數(shù)字圖像的傅里葉變換(經(jīng)典)

圖像的傅里葉變換

FourierTransformationForImage本文檔共72頁；當前第1頁；編輯于星期二\2點8分

時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

本文檔共72頁；當前第2頁；編輯于星期二\2點8分時間幅值頻率時域分析頻域分析信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

本文檔共72頁；當前第3頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第4頁；編輯于星期二\2點8分一維FT及其反變換連續(xù)函數(shù)f(x)的傅立葉變換F(u):傅立葉變換F(u)的反變換:本文檔共72頁；當前第5頁；編輯于星期二\2點8分一維DFT及其反變換離散函數(shù)f(x)(其中x，u=0,1,2,…,N-1)的傅立葉變換:F(u)的反變換的反變換:計算F(u)：在指數(shù)項中代入u=0，然后將所有x值相加，得到F(0)；2)u=1，復對所有x的相加，得到F(1)；3)對所有M個u重復此過程，得到全部完整的FT。本文檔共72頁；當前第6頁；編輯于星期二\2點8分離散傅里葉變換及其反變換總存在。用歐拉公式得每個F(u)

由f(x)與對應頻率的正弦和余弦乘積和組成；u值決定了變換的頻率成份，因此，F(xiàn)(u)覆蓋的域(u值)稱為頻率域，其中每一項都被稱為FT的頻率分量。與f(x)的“時間域”和“時間成份”相對應。本文檔共72頁；當前第7頁；編輯于星期二\2點8分傅里葉變換的作用傅里葉變換將信號分成不同頻率成份。類似光學中的分色棱鏡把白光按波長(頻率)分成不同顏色，稱數(shù)學棱鏡。傅里葉變換的成份：直流分量和交流分量信號變化的快慢與頻率域的頻率有關。噪聲、邊緣、跳躍部分代表圖像的高頻分量；背景區(qū)域和慢變部分代表圖像的低頻分量本文檔共72頁；當前第8頁；編輯于星期二\2點8分二維DFT傅里葉變換一個圖像尺寸為M×N的函數(shù)f(x,y)的離散傅立葉變換F(u,v):F(u,v)的反變換:本文檔共72頁；當前第9頁；編輯于星期二\2點8分二維DFT傅里葉變換(u,v)=(0,0)位置的傅里葉變換值為即f(x,y)的均值，原點(0,0)的傅里葉變換是圖像的平均灰度。F(0,0)稱為頻率譜的直流分量(系數(shù))，其它F(u,v)值稱為交流分量(交流系數(shù))。本文檔共72頁；當前第10頁；編輯于星期二\2點8分

二維連續(xù)傅里葉變換1）定義2）逆傅里葉變換3）傅里葉變換特征參數(shù)頻譜/幅度譜/模能量譜/功率譜相位譜本文檔共72頁；當前第11頁；編輯于星期二\2點8分傅里葉變換中出現(xiàn)的變量u和v通常稱為頻率變量，空間頻率可以理解為等相位線在x,y坐標投影的截距的倒數(shù)。xy0XY相應的空間頻率分別為

對圖像信號而言，空間頻率是指單位長度內(nèi)亮度作周期性變化的次數(shù)。思考：噪聲、線、細節(jié)、背景或平滑區(qū)域?qū)目臻g頻率特性？本文檔共72頁；當前第12頁；編輯于星期二\2點8分傅里葉變換的意義傅里葉變換好比一個玻璃棱鏡棱鏡是可以將光分成不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長決定。傅里葉變換可看做是“數(shù)學中的棱鏡”，將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。一些圖像的傅里葉變換本文檔共72頁；當前第13頁；編輯于星期二\2點8分

是g(x,y)的頻譜，物函數(shù)g(x,y)可以看作不同方向傳播的單色平面波分量的線性疊加。為權重因子。空間頻率表示了單色平面波的傳播方向。對于xy平面上一點的復振幅分布g(x,y)可由逆傅里葉變換表示成：本文檔共72頁；當前第14頁；編輯于星期二\2點8分

二維離散傅里葉變換1）定義2）逆傅里葉變換離散的情況下，傅里葉變換和逆傅里葉變換始終存在。本文檔共72頁；當前第15頁；編輯于星期二\2點8分例

設一函數(shù)如圖（a）所示，如果將此函數(shù)在自變量并重新定義為圖（b）離散函數(shù)，求其傅里葉變換。取樣（a）（b）本文檔共72頁；當前第16頁；編輯于星期二\2點8分xy1-1j-j本文檔共72頁；當前第17頁；編輯于星期二\2點8分圖像的頻譜幅度隨頻率增大而迅速衰減

許多圖像的傅里葉頻譜的幅度隨著頻率的增大而迅速減小，這使得在顯示與觀察一副圖像的頻譜時遇到困難。但以圖像的形式顯示它們時，其高頻項變得越來越不清楚。解決辦法：對數(shù)化本文檔共72頁；當前第18頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第19頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第20頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第21頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第22頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第23頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第24頁；編輯于星期二\2點8分25本文檔共72頁；當前第25頁；編輯于星期二\2點8分26本文檔共72頁；當前第26頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第27頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第28頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第29頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第30頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第31頁；編輯于星期二\2點8分主極大的值用Fmax表示，第一個旁瓣的峰值用Fmin表示本文檔共72頁；當前第32頁；編輯于星期二\2點8分例題：對一幅圖像實施二維DFT，顯示并觀察其頻譜。解：源程序及運行結果如下：%對單縫進行快速傅里葉變換，以三種方式顯示頻譜，%即：直接顯示（坐標原點在左上角）；把坐標原點平%移至中心后顯示；以對數(shù)方式顯示。f=zeros(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221),imshow(f,[]),title('單狹縫圖像')F=fft2(f);%對圖像進行快速傅里葉變換S=abs(F);subplot(222)imshow(S,[])%顯示幅度譜title('幅度譜（頻譜坐標原點在坐上角）')本文檔共72頁；當前第33頁；編輯于星期二\2點8分Fc=fftshift(F);%把頻譜坐標原點由左上角移至屏幕中央subplot(223)Fd=abs(Fc);imshow(Fd,[])ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:))%ratio=2.3306e+007,動態(tài)范圍太大，顯示器無法正常顯示title('幅度譜（頻譜坐標原點在屏幕中央）')S2=log(1+abs(Fc));subplot(224)imshow(S2,[])title('以對數(shù)方式顯示頻譜')運行上面程序后，結果如下：本文檔共72頁；當前第34頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第35頁；編輯于星期二\2點8分

二維離散傅里葉變換的性質(zhì)

線性性證明：本文檔共72頁；當前第36頁；編輯于星期二\2點8分%imagelinear.m%該程序驗證了二維DFT的線性性質(zhì)f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg');g=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.30(a).jpg');[m,n]=size(g);f(m,n)=0;f=im2double(f);g=im2double(g);subplot(221)imshow(f,[])title('f')subplot(222)imshow(g,[])title('g')本文檔共72頁；當前第37頁；編輯于星期二\2點8分F=fftshift(fft2(f));G=fftshift(fft2(g));subplot(223)imshow(log(abs(F+G)),[])FG=fftshift(fft2(f+g));title('DFT(f)+DFT(g)')subplot(224)imshow(log(abs(FG)),[])title('DFT(f+g)')本文檔共72頁；當前第38頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第39頁；編輯于星期二\2點8分

可分離性二維DFT可視為由沿x,y方向的兩個一維DFT所構成。其中：本文檔共72頁；當前第40頁；編輯于星期二\2點8分例題：編程驗證二維離散傅里葉變換可分離為兩個一維離散傅里葉變換。解：%myseparable.m%該程序驗證了二維DFT的可分離性質(zhì)%該程序產(chǎn)生了岡薩雷斯《數(shù)字圖像處理》（第二版）%P125圖4.4本文檔共72頁；當前第41頁；編輯于星期二\2點8分f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg');subplot(211)imshow(f,[])title('原圖')F=fftshift(fft2(f));subplot(223)imshow(log(1+abs(F)),[])title('用fft2實現(xiàn)二維離散傅里葉變換')[m,n]=size(f);F=fft(f);%沿x方向求離散傅里葉變換G=fft(F')';%沿y方向求離散傅里葉變換F=fftshift(G);subplot(224)imshow(log(1+abs(F)),[])title('用fft實現(xiàn)二維離散傅里葉變換')本文檔共72頁；當前第42頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第43頁；編輯于星期二\2點8分

平移性證明：（1）頻域移位

本文檔共72頁；當前第44頁；編輯于星期二\2點8分結論：即如果需要將頻域的坐標原點從顯示屏起始點（0，0）移至顯示屏的中心點只要將f(x,y)乘以(-1)x+y因子再進行傅里葉變換即可實現(xiàn)。例題：利用(-1)x+y對單縫圖像f(x,y)進行調(diào)制，實現(xiàn)把頻譜坐標原點移至屏幕正中央的目標。當本文檔共72頁；當前第45頁；編輯于星期二\2點8分解：完成本題的源程序為：%在傅里葉變換之前，把函數(shù)乘以(-1)x+y，相當于把頻譜%坐標原點移至屏幕窗口正中央。f(512,512)=0;f=mat2gray(f);[Y,X]=meshgrid(1:512,1:512);f(246:266,230:276)=1;g=f.*(-1).^(X+Y);subplot(221),imshow(f,[]),title('原圖像f(x,y)')subplot(222),imshow(g,[]),title('空域調(diào)制圖像g(x,y)=f(x,y)*(-1)^{x+y}')F=fft2(f);subplot(223),imshow(log(1+abs(F)),[]),title('f(x,y)的傅里葉頻譜')G=fft2(g);subplot(224),imshow(log(1+abs(G)),[]),title('g(x,y)的傅里葉頻譜')本文檔共72頁；當前第46頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第47頁；編輯于星期二\2點8分（a）在[0N-1]周期中有兩個背靠背半周期（b）同一區(qū)間內(nèi)有一個完整的周期

這就意味著，坐標原點移到了頻譜圖像的中間位置，這一點十分重要，尤其是對以后的圖像顯示和濾波處理。本文檔共72頁；當前第48頁；編輯于星期二\2點8分例題：利用(-1)x對f(x)曲線進行調(diào)制，達到平移頻域坐標原點至屏幕正中央的目的。%以一維情況為例，說明空域調(diào)制對應著頻域坐標原點移位。f(1:512)=0;f(251:260)=1;%產(chǎn)生寬度為10的窗口函數(shù)subplot(221),plot(f),title('寬度為10的窗口函數(shù)')F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換，延拓周期周期為512subplot(222)plot(abs(F))%繪幅度頻譜（頻譜坐標原點在左邊界處）title('幅度譜（頻譜坐標原點在左邊界處）')x=251:260;f(251:260)=(-1).^x;%把曲線f(x)乘以(-1)^x，可以把頻譜

%坐標原點移至屏幕正中央subplot(223),plot(f),title('寬度為10的調(diào)制窗口函數(shù)')本文檔共72頁；當前第49頁；編輯于星期二\2點8分F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換subplot(224);plot(abs(F))%直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標原點在正中央）title('幅度譜（頻譜坐標原點在中央）')figuref(1:512)=0;f(251:270)=1;%產(chǎn)生寬度為20的窗口函數(shù)subplot(221),plot(f),title('寬度為20的窗口函數(shù)')F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換，延拓周期周期為512subplot(222)plot(abs(F))%繪幅度頻譜（頻譜坐標原點在左邊界處）title('幅度譜（頻譜坐標原點在左邊界處）')x=251:270;f(251:270)=(-1).^x;%把曲線f(x)乘以(-1)^x，可以把頻譜坐標原點移至屏幕正中央subplot(223),plot(f),title('寬度為20的調(diào)制窗口函數(shù)')F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換subplot(224);plot(abs(F))%直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標原點在正中央）title('幅度譜（頻譜坐標原點在中央）')本文檔共72頁；當前第50頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第51頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第52頁；編輯于星期二\2點8分（2）空域移位：本文檔共72頁；當前第53頁；編輯于星期二\2點8分

周期性和共軛對稱性

周期性：共軛對稱性：本文檔共72頁；當前第54頁；編輯于星期二\2點8分證明：（1）周期性：(2)共軛對稱性：本文檔共72頁；當前第55頁；編輯于星期二\2點8分

旋轉不變性

證明：本文檔共72頁；當前第56頁；編輯于星期二\2點8分注：為看清問題的實質(zhì)、簡化旋轉不變性的證明，以上用二維連續(xù)傅里葉變換進行證明。實際上，由連續(xù)積分公式進行離散化處理，即可得到離散公式，證明可參照連續(xù)情況進行。本文檔共72頁；當前第57頁；編輯于星期二\2點8分f=zeros(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221);imshow(f,[])title('原圖')F=fftshift(fft2(f));subplot(222);imshow(log(1+abs(F)),[])title('原圖的頻譜')f=imrotate(f,45,'bilinear','crop');subplot(223)imshow(f,[])title('旋轉45^0圖')Fc=fftshift(fft2(f));subplot(224);imshow(log(1+abs(Fc)),[])title('旋轉圖的頻譜')本文檔共72頁；當前第58頁；編輯于星期二\2點8分本文檔共72頁；當前第59頁；編輯于星期二\2點8分

離散卷積定理例1

求以下兩個函數(shù)的卷積1）連續(xù)卷積本文檔共72