2023人教A版高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義

第五章三角函數(shù)

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1畫出下列函數(shù)的簡圖：

（1）y=1+sinx,xG[0,2K]；

(2)y=-cosx,xe[O,27t].

解：（1）按五個關(guān)鍵點列表:

兀3兀

X0兀2兀

2T

sinx010-10

1+sinx12101

描點并將它們用光滑的曲線連接起來（圖546）：

V

:

?+4"尤工WIP.2n]

J.

0JL兀、〃兀x

2、、、2X/

-1_、j?一,

y=sin.v.xE[p,2n]

圖5.4-6

(2)按五個關(guān)鍵點列表：

兀371

X0兀2兀

2~2

COSX10-101

-COSX-1010-1

描點并將它們用光滑的曲線連接起來（圖5.4-7）：

(1)y=3sinx,%eR；

(2)y=cos2x,XGR；

(3)y=2sin(gx-^),XGR.

分析：通常可以利用三角函數(shù)的周期性，通過代數(shù)變形，得出等式/(x+T)=/(x)而求

出相應(yīng)的周期.

對于(2),應(yīng)從余弦函數(shù)的周期性出發(fā)，通過代數(shù)變形得出cos2(x+T)=cos2x,

XGR;

對于(3),應(yīng)從正弦函數(shù)的周期性出發(fā)，通過代數(shù)變形得出

.1/丁、兀］.(1兀)?

sin-(x+T)--=sin-x--,XGR.

_26J12o)

解：(1)VxeR,有3sin(x+2兀)=3sinx.

由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2兀.

(2)令z=2x,由xeR得zeR，且V=cosz的周期為2兀，即cos(z+2n)=cosz,

于是cos(2x+2K)=coslx,

所以cos2(x+7t)=cos2x,xeR.

由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為兀.

1兀

（3）令z=-x——，由xeR得zeR，且y=2sinz的周期為2兀，即

26

2sin（z+2兀）=2sinz,

于是2sinf—x——+2兀）=2sinx——,

所以2sing（x+4兀）一巳=2sin[gx-[）.

由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為47r.

例3下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量x的集合，

并求出最大值、最小值.

（1）y=cosx+l,xeR；

（2）y=-3sin2x,XGR；

解：容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值

（1）使函數(shù)y=cosx+l,xeR取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y=cosx,xeR

取得最大值的x的集合｛x|x=2E,左eZ｝；

使函數(shù)y=cosx+l,xeR取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)y=cosx,xeR取得

最小值的x的集合｛x|x=（2左+1）兀，左eZ｝.

函數(shù)y=cosx+l,xeR的最大值是1+1=2；最小值是—1+1=0.

⑵令z=2x,使函數(shù)y=-3sinz,zwR取得最大值的z的集合，就是使y=sinz,

TT

ZGR取得最小值的之的集合Vz=--+2kjt,keZ\.

2

TTTT

由2x=z=——+2kn,得》=——+左兀.所以，使函數(shù)y=-3sin2x,xeR取得最大值

24

Tl

的X的集合是=一—+kst,kwZ>.

4

r'

7T

同理，使函數(shù)y=-3sin2x,xeR取得最小值的x的集合是=：+左eZ>.

4

函數(shù)y=-3sin2x,xeR的最大值是3,最小值是-3.

例4不通過求值，比較下列各組數(shù)大小:

分析：可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小.為此，先用誘導(dǎo)公式將已

知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大小.

TTTT7T

解：（1）因為—<----<----<0,

21018

兀

正弦函數(shù)），=sinx在區(qū)間一萬,0上單調(diào)遞增，所以sin>sin

7T37rTE37r

因為0＜一＜」＜兀，且函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,兀]上單調(diào)遞減，所以cos—＞cos—,

4545

例5求函數(shù)y=sin（gx+，xw[-271,2旭的單調(diào)遞增區(qū)間.

1兀

分析：令z=—X+2,xe[-2n,2n],當(dāng)自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若

23

函數(shù)y=sinz在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=sin（gx+；）在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單

調(diào)遞增.

1兀24

解：令2=-x+—,xe[-2兀,2兀],則zw一——.

247CTCjr17T7T

因為y=sinz,ze的單調(diào)遞增區(qū)間是一不，不，且由一一＜-%+-＜-,

33222232

得一2工元工工.

33

(]兀、57r兀

所以，函數(shù)y=sin|]X+5j,xe[-2兀,2兀]的單調(diào)遞增區(qū)間是--—,y

(TlTl\

例6求函數(shù)y=tan+的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間.

分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論.

JL

解：自變量元的取值應(yīng)滿足一%+—wE+—,keZ,

232

即%。2&+—,keZ.

3

所以，函數(shù)的定義域

3

兀71

設(shè)2=—x+—，又tan(z+7i)=tanz,

23

71兀)](7171、

—xH—+?！猼an—xH—,

K23jJ123；

7C/_\7T兀Tli

即tan—+2J+—=tan—九+—,

(23)

因為Vxex"2Z+'eZ都有3兀/\兀

一(x+2)d—

2V'3

所以，函數(shù)的周期為2

717C7C7T5!

由----卜ku<—xH—<—Fku,攵￡Z解得---F2Z<x<—卜2k,kGZ.

223233

因此，函數(shù)在區(qū)間(一|+2左,：+2斤)，左eZ上都單調(diào)遞增.

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

練習(xí)

437r

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=sinx,xi[0,2R,y=cosx,xw--,y的圖

象.通過觀察兩條曲線，說出它們的異同.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)五點作圖法畫出圖像，再直觀分析即可.

【詳解】解:可以用"五點法''作出它們的圖象，還可以用圖形計算器或計算機直接作出

它們的圖象，圖象如圖.兩條曲線的形狀相同，位置不同.

【點睛】本題主要考查了正余弦函數(shù)圖像之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.

2.用五點法分別畫下列函數(shù)在［-兀，兀］上的圖象:

⑴y=.sinx；

(2)y=2-cosx.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)五點作圖法的方法描點，再用光滑曲線連接起來即可.

【詳解】解：

7C71

-7171

X~20~2

y=-sinx010-10

y=2-cosx32123

【點睛】本題主要考查了五點作圖法的運用，屬于基礎(chǔ)題.

3.想一想函數(shù)y冒sinx|與y=sinx的圖象及其關(guān)系，并借助信息技術(shù)畫出函數(shù)的圖

象進行檢驗.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

分析可知當(dāng)y=sinx20時y=|sinx|與y=sinx的圖象相同，當(dāng)y=sinx<0時,

丁=|5出幻與》=411》的圖象關(guān)于》軸對稱，再分析即可二

【詳解】解:把y=sinx的圖象在軸下方的部分翻折到x軸上方，連同原來在x軸上方

的部分就是y=|sinx|的圖象，如圖所示.

【點睛】本題主要考查了絕對值圖像與原圖像之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.函數(shù)y=l+cosx,2萬)的圖象與直線yr。為常數(shù))的交點可能有

()

A.0個B.1個C.2個D.3個E.4個

【答案】ABC

【解析】

【分析】畫出y=l+cosx在的圖象，即可根據(jù)圖象得出.

【詳解】畫出y=l+cosx在萬J的圖象如下：

則可得當(dāng)/<0或d2時，y=l+cosx與y=，的交點個數(shù)為0；

3

當(dāng)t=0或「4/<2時，y=l+cosx與y=r的交點個數(shù)為1；

2

3

當(dāng)0</<彳時，y=l+cosx與y=r的交點個數(shù)為2.

2

故選：ABC.

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

練習(xí)

5.等式sin(-71+-2^、=sin冗^是否成立?如果這個等式成立，能否說士2不是正弦函數(shù)

163J63

y=sinx,xeR的一個周期?為什么？

【答案】見解析

【解析】

【分析】

sin[￡+：?]=sing成立，再利用函數(shù)的周期的定義說明不能說2乃是正弦函數(shù)

<63；63

y=sinx,xeR的一個周期.

【詳解】等式sin[m+]萬]=sin￡成立，但不能說多是正弦函數(shù)y=sinx,xeR的

kO37O3

一個周期.

因為不滿足函數(shù)周期的定義，即對定義內(nèi)任意x,sin[x+/-J不一定等于sinx,如

(712萬、7124

sin匕+彳JHsin7,所以可不是正弦函數(shù)y=sinx,xeR的一個周期.

【點睛】本題主要考查周期函數(shù)的定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水

平.

6.求下列函數(shù)的周期,并借助信息技術(shù)畫出下列函數(shù)的圖象進行檢驗：

3

(l)y=sin-x,xeR;

(2)y=cos4x,xeR;

,xeR;

(4)y=sinR.

【答案】(1)周期為亨.見解析⑵周期為不見解析⑶周期為乃?見解析(4)周期為6%.

見解析

【解析】

【分析】

利用周期函數(shù)的定義證明函數(shù)的周期，再作出函數(shù)的圖象得解.

【詳解】解:⑴因為y==sin3=sin(1+2萬卜sin.[+胤=f[x+同,

QJJ.

所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為7.函數(shù)的圖象如圖所示：

(2)因為y=/(x)cos4x=cos(4x+2")=cos4x+一

ir

所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為；.函數(shù)的圖象如圖所示:

2

⑶因為

“、1(^)1「乙乃、八］1「?、乃1”、

y=f(x)=—cos2x----=-cos2x+24=—cos2(1+4)-------=/(%+?)

(4)因為

y=/(x)=sin-x+—=sin-x+—+2萬=sin一(x+6zr)+—=f(x+6^),

、34)_\34,

所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為64.函數(shù)的圖象如圖所示:

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌

握水平.

7.下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)?哪些是偶函數(shù)?

⑴y=2sinx；

(2)y=1-cosx；

(3)>'=x+sinx；

(4)y=-sinxcosx.

【答案】⑴(3)(4)是奇函數(shù);⑵是偶函數(shù).

【解析】

【分析】

利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性.

【詳解】(l)/(x)=2sinx,函數(shù)的定義域為R,.?./(—x)=2sin(r)=-2sinx=—/(x),

所以函數(shù)是奇函數(shù)；

⑵/(x)=l-COSX,函數(shù)的定義域為R,.^./(-x)=l-cos(-x)=l-cosx=/1(x),

所以函數(shù)是偶函數(shù)；

(3)/(x)=x+sinx,函數(shù)的定義域為R,

/(—x)=-x—sinx=-(x+sinx)=—/(x),

所以函數(shù)是奇函數(shù)；

(4)/(x)=-sinxcosx,函數(shù)的定義域為R,

/(-%)=-sin(-x)cos(-x)=sinxcosx=-/(x)

所以函數(shù)是奇函數(shù).

【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握

水平.

8.設(shè)函數(shù)/(x)(xeR)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)xe[0,2]時，

/*)=。-1)2.求/(3),/(2的值.

【答案】/(3)=0,/^j=l

【解析】

【分析】

直接利用函數(shù)的周期求解.

【詳解】解:由題意可知,/(3)=/(2+1)=/(I)=(1-1)2=0;

【點睛】本題主要考查函數(shù)的周期性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

練習(xí)

9.觀察正弦曲線和余弦曲線,寫出滿足下列條件的x所在的區(qū)間：

(l)sinx>0;

(2)sinx<0;

(3)cosx>0;

(4)cos%<().

【答案】⑴(2左萬,2%)+4)(左eZ)；

(2)(2%7-乃,2k7r)(keZ)；

(3)(2后萬——,2k7r+萬'[("'eZ)；

(4)^2k7r+^,2k7r+^7r^(keZ)

【解析】

【分析】

觀察正弦曲線和余弦曲線得解.

【詳解】⑴sinx>0,觀察正弦曲線得xeQk兀,2k兀+兀)(kGZ)；

(2)sinx<0,觀察正弦曲線得xe(2左左-兀,2女4)(ZeZ)；

7171)

(2k兀一3,2k兀+3GZ)；

(4)cosx<0,觀察余弦曲線得xe[2k兀+2勿r+|TZ-WeZ).

【點睛】本題主要考查正弦曲線和余弦曲線的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理

解掌握水平.

10.求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合,并求出最大值、最小值.

⑴y=2sinx,xeR;

無

（2）^=2-cos—,xeR.

【答案】⑴當(dāng)無=胃+2人辦上@z}時，函數(shù)取得最大值2;當(dāng)

xe卜|x=+2&萬/eZ卜寸，函數(shù)取得最小值-2.

（2）當(dāng)xe{x|x=6k兀+3肛左eZ）時，函數(shù)取得最大值3;當(dāng)XG{X|X=6k兀,keZ}時,

函數(shù)取得最小值1.

【解析】

【分析】

（1）利用y=2sinx取得最大值和最小值的集合與正弦函數(shù)y=sinx取最大值最小

值的集合是一致的求解；（2）利用y=2-cos；取得最大值和最小值的集合與余弦函

數(shù)y=8sx取最小值最大值的集合是一致的求解.

【詳解】（1）當(dāng)sinx=l即xe[次=1^+2版?次eZ卜寸，函數(shù)取得最大值2;當(dāng)

sinx=-lxe{x[x=-]+2Qr#eZ卜寸，函數(shù)取得最小值-2；

XX

⑵當(dāng)cos§=-l即石=24乃+肛ZeZ即XG{x|x=6A:%+3肛左sZ}時,函數(shù)取得最大

值3;

XY

當(dāng)cos—=1即3=2k小kGZ即當(dāng)xe{x|x=6k兀,keZ}時，函數(shù)取得最小值1.

33

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌

握水平.

11.下列關(guān)于函數(shù)y=4sinx,xi[0,2幻的單調(diào)性的敘述，正確的是.

A.在[0,2上單調(diào)遞增，在[肛2加上單調(diào)遞減

TTS7T

B.在Q,~上單調(diào)遞增，在彳,2萬上單調(diào)遞減

Jr37r7i37r

C.在0,-及12兀上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

yr37r7t37r

D.在-,y上單調(diào)遞增，在0,-及—,271上單調(diào)遞減

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷得解.

【詳解】因為y=4sinx,xi［0,2乃］,

所以函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)'=5皿工的單調(diào)性相同，

TT37r7t37r

所以函數(shù)在0,y及［2兀上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

故選：C

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水

平.

12.不通過求值,比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大?。?/p>

2-（3%）

⑴cos一%與cos|----；

7\5J

⑵sin250°與sin260.

【答案】（l）coS1乃〉cos（一彳J（2）sin250°>sin260

【解析】

【分析】

（1）利用）'=cosx在（0,%）內(nèi)為減函數(shù)判斷它們的大小;(2)利用y=sinx在

（90°,270°）內(nèi)為減函數(shù)判斷它們的大小.

3萬37r23

【詳解】解:⑴COS=cos^-,V0<—7r<—7r<7r,S.V=cosx在(0,I)內(nèi)為減

函數(shù),

?231口口2(3乃)

??COS—>COS—,gpCOS—7T>COSI--—I.

(2)???90°<250°<260°<270°，且y=sinx在(90°,270°)內(nèi)為減函數(shù),

，sin250°>sin260°.

【點睛】本題主要考查正弦余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的

理解掌握水平.

7T

13.求函數(shù)y=3sin(2x+-),xe[0,2乃]的單調(diào)遞減區(qū)間.

4

【答案】《予和篤,罟］.

【解析】

TT7T37r

［分析］根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)有247+式<2x+7W2%萬+k?時函數(shù)單調(diào)遞減，

242

即可求出y=3sin(2x+^)的遞減區(qū)間，進而討論女值確定必［0,2萬］上的遞減區(qū)間即

4

可.

TT7Ti7T7T

【詳解】?/2k7r+-<2x+-<2k7v+—(keZ)上y=3sin(2x+—)單調(diào)遞減，

2424

7T5乃7T

J.k7v+—<x<+——上y=3sin(2x+—)單調(diào)遞減，

884

■rr'>rrQJ■yy14frr

當(dāng)左=0：xGo［0,2TF］；當(dāng)左=1：xG［0,2TT］；

oooo

???吟，哥、佟，字］為y=3sin(2x+f),xe［0,2乃］的單調(diào)遞減區(qū)間.

88884

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

練習(xí)

14.借助函數(shù)y=tanx的圖象解不等式tanxN-l,xe0,ffJ-

【答案】0段卜掌"

【解析】

【分析】

畫出y=tanx,xe0段卜序%)和y=T的圖象，觀察圖象即可.

71)71]

【詳解】在同一坐標(biāo)系中畫出y=tanx,xe0,Q卜[5刁和y=T的圖象，如下:

、34

由圖象可知不等式tanx2-l的解集為o,J-Tlu1乃

【點睛】本題考查了正切函數(shù)不等式，考查了用數(shù)形結(jié)合法，屬于基礎(chǔ)題.

15.觀察正切曲線，寫出滿足下列條件的工值的范圍：

(1)tanx>0；

(2)tanx=0；

(3)tanx<0.

jrjr

【答案】(\)kn<x<k兀+—也三⑥x=k兀也w與k?！?lt;x￡k7T(kwZ)；

22

【解析】

【分析】畫出y=tanx的函數(shù)圖象，通過圖象判斷(1)、(2)、(3)對應(yīng)自變量的取

值范圍即可.

(2)tanx=O：x=k7T(keZ)；

TC

(3)tanx<0：k兀——<x<k/r(keZ)

2i

16.求函數(shù)y=lan3x的定義域.

【答案][xX^^7T+^,keZ>

I36J

【解析】

【分析】

rr

令3xwk%+w(攵eZ),解出x的范圍即可求得定義域.

冗k4

【詳解】令3xwk萬+—(攵￡Z),得xw—乃+—(ZwZ),

236

k冗

所以函數(shù)丁=12113%的定義域為〈XXHqTF+u，%wZ>.

3o

【點睛】本題考查正切函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.

17.求下列函數(shù)的周期：

rrIcjrx

(1)y=tan2x,x^—+—(keZ)；(2)y=5tan-,x^(2k+\)7r(keZ).

422

IT

【答案】(1)周期為7(2)周期為24

2

【解析】

【分析】

(1)由誘導(dǎo)公式，得tan2x=tan(2x+%),即/(x)=,問題得解；

X(x?x+24

(2)由誘導(dǎo)公式，得tane=tan[/+萬尸—,即/(x)=/(x+2乃)，問題

得解；

【詳解】(1)令丁=/(幻，因為

/(x)=tan2x=tan(2x+")=tan2[x+]

rrk冗TT

所以函數(shù)丁=12也%,工工一+一（zeZ）的周期為7.

422

X「(xx+24

(2)令y=/(x),因為/⑶=512方=5tan—+%=5tan--------=/(x+2萬),

(2)2

r

所以函數(shù)＞=5tan],》*（2攵+1）萬僅62）的周期為2".

【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，函數(shù)周期性定義，屬于中檔題.

18.不通過求值，比較下列各組中兩個正切值的大小：

（1）1加（一52。）與1211（77。）；

,八13萬,17兀

（2）tan----與tan------

45

【答案】（1）tan（-52°）＜tan（-47°）；（2）tan＜tan

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)N=tanx在（-90。,0。）的單調(diào)性進行比較，得到答案；（2）根據(jù)正切函數(shù)

的周期對所求的值進行化簡，再根據(jù)y=tanx在的單調(diào)性進行比較，得到答

案.

【詳解】解：⑴-900<-52°<-47°<00,

且y=tanx在內(nèi)為增函數(shù)，

.?.tan（-52°）<tan（^7°）.

13萬（萬、兀

（2）tan-----tan3萬+—=tan—,

4I4；4

17兀<22

tan-----=tan3%+一7|=tan—開,

515J5

八乃271

0<一<一萬<一

452

且3；=1011%在（0,1J內(nèi)為增函數(shù),

7t2,,13177r

tan—<tan—乃,故tan—冗<tan-----.

4545

【點睛】本題考查根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于簡單題.

習(xí)題5.4

復(fù)習(xí)鞏固

19.畫出下列函數(shù)的簡圖：

(1)y=1—sinx,%e[0,2TT]■

（2）y=3cosx+l,xe[0,2%].

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)五點作圖法作圖法作圖;

（2）根據(jù)五點作圖法作圖法作圖.

【詳解】解：（1）

713萬

X7V

07~2~2"

y=1-sinx10121

描點連線得如圖①,

(2)

7C3汽

X07t2兀

7~2

y=3cosx+l4i-214

描點連線得如圖②.

【點睛】本題考查考查五點作圖法作圖，考查基本分析作圖能力，屬基礎(chǔ)題.

20.求下列函數(shù)的周期：

2

(1)y=sin§x,xeR；

(2)y=—cosx,x?R.

【答案】(1)3k兀也必；(2)24兀伏eZ).

【解析】

2萬

【分析】利用正余弦的性質(zhì)，結(jié)合7=「可求（1）（2）中三角函數(shù)的最小正周期，

|（y|

進而可寫出函數(shù)的周期.

27二2兀2萬二」

【詳解】（1）由題設(shè)知：。=彳，故最小正周期為一兩一〒一”，即

35

2

y=sin§x,xeR的周期為弘乃（AeZ）；

f2萬27c1

（2）由題設(shè)知：（o=\,故最小正周期為7=兩=7=2萬，即y=/cosx,x?R

的周期為2&兀伏eZ）；

21.下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些既不是奇函數(shù)，也不是偶函

數(shù).

（1）y=|sinx|；

（2）y=l-cos2x；

（3）y=-3sin2x；

（4）y=1+2tanx.

【答案】（1）偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）非奇非偶函數(shù).

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)奇偶性定義進行判斷；

（2）根據(jù)奇偶性定義進行判斷；

（3）根據(jù)奇偶性定義進行判斷；

（4）根據(jù)奇偶性定義進行判斷；

【詳解】（1）-*山劃定義域為艮且|5皿一切本布刈,所以y=|sinx|是偶函

數(shù)；

（2）y=l-cos2x定義域為R,且1-COS2（-X）=1-COS2X,所以y=l-cos2x是偶函

數(shù)；

(3)y=-3sin2A：^5C^C^JR,J.-3sin2(-%)=3sin2%=-(-3sin2x),所以

y=-3sin2x是奇函數(shù);

IT

（4）y=l+2tanx定義域為{x|xwE+子keZ},

但l+2tan（-x）wl+2tanx,l+2tan（-x）w-l-2tanx,,所以y=l+2tanx既不是奇

函數(shù)，也不是偶函數(shù).

【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.

22.求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量x的集合，并求出最大值、最小值.

171

（1）y-l--cos-x,XER；

（2）y=3sin（2x+?）,xeR.

（3）y=--cos-x--\,x&R；

Z12oJ

、1.M萬）

（4）y=-sin-x+—,xe/D?.

2（23J

3

【答案】（1）使y取得最大值的x的集合是{xIx=6A+3,&eZ},Znax=萬；使〉取得

最小值的x的集合是{x|x=6AMeZ},%in=g.

（2）使），取得最大值的x的集合是{刈》=%萬+?#€2},^^=3；使y取得最小

值的X的集合是{x|x=版■-上&ez},ymin=-3.

（3）使），取得最大值的x的集合是{x|x=4br+g萬/ez},ymax=m；使），取得

最小值的X的集合是{|x=4hr+?,&ez},ymin=-"|.

（4）使〉取得最大值的x的集合是1|x=4br+?/ez},y2=；；使y取得最

小值的X的集合是卜次=4版■-■1%,%Gz1,ymin=-1

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求最值以及對應(yīng)自變量范圍；

（2）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值以及對應(yīng)自變量范圍；

（3）根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求最值以及對應(yīng)自變量范圍；

（4）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值以及對應(yīng)自變量范圍.

1T

【詳解】（1）由=7+肛ZwZ得使y取得最大值的x的集合是

3

{x}x=6k+3,keZ},yma=-；

JI1

由=2k兀,keZ使y取得最小值的x的集合是{x|x=6A,AeZ）,jmin=-.

TT7T

（2）由2x+i=2br+5，ZwZ得使y取得最大值的x的集合是

由2x+?TT=2Z乃-5TT歡eZ得使y取得最小值的x的集合是

x\x=k7r-^-,kEz\,ymin=-3

（3）由彳jx-?JI=2版r+肛ZeZ得使y取得最大值的x的集合是

26

3

x\x=4k7r+^7r,kez\,ymm=j；

2

由:jx-fjr=2k小keZ得使y取得最小值的x的集合是

26

x\x=4k7r+^,k^z\,y3

mil”一萬

（4）由]!x+[71=2版■+]7T,keZ得使y取得最大值的x的集合是

x\x=4rk7r^^,k&z\,yna.

2

jTTTT

由5X+5=2左乃-5，左eZ得使y取得最小值的x的集合是

]_

x\x=4k7r-^7r,kez\,ymii

)in2"

【點睛】本題考查正余弦函數(shù)最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

23.利用函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小:

(1)sinl0315與sinl64°30'；

7Tj與COS

(2)COS

(3)sin508°與sin144°；

也與cos44

(4)COS—71

【答案】(I)sinl03°15'>sinl64030

sin5080<sin144

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性判斷大小；

（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性判斷大小;

（3）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性判斷大小;

（4）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性判斷大小.

【詳解】解：（1）-90>103°15o<164030,<180\且V=sinx在（全加J內(nèi)為減函

數(shù),/.sinlOyiS>sinl64030.

<3A3.4)4

(2)COS---71=COS——肛COS——7T=COS—乃.

I10J10I9J9

34

-9-且）'=cosx在（0,乃）內(nèi)為減函數(shù).

10

⑶sin508°=sin(360°+148°)=sin148°.

90°<144°<148°<180°,且y=sinx在'，兀)內(nèi)為減函數(shù)，

sin144>sin148"，即sin508<sin144°.

47C7、744心8、8

(4)COS—71—COS4%+—7t=COS—71,COS—71=cos411=cos—1.

10I10J109I9J9

]＜正77＜8g萬＜%,且丁=8$大在\(兀I,乃、內(nèi)為減函數(shù),

.?.3乙>乩,即3件小cos?！?/p>

109110JI9)

【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及正余弦函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬基

礎(chǔ)題.

24.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=l+sin%,XG[0,2萬];

(2)y=—cos[0,21].

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為0,1],[yjr37r

,2萬；單調(diào)遞減區(qū)間為-,y.(2)單

調(diào)遞增區(qū)間為?？桑瑔握{(diào)遞減區(qū)間為[肛2m.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間;

(2)根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間

7T/

【詳解】(1)當(dāng)2左萬一上＜》＜2左乃+',伏€2)時；y=l+sinx單調(diào)遞增;

22

信,2：；

因為xi[0,2詞，所以單調(diào)遞增區(qū)間為0,y

7T34

當(dāng)2人萬+—WxW2&乃+——,(k￡Z)時；y=l+sinl單調(diào)遞減;

22

jr34

因為》口0,2捫，所以單調(diào)遞減區(qū)間為萬,萬

(2)當(dāng)2左〃＜為＜2后〃+?，(左eZ)時；y=-cosx單調(diào)遞增;

因為xl[0,2加，所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,兀];

當(dāng)2%〃+萬<％<2%〃+2〃,伏€2)時；y=-8sx單調(diào)遞減;

因為xl[0,2淚,所以單調(diào)遞減區(qū)間為[肛2%].

【點睛】本題考查正余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

25.求函數(shù)＞=Tan[x+5]+2的定義域.

【答案】——兀,k6Z

【解析】

【分析】

根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)列式求解，即得結(jié)果.

【詳解】解：由x++(keZ),得+版'(AeZ),

623

...原函數(shù)的定義域為+&肛Zez}.

【點睛】本題考查正切函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

(jr\5冗k4

26.求函數(shù),=121112》_彳1//逐+3伙62)的周期.

【答案】5

2

【解析】

【分析】

根據(jù)周期定義或正切函數(shù)周期公式求解.

【詳解】解法一

/(x)=tan2x---=tan2x----|+%=tan2x+-----=fx+—

jr

???所求函數(shù)的周期為了

解法二：所求函數(shù)的周期T=&=2

【點睛】本題考查正切函數(shù)周期，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

27.利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較下列各組中兩個函數(shù)值的大?。?/p>

34

(1)tan與tan

7

(2)tan1519與tan1493;

9(3

(3)tan6—乃與tan-5—"

(2)tanl519°>tanl4930(3)

tan6^^>tan7萬n

(4)tan——<tan—

1186

【解析】

【分析】

（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡,再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性判斷大小;

（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡,再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性判斷大小;

（3）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡,再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性判斷大小;

（4）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性判斷大小

0<|<y<|，在（0,5）上為增函數(shù),

(2)tan1519°=tan(4x360°+79°)=tan790,

tan1493°=tan(4x360°+53°)=tan53°.

0°<53°<79°<90°,且夕=匕”在上為增函數(shù),

.-.tan53°<tan79°,即tan1519°>tan1493°.

38

(3)tan62.=tan2.,tan=tanA,.

1111I11J11

7t893.

—<—7t<—7i<—7i,JnIy=tanx上為增函數(shù),

211112

899?33

tan-^-<tan一，即tan6—>tan-5—n

1111HIH11

7兀(兀、(7r\

(4)tan=tanI7iJ=tanI--I

g<一且…3》在卜笑)上為增函數(shù)，

(萬、717萬71

「.tan----<tan—,BQJ11tan—<tan—.

18；6186

【點睛】本題考查周期函數(shù)單調(diào)性以及誘導(dǎo)公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)

題.

綜合運用

28.求下列函數(shù)的值域：

.「75萬

(1)y=sinx,無e—；

44

【答案】(1)”一與,1；(2)ye一號,；.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性求值域；

(2)根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性求值域.

【詳解】(1)當(dāng)無e時y=sinx單調(diào)遞增，ye［2,1］；

_42J2

當(dāng)XG(g,苧］時y=sinx單調(diào)遞減，y；

242

因此ksinX5母的值域為理］」一日…當(dāng)加

,71冗71571

(2)當(dāng)了￡0,—時，x+—e—,—y=cos(x+qj單調(diào)遞減,

233o

V31

”r，矛

(71)7173]_

因此y=cos[x+1J,xe0,—的值域為

~T'2

【點睛】本題考查根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求值域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)

題.

29.根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x的取值集合.

(1)sinX...-^-(XGR)；

(2)^2+2cosx..O(xeR).

rr

［答案］（1）Jx|§+2kn^c—+2k7r,keZ2)

I—弓+2上將/弓+2%肛kez］.

【解析】

【分析】

（1）先作一個周期的圖象，再根據(jù)圖象寫結(jié)果；

（2）先作一個周期的圖象，再根據(jù)圖象寫結(jié)果.

所以sinx.^CxeR)成立的x的取值集合為｛x|?+2br領(lǐng)k-+2k7r,keZ

（2）V2+2cosx?/.cosx----

2

所以0+2cosx..0(x6R)成立的x的取值集合為

{x|—弓+2女九啜/弓+2左肛Zez)

【點睛】本題考查根據(jù)正余弦函數(shù)圖象解簡單三角不等式，考查基本分析求解能

力，屬基礎(chǔ)題.

30.下列四個函數(shù)中，以乃為最小正周期，且在區(qū)間乃］上單調(diào)遞減的是

()

Y

A.yHsin%|B.y=cosxC.y=tanxD.y=cos-