《探索勾股定理》（北師大）

第一章·勾股定理探索勾股定理（一）畢達(dá)哥拉斯（公元前572—前497年），古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。（一）新知引入黑白相間的地磚相傳兩千多年前，古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來。原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了。原來，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。數(shù)學(xué)小故事

（一）新知引入ABABCC（二）自主探索一A的面積(單位

面積)B的面積(單位

面積)C的面積(單位

面積)圖1圖2圖3

A、B、C

面積

關(guān)系1124489918SA+SB=SCa2+b2=c2請(qǐng)你數(shù)一數(shù)圖中正方形A、B、C各占多少個(gè)小格子？完成表格，探究規(guī)律。圖1圖2圖3直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系圖2圖1A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）圖1圖2

A、B、C

面積

關(guān)系割補(bǔ)思想（二）自主探索二你還能數(shù)出圖中正方形A、B、C各占多少個(gè)小格子嗎？完成表格，探究規(guī)律。169254913SA+SB=SCa2+b2=c2直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系（二）自主探索三a2+b2=c2？勾股弦《周髀算經(jīng)》勾廣三股修四徑隅五（三）歸納結(jié)論直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、b、c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。勾股定理：（四）實(shí)踐應(yīng)用一，定理應(yīng)用1.在△ABC中，∠C=90°。若a=6，b=8，則

c=

。

2.在△ABC中，∠C=90°。若c=13，b=12，則

a=

。3.若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長的平方為（

）

A25B14C7D7或25105D實(shí)踐應(yīng)用二：探索情境1.如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面9米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處。大樹在折斷之前高多少？實(shí)踐應(yīng)用二：探索情境2.某樓發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大樓6米的地方搭建云梯，升起云梯到達(dá)火災(zāi)窗口。已知云梯長10米，問發(fā)生火災(zāi)的窗口距離地面多高？（不計(jì)消防車的高度）1.你這節(jié)課的主要收獲是什么？2.該定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關(guān)系？3.在探索和驗(yàn)證定理的過程中，我們運(yùn)用了哪些方法？4.你最有興趣的是什么？你有沒有感到困難的地方？

（五）回顧反思，提煉精華實(shí)踐應(yīng)用三：拓展提高1.小明媽媽買來一部29英寸（74厘米）的電視機(jī),小明量了電視機(jī)的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了。你同意他的想法嗎？(582=3364462=211674.032≈5480)第一章·勾股定理探索勾股定理（二）導(dǎo)入新課

如圖，這是一幅美麗的圖案，仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)這幅圖中的奧秘嗎？帶著疑問我們來一起探索吧。講授新課勾股定理的初步認(rèn)識(shí)一問題1：觀察下面地板磚示意圖：

你發(fā)現(xiàn)圖中三個(gè)正方形的面積之間存在什么關(guān)系嗎？問題2：觀察右邊兩幅圖：

完成下表（每個(gè)小正方形的面積為單位1）。A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

怎樣計(jì)算正方形C的面積呢？9

16

9

方法一：割方法二：補(bǔ)方法三：拼分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形。補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積。將幾個(gè)小塊拼成若干個(gè)小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形。分析表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。（1）你能用直角三角形的兩直角邊的長a，b和斜邊長c來表示圖中正方形的面積嗎？根據(jù)前面的結(jié)論，它們之間又有什么樣的關(guān)系呢？

abcabc想一想a2+b2=c2（2）以5cm、12cm為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測量斜邊的長度。（1）中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍成立嗎？

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊那么a2+b2=c2

勾股定理

要點(diǎn)歸納我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名。名字的由來在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長度（口答）：

已知直角三角形兩邊，求第三邊。練一練例求斜邊長為17cm、一條直角邊長為15cm的直角三角形的面積。解：設(shè)另一條直角邊長是xcm.由勾股定理得:152+x2=172，x2=172-152=289–225=64，解得x=±8（負(fù)值舍去），所以另一直角邊長為8cm，

故直角三角形的面積是:

(cm2)利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算二當(dāng)堂練習(xí)1.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

。8cm10cm36cm22.判斷題

①△RtABC的兩直角邊AB=5,AC=12,則斜邊BC=13()②△ABC的兩邊a=6,b=8,則c=10()3.填空題在△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,則△ABC的面積為_____,斜邊上的高CD為______?！?44.8ABCD4.一高為2.5米的木梯,架在高為2.4米的墻上(如圖),這時(shí)梯腳與墻的距離是多少?ABC解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得：BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，所以BC=0.7答：梯腳與墻的距離是0.7米。課堂小結(jié)認(rèn)識(shí)勾股定理如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c

，那么a2+b2=c2

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算第一章·勾股定理探索勾股定理（三）導(dǎo)入新課觀察與思考

問題：請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形。

有不同的拼法嗎？講授新課勾股定理的驗(yàn)證一

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，驗(yàn)證的方法有400多種，你有自己的方法嗎？問題：上節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了勾股定理，你還記得它的內(nèi)容嗎？那么如何驗(yàn)證勾股定理呢？aaaabbbbcccc方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理。

驗(yàn)證方法一大正方形的面積可以表示為

也可以表示為(a+b)2c2+4?ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∵(a+b)2=

c2+4?ab/2∴a2+b2=c2

驗(yàn)證方法二：趙爽弦圖cabcabcabc大正方形的面積可以表示為

也可以表示為∵

c2=4?ab/2

+(b-a)2

=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2∴a2+b2=c2c24?ab/2+(b-a)2abc①②③④⑤

驗(yàn)證方法三課外鏈接

1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形……勾股定理的“總統(tǒng)”證法

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。

1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

美國總統(tǒng)證法bcabcaABCD議一議觀察下圖。用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2

。

勾股定理的簡單應(yīng)用二例1我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m。10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎?公路BCA400m500m解:由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300。敵方汽車10s行駛了300m,那么它1h行駛的距離為300×6×60=108000（m），即它行駛的速度為108km/h。當(dāng)堂練習(xí)在直角三角形中，滿足條件的三邊長可以是

(寫出一組即可)【解析】答案不唯一，只要滿足式子a2+b2=c2即可。答案：3，4，5（滿足題意的均可）2.飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂上方4km處，過了15s，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5km。這一過程中飛機(jī)飛過的距離是多少千米？解：在Rt△ABC中，答：飛機(jī)飛過的距離是3km4554CBA3.如圖，一根旗桿在離地面9m處折斷。旗桿頂部落在離旗桿底部12m處。旗桿原來有多高?12m9m解：設(shè)旗桿頂部到折斷處的距離為xm，根據(jù)勾股定理得解得x=15,15+9=24(m)。答：旗桿原來高24m。課堂小結(jié)探索勾股定理勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的簡單運(yùn)用請(qǐng)同學(xué)們畫四個(gè)與右圖全等的直角三角形，并把它剪下來。∟abc用這四個(gè)三角形拼一拼、擺一擺，看看是否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用它說明勾股定理嗎？并與同伴交流。cabcabcabcab∵c2=4?ab+(b-a)2

=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為也可以表示為c24?ab/2-(b-a)2∵(a+b)2=

c2+4?ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為也可以表示為cabcabcabcab(a+b)2c2+4?ab/2

在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形……“總統(tǒng)”證法勾股定理的

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。

1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

美國總統(tǒng)證法：bcabcaABCD例1

飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？4000500050004000CBA比比誰算得快

螞蟻沿圖中的折線從A點(diǎn)爬到D點(diǎn)，一共爬了多少厘米？（小方格的邊長為1厘米）DABCGFE1.下列陰影部分是一個(gè)正方形，求此正方形的面積。15厘米17厘米解：設(shè)正方形的邊長為x厘米,則x2=172-152x2=64答：正方形的面積是64平方厘米。練一練補(bǔ)充練習(xí)：1.放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿著東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎用20分鐘到家，小紅和小穎家的距離為（）A.600米B.800米C.1000米D.不能確定2.直角三角形兩直角邊分別為5厘米、12厘米，那么斜邊上的高是（）A.6厘米B、8厘米C.

80/13厘米D.

60/13厘米CD課堂練習(xí)：

一、判斷題1.ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13()2.ABC的a=6,b=8,則c=10()二填空題1.在

ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,則a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,則c=______.2.在

ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,則ABC面積為_____,斜邊為上的高為______。6841244.8小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了直角三角形的哪些知識(shí)？2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在解題思路和方法上有什么收獲？1.一輪船以16海里/小時(shí)的速度離A港向東北方向航行，另一艘輪船同時(shí)以12海里/小時(shí)的速度離A港向西北方向航行，2小時(shí)后，兩船相距多少海里？思考2.等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個(gè)三角形的面積。8X16-XDABC解：設(shè)這個(gè)三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為X，則AB為（16-X）由勾股定理得：X2+82=(16-X)2即X2+64=256-32X+X2∴X=6∴S?ABC=BC?AD/2=2?6?8/2=483.如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥ABD為垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm。求①△A