高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)化

高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)課件最優(yōu)化第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.1微積分第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)D是一個(gè)非退化的實(shí)值區(qū)間—在此區(qū)間上,f是二次可微的.如下的1至3闡述是等價(jià)的:1.f是凹的.2.f(x)≤0,xD.3.對(duì)于一切x0D,f(x)≤f(x0)+f(x0)(x-x0)4.如果f(x)<0,xD,那么,f是嚴(yán)格凹的.0yx0xxl0l1圖A2.3曲率與二階導(dǎo)數(shù)定理A2.1凹性與一階和二階導(dǎo)數(shù)2023/6/263第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.1.2多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可以定義為：nnniiinxftgtRttzxftgxffxzzzzhxxfxhxxfxxfxfxxfy1111)()(0.)()()(),...(),...(),..,...,(lim)(),,...(iniizxfg1)()0(=?=￠==?+==-+=??=右邊項(xiàng)便是f在x點(diǎn)處沿z方向上的方向?qū)?shù)。g′(0)=f(x)z時(shí)，，這里定義設(shè)函數(shù)為：開(kāi)始發(fā)生怎樣的變化。由的值將會(huì)，的方向偏離點(diǎn)設(shè)關(guān)于令偏導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率我們還必須要研究沿某一方向的導(dǎo)數(shù),這就是方向?qū)?shù)2023/6/264第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到2023/6/265第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六故有方向?qū)?shù)2023/6/266第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六梯度的概念2023/6/267第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六zf??有最大值.

2023/6/268第八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六結(jié)論2023/6/269第九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六梯度與等高線的關(guān)系：2023/6/2610第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.2楊格定理梯度取梯度=海賽矩陣?yán)}A2.2考慮函數(shù)f(x1,x2)=x1x22+x1x2,驗(yàn)證楊格定理對(duì)于二次連續(xù)可微函數(shù)f(x)2023/6/2611第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.3單變量與多變量的凹性設(shè)f是一個(gè)定義在Rn的凸子集上的實(shí)值函數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)xD與每個(gè)非零的zRn,函數(shù)g(t)=f(x+tz)在tRx+tzD上是(嚴(yán)格)凹的.那么,f是(嚴(yán)格)凹的.證明1:設(shè)f是一個(gè)凹函數(shù).令xD且zRn,我們要證明g(t)=f(x+tz)在C=tRx+tzD上是凹的.即要證明:g(αt0+(1-α)t1)≥αg(t0)+(1-α)g(t1)(P.1)2023/6/2612第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六C是一個(gè)凸集,使得g(αt0+(1-α)t1)Cg(αt0+(1-α)t1)=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))≥αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z)(f是凹的)=αg(t0)+(1-α)g(t1)=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))2023/6/2613第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六證明2:g是凹的,證明f是凹的y0

=x+t0zy1

=x+t1zf(αy0+(1-α)y1)=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)=g(αt0+(1-α)t1)≥αg(t0)+(1-α)g(t1)(g是凹的)=αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z)=αf(y0)+(1-α)f(y1)(f是凹的)2023/6/2614第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.4關(guān)于多變量函數(shù)的斜率,曲率與凹性設(shè)D是Rn一個(gè)凸子集,在此集的一個(gè)非空的內(nèi)部,f是二次連續(xù)可微的.如下三個(gè)命題是等價(jià)的:1.f是凹的.2.對(duì)于D中的所有x,H(X)是負(fù)正定的.3.對(duì)于一切x0D,f(x)≤f(x0)+f(x0)(x-x0),xD.此外,4.如果對(duì)于D中所有x,H(x)是負(fù)定的,那么,f是嚴(yán)格凹的.2023/6/2615第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于f是二次連續(xù)可微的,它足以在D內(nèi)建立定理.連續(xù)性將關(guān)注邊界點(diǎn).因此,xintD與zRn.設(shè)C={tRx+tzR},并設(shè)對(duì)于所有tC,g(t)=f(x+tz).注意g承襲f的二次連續(xù)可微性.定理A2.4證明現(xiàn)在,設(shè)1成立,f是凹的.g在C是也是凹的g(t)≤0,tC(P.1)根據(jù)A2.1根據(jù)A2.3g(t)≤g(t0)+g(t0)(t-t0)t0,tC(P.2)根據(jù)P.1g(t)=f(x+tz)z(P.3)為充分利用這些結(jié)論,我們計(jì)算g和f的一階和二階導(dǎo)數(shù)根據(jù)P.1為充分利用這些結(jié)論,我們計(jì)算g和f的一階和二階導(dǎo)數(shù)2023/6/2616第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六iniiztzxftzxfg?=+=+?=￠1)()(為計(jì)算g(t),最簡(jiǎn)單的方法是將g(t)寫成對(duì)右邊的式子微分,fi(x+tz)關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)正好是fi在x+tz點(diǎn)沿z方向?qū)?shù)—它可以寫成此式可以改寫為注意0C，依據(jù)（P.1）g(0)≤0。由于（P.4），這意味著這意味著H(x)是負(fù)半定的,122023/6/2617第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.5凹性,凸性與關(guān)于變量本身的二階便偏導(dǎo)數(shù)設(shè)f:DR是一個(gè)二次可微函數(shù).1.如果f是凹的,那么,x,fii(x)≤0,i=1,…,n.2.如果f是凸的,那么,x,fii(x)≥0,i=1,…,n.2023/6/2618第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.1.3、齊次函數(shù)例子A.2.3:柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（C-D），表示勞動(dòng)和資本在產(chǎn)出中的貢獻(xiàn)額度2023/6/2619第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六，表示勞動(dòng)和資本在產(chǎn)出中的貢獻(xiàn)額度2023/6/2620第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六因此把柯布－道格拉斯函數(shù)為：這說(shuō)明，生產(chǎn)要素投入量增加的倍數(shù)與產(chǎn)量增加的倍數(shù)是相同的。大致為１，因此把柯布－道格拉斯函數(shù)看成為線性齊次生產(chǎn)函數(shù)2023/6/2621第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.6齊次函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)如果f(x)是k次齊次函數(shù),那么它的偏導(dǎo)數(shù)將是k-1次齊次函數(shù).證明:設(shè)f(x)是k次齊次函數(shù),f(tx)=tkf(x),t>0(P.1)xixftkxtkfxtxitxfxixitxtxftxfxiii??=????=????=??)())(()()())(((P.3)2023/6/2622第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定會(huì)等于(P.3),因此有:用t除兩邊得到:對(duì)于i=1,…,n,并且t>0,證明完畢.2023/6/2623第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.7歐拉定理歐拉定理證明:定義t的函數(shù)是十分有用的,g(t)f(tx),固定x,對(duì)t微分,有xxxixfxkfkxfnii對(duì)所有次齊次性的：是，當(dāng)且僅當(dāng)如下式子成立,)()()(1?=??=(p.2)在t=1時(shí):(p.3)2023/6/2624第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六證明必要性設(shè)f(x)是k次齊次,使得對(duì)一切t>0與任何x,f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我們有g(shù)(t)=tkf(x),求微分,g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1處取值.我們得到g(1)=kf(x).利用(P.3),得到(P.4)證明充分性為證明充分性,設(shè)(P.4)成立,在tx處取值得到:(P.5)給(P.2)式兩邊同乘t,同(P.5)相比較,發(fā)現(xiàn)tg(t)=kg(t)(P.6)2023/6/2625第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六考慮函數(shù)t-kg(t).如果對(duì)此求關(guān)于t的微分,得到:從(p.6)來(lái)看,它的導(dǎo)數(shù)必為零,因此,我們可以得出這樣結(jié)論,即對(duì)于一些常數(shù)c,t-kg(t)=c.為找到c,在t=1處求值并注意到g(1)=c.利用定義(P.1),得到c=f(x).我們知道,g(t)=tkf(x).再次把(P.1)代入,我們得到,對(duì)于所有x,則有f(tx)=tkf(x).2023/6/2626第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.2最優(yōu)化第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

設(shè)f(x)是一個(gè)二次可微的單變量函數(shù),那么f(x)將會(huì)獲得一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)值.1.在x*處有最大值f′(x)=0(FONC)

f(x)≤0(SONC)2.在x*處有最小值f′(x?)=0(FONC)

f(x?)≥0(SONC)定理A2.8單變量情形中局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的必要條件2023/6/2628第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理2.9實(shí)值函數(shù)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的一階必要條件如果可微函數(shù)f(x)在點(diǎn)x*處達(dá)到了一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)極大值或極小值,那么,x*為如下聯(lián)立方程組的解:2023/6/2629第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六證明:證明思路:我們?cè)O(shè)f(x)在x*處獲得了一個(gè)局部?jī)?nèi)部極值,并設(shè)法證明f(x*)=0.證明:選擇任意向量zRn,那么,對(duì)于任意標(biāo)量t,我們有:g(t)=f(x*+tz)(P.1)從(P.1)我們知道,g(t)不過(guò)是f(x)的另一種表現(xiàn)形式.t≠0時(shí),x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x*,因此,g(0)正好是f在x*處的值.已經(jīng)假設(shè)f在x*處取得極值,那么g(t)必定在t=0處獲得一個(gè)局部極值.那么,g(0)=02023/6/2630第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/2631第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.2.2二階條件實(shí)值函數(shù)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的二階必要條件設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的.1.如果在點(diǎn)x*處f(x)達(dá)到了一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)極大值,那么,H(X*)是負(fù)半定的.2.如果f(x)在點(diǎn)x?處達(dá)到了一個(gè)局部?jī)?nèi)點(diǎn)極小值,那么,H(X?)是負(fù)正定的.定理A2.102023/6/2632第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六或者H(X*)≤0,由于z是任意取的,這以為著H(X*)是負(fù)半定的.同理,如果在點(diǎn)x=x?處f被最小化,那么,g(0)≥0,使得,H(X?)是半正定的.定理A2.10證明設(shè)有(p.1)設(shè)f(x)在x=x*處取得最大值,根據(jù)定理A2.8必定有g(shù)(0)≤0.在點(diǎn)x*處或者在t=0處給(p.1)取值,2023/6/2633第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.11海賽矩陣負(fù)定與正定的充分條件設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的,并設(shè)Di(x)是海賽矩陣H(x)的第i階的主子式.1.如果(-1)iDi(x)>0,i=1,…n,那么,H(x)是負(fù)定的.2.如果Di(x)>0,i=1,…n,那么,H(x)是正定的.如果在定義域內(nèi),對(duì)所有x,條件1成立,那么f是嚴(yán)格凹的.如果在定義域內(nèi),對(duì)所有x,條件2成立,那么f是嚴(yán)格凸的.2023/6/2634第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.11海賽矩陣負(fù)定與正定的充分條件證明證明思路:借助定理A2.4的第四條(如果對(duì)于D中所有x,H(x)是負(fù)定的,那么,f是嚴(yán)格凹的.)將定理A2.12轉(zhuǎn)化為矩陣的主子式改變符號(hào)是負(fù)定的,全為正為正定的.(P.2)2023/6/2635第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/2636第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.12實(shí)值函數(shù)局部?jī)?nèi)點(diǎn)最優(yōu)化的充分條件設(shè)f(x)是二次連續(xù)可微的,則:1.如果fi(x*)=0,(-1)iDi(x)>0,i=1,…n,那么,f(x)在x*處將會(huì)獲得一個(gè)局部極大值2.如果fi(x?)=0并且Di(x?)>0,i=1,…n,那么,f(x)在x?處將會(huì)獲得一個(gè)局部極小值2023/6/2637第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/2638第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.13(無(wú)約束的)局部與全局最優(yōu)化設(shè)f(x)是D上一個(gè)二次連續(xù)可微的實(shí)值凹函數(shù).這里,點(diǎn)x*是D的一個(gè)內(nèi)部點(diǎn),那么如下三個(gè)命題等價(jià):1.f(x*)=02.在x*處f獲得一個(gè)局部極大值.3.在x*處f獲得一個(gè)全局極大值.證明:顯然,32,并依A2.9,21,因此,只需證明13由1.假設(shè),f(x*)=0,由于f是凹的,定理A2.4蘊(yùn)涵對(duì)于定義域的所有x,f(x)≤f(x*)+f(x*)(x-x*)結(jié)合假設(shè):f(x)≤f(x*)所以,f在x*處達(dá)到全局最大值.2023/6/2639第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.14嚴(yán)格凹性/凸性與全局最優(yōu)化的唯一性1.如果x*最大化了嚴(yán)格凹函數(shù)f,那么,x*是唯一全局最大化值點(diǎn).例如,設(shè)f(x*)>f(x),xD,xx*.2.如果x?最小化了嚴(yán)格凹函數(shù)f,那么,x?是唯一全局最小化值點(diǎn).例如,設(shè)f(x?)<f(x),xD,xx*.證明:用反證法.如果x*是函數(shù)f的全局最大值點(diǎn),但x*不唯一,存在x≠x*使得f(x)=f(x*).如果,設(shè)xt=tx+(1-t)x*,那么,根據(jù)嚴(yán)格凹性,f(xt)>tf(x)+(1-t)f(x*),t(0,1)

由于,f(x)=f(x*),f(xt)>tf(x)+(1-t)f(x),即f(xt)>f(x),這與假設(shè)x是f的一個(gè)全局最大值的假設(shè)矛盾,因此,嚴(yán)格凹函數(shù)的任何全局最大值必是唯一的.2023/6/2640第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理A2.15唯一全局最優(yōu)化的充分條件設(shè)f(x)是D上一個(gè)二次連續(xù)可微的.1.如果f(x)是嚴(yán)格凹的,并且fi(x*)=0,i=1,…,n;那么,x*是f(x)的唯一全局最大化值點(diǎn).2.如果f(x)是嚴(yán)格凸的,并且fi(x?)=0,i=1,…,n;那么,x?是f(x)的唯一全局最小化值點(diǎn).2023/6/2641第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.3約束最優(yōu)化Maxf(x1,x2),受約束于g(x1,x2)=0x1,x2目標(biāo)函數(shù)選擇變量約束集或者可行集求解方法:代入法1.x2=g?(x1)2.Maxf(x1,g?(x1))2023/6/2642第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.4拉格朗日方法x1,x2Maxf(x1,x2),受約束于g(x1,x2)=0L(x1,x2,)f(x1,x2)+

g(x1,x2)定理A2.16拉格朗日定理2023/6/2643第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.3.6庫(kù)恩—塔克條件x1,x2Maxf(x1,x2),受約束于g(x1,x2)≥0L(x1,x2,)f(x1,x2)+

g(x1,x2)非線性規(guī)劃問(wèn)題庫(kù)恩—塔克條件:f1+g1=0f2+g2=0g(x1,x2)=0g≥0,g(x1,x2)≥02023/6/2644第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.20受不等式條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的(庫(kù)恩—塔克)必要條件2023/6/2645第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.4值函數(shù)xMaxf(x1,x2),受約束于g(x,a)=0,且x≥0M(a)=maxf(x,a),受約束于g(x,a)=0,x≥0x2(a)x1(a)x2x1L(y*):y*=f(x(a)a)圖A2.10:在約束條件g(x,a)=0限定下的f(x,a)的最大值2023/6/2646第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六A2.21包絡(luò)定理2023/6/2647第四十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六集合論的基本概念和基本結(jié)論定義域：凸集連續(xù)函數(shù)f關(guān)系二元關(guān)系完備性傳遞性D是開(kāi)集，f-1(B)是開(kāi)集偏好關(guān)系拓?fù)淇臻g度量空間歐氏空間值域：逆象f-1(S)開(kāi)集閉集緊集緊集的象是緊集BrouwerfixedpointTheoremsS是緊切且凸，f連續(xù)，則f(x*)=x*A是一個(gè)凸集擬凹函數(shù)

f是凹函數(shù)2023/6/2648第四十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六微積分與最優(yōu)化單變量函數(shù)凹性與一、二階導(dǎo)數(shù)等價(jià)命題：f是凹的f′(x)0f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)若f是嚴(yán)格凹的嚴(yán)格不等式成立多變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)梯度f(wàn)(x)=(f1(x),…,fn(x))

f11(x),…,f1n(x)f21(x),…,f2n(x)

…………….fn1(x),…,fnn(x)H(x)=海賽矩陣對(duì)稱性Young′Theorem2f(x)/[xixj]=

2f(x)/[xj

xi]海賽矩陣齊次函數(shù)凸集、斜率與凹性的等價(jià)命題D是凸的H(x)是半負(fù)定的f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)歐拉定理Kf(x)=f(x)*xi/xi2023/6/2649第四十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六X*=f(x*1,x

*2,…x

*n)是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)[一階條件]X*是一個(gè)相對(duì)極大值X*是一個(gè)絕對(duì)極大值d2x在x*為負(fù)定[二階充分條件]d2x在x*為負(fù)定[二階必要條件]X*是唯一的絕對(duì)極大值f是凹的f是嚴(yán)格凹的d2x在x*為半負(fù)定d2x處處為負(fù)定2023/6/2650第五十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六最優(yōu)化無(wú)約束最優(yōu)化有約束最優(yōu)化單變量X*處最大值f′(x)=0(FONC)