系數(shù)為－12，則a=

；常數(shù)項(xiàng)是

.

參考答案：2，60；12.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則_______。參考答案：13.已知等差數(shù)列=

.參考答案：26014.已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面米時(shí)，量得水面寬為米．則水面升高米后，水面寬是____________米（精確到米）．參考答案：15.若直線和函數(shù)的圖象恒過同一定點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，函數(shù)的解析式是________。參考答案：略16.為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，則

.參考答案：17.參數(shù)方程的普通方程為__________________。參考答案：解析：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：（）右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.（Ⅰ）求橢圓M的方程；（Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ABCD的對(duì)角線，求四邊形ABCD面積的最大值.參考答案：(Ι)（Ⅱ）【分析】(Ι)把右焦點(diǎn)代入直線方程可求出c，設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，利用“點(diǎn)差法”即可得出a,b的關(guān)系式，再與聯(lián)立即可求出a,b，進(jìn)而可得橢圓方程；(Ⅱ)由，可設(shè)直線CD方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系，即可得到弦長(zhǎng)，把直線，利用即可得到關(guān)于m的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出其最大值.【詳解】(Ι)設(shè)則，，（1）－（2）得：，因?yàn)椋O(shè)，因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，所以，即，所以可以解得，即，即，又因?yàn)?，所以，所以M的方程為.（Ⅱ）因?yàn)?，直線AB方程為，所以設(shè)直線CD方程為，將代入得：，即、，所以可得；將代入得：，設(shè)則=，又因?yàn)?，即，所以?dāng)時(shí)，|CD|取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題考查橢圓的方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法、設(shè)而不求思想，考查同學(xué)們的計(jì)算能力以及分析問題、解決問題的能力.圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)問題,年年必考,熟練本部分的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類問題的關(guān)鍵.19.

在中，已知，.（1）求的值；（2）若為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).參考答案：解：（1）三角形中,,所以B銳角--------3分w所以--------6分w(2)三角形ABC中，由正弦定理得,

，

--------9分w又D為AB中點(diǎn)，所以BD=7在三角形BCD中，由余弦定理得

w--------12分

略20.如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF∥CD，AD⊥FC．點(diǎn)M在棱FC上，平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N．（Ⅰ）求證：AD∥MN；（Ⅱ）求證：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通過證明AD∥BC，推出AD∥平面FBC，然后證明平AD∥MN．（Ⅱ）證明AD⊥CD，結(jié)合AD⊥FC，說明AD⊥平面CDEF，然后證明平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）說明DA，DC，DE兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，不妨設(shè)EF=ED=1，求出相關(guān)的坐標(biāo)，求出平面FBC的法向量，平面ADE的法向量，通過向量的數(shù)量積求解二面角A﹣l﹣B的平面角的大小即可．【解答】（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD∥BC，[]所以AD∥平面FBC．[]又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．（Ⅱ）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD⊥CD．因?yàn)锳D⊥FC，所以AD⊥平面CDEF．所以平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）解：因?yàn)镋A⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE兩兩互相垂直．建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．不妨設(shè)EF=ED=1，則CD=2，設(shè)AD=a（a＞0）．由題意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．設(shè)平面FBC的法向量為=（x，y，z），則即令z=1，則y=1．所以=（0，1，1）．又平面ADE的法向量為=（0，2，0），所以==．因?yàn)槎娼茿﹣l﹣B的平面角是銳角，所以二面角A﹣l﹣B的大小45°．21.設(shè)函數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在x軸上方，求a的最大值．參考答案：（Ⅰ）a=e；（Ⅱ）a的最大值為2e；【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)條件列方程解得a；（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與1大小分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值，最后根據(jù)最小值大于零，解得a的取值范圍，即得最大值.【詳解】（Ⅰ）∵，∴f'（x）=exa，∴f'（1）=ea，由題設(shè)知f'（1）=0，即ea=0，解得a=e．經(jīng)驗(yàn)證a=e滿足題意．（Ⅱ）令f'（x）=0，即ex=a，則x=lna，（1）當(dāng)lna＜1時(shí)，即0＜a＜e對(duì)于任意x∈（-∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減；對(duì)于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）有最小值為成立．所以0＜a＜e，（2）當(dāng)lna≥1時(shí)，即a≥e對(duì)于任意x∈（-∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，所以f（x）＞f（1）．因?yàn)閒（x）的圖象恒在x軸上方，所以f（1）≥0，即a≤2e，綜上，a的取值范圍為(0,2e],所以a的最大值為2e．【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.22.一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)袋子中的每一個(gè)球被摸到可能性是相等的。(Ⅰ)從袋子中任意摸出3個(gè)球，求摸出的球均為白球的概率；(Ⅱ)一次從袋子中任意摸出3個(gè)球，若其中紅球的個(gè)數(shù)多于白球的個(gè)數(shù)，則稱“摸球成功”(每次操作完成后將球放回)，某人連續(xù)摸了3次，記“摸球成功”的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）設(shè)從袋子中任意摸出3個(gè)球,摸出的球均為白球的概率是