2023數(shù)學高考真題知識題型30數(shù)列中裂項相消法求和問題(教師版)

專題30數(shù)列中裂項相消法求和問題

【高考真題】

1.(2022?新高考I)記S“為數(shù)列｛狐｝的前"項和，己知［=1，是公差為;的等差數(shù)歹!).

(1)求｛冊｝的通項公式；

(2)證明：—<2.

?2%

1.解析⑴;.S|=q=i,.=1.又是公差為1的等差數(shù)列,

二當心2時，

整理得：即馬-="?，

a”-in-l

,%=qx"x&x...x.x&=ix，〃..x^_xW=^l,

?i。2a1,-2??-i23n-2n-12

顯然對于〃=i也成立，.?.{%}的通項公式為=迎土D；

【方法總結(jié)】

裂項相消法求和

裂項相消法

裂項相消法的基本思想就是把通項斯分拆成a,=b“+k—b“("l,?dN*)的形式，從而在求和時達到某

些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列｛斯｝的通項公式，使之符合裂項相消的條

件.主要適用于1號j或1號;1其中｛斯｝為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.

常用的裂項公式

(1)若｛小｝是等差數(shù)列，則11__q,1_1/_L_L

f

%an+\)anaf1+2a〃+7

~n+k);

⑶(2〃-1)(2〃+1廠2(2”-12n+l)；

“)〃(〃+1)(〃+2)—2_n{n+1)(/?+l)(n+2)_;

2-+111

⑸〃2(〃+l)2=k(〃+l)2

⑹幣+扃號k/尸f)；

(7)log“(l+：)=log，〃+1)—log/：

/幻2"_1_1__________2，r_______

(\2n+l)(2n+l+l)-2n+l2"-i+l'(2"+1)(2""+1)一鞏2"+l2,,+l+l/

n+2______11

(9)(〃2+〃)2"+1=Q-(〃+1)2"+1；

k.2m2*+22*+1

(1⑴伏+1)(A+2)=由一申；

D"(i；〃+i)=(T)H哥.

注意：(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差.

(2)在應用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項.

【題型突破】

2

1.在數(shù)列｛斯｝中，ai=4,na?+｝—(M+1)an=2n+2n.

⑴求證：數(shù)列恃是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛《J的前〃項和S,,.

2

1.解析(1)naH1—(n+1)an=2n+2n的兩邊同時除以??(/?+1),得黃十一號=2(〃eN*),

所以數(shù)列｛部是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.

(2)由⑴,得半=2〃+2,所以%=2/+2〃，

戈斯2n2+2n2〃(〃+1)〃+1/

所以^尸賬一夕+必鄉(xiāng)+…+小白卜子—卡卜屋不

2.已知數(shù)列｛斯｝滿足且為+尸比7

(1)求證：數(shù)列｛5｝是等差數(shù)列；

(2)若兒=。必+i，求數(shù)列｛■｝的前n項和S,,,

2.解析(1)易知4#0,+|=點-，.?.」一=*,...」一一；=(

又.??5=2,...數(shù)歹?《｝是以2為首項，；為公差的等差數(shù)列.

.,1,1〃+3s2

(2)由(1)知，[=2+](〃-1)=-2-'c即t。〃=〃+3,

，也一("+3)(〃+4)-4("+3〃+4)，

&=招_￡)+0+?“+島-制卜4小馬=云.

3.(2017?全國III)設(shè)數(shù)列｛廝｝滿足田+3。2+…+(2"—1)斯=2〃.

(1)求｛〃“｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛肅才的前〃項和.

3.解析⑴因為a1+3a2+…+(2〃-1)〃〃=2〃，故當論2時，0+342+…+(2〃-3)a“-i=2(〃-1).

2

兩式相減，得(2〃-1)a=2,所以f(〃22).又由題設(shè)可得5=2,滿足上式，

nZn—I

2

所以伍〃｝的通項公式為小=云=.

(2)記]五審7｝的前n項和為S”由⑴知2；3=(2"+1：2〃-1)=2,二廠

川Sn=?-3+3-5+'-'+2n-l-2n+l=2n+r

4.(2015?全國I)SM為數(shù)列｛斯｝的前〃項和.已知%>0,扇+2a”=4S”+3.

(1)求｛““｝的通項公式；

(2)設(shè)%“=」一，求數(shù)列出"｝的前〃項和.

〃十1

4.解析(1)由欣+2%=4S〃+3,①，可知屆+i+2a〃+i=4S〃+i+3.②

②一①，得欣+1—*+2(4〃+I—〃〃)=4。〃卜1，

即2(〃〃+1+恁)=屆+1一屈=(〃〃+1+〃”)(〃“+1-afl)?

由*曳…得勖±1二&^2^又4+2ai=4^i+3,

解得〃]=-1(舍去)或由=3.

所以｛斯｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，通項公式為%=2"+1.

(2)由即=2〃+1可知-=士；=(2〃+1；2”+3)=婦七-Ui)

設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為黑，則

丁產(chǎn)加+歷+…+兒=m(；-3+0+…+(肅一行)]=旗

22

5.正項數(shù)列｛斯｝的前n項和S〃滿足：S?—(n+;?—1)SW—(n+n)=0.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式〃〃；

〃+1

(2)令.=(”+2)2濾求數(shù)列｛兒｝的前n項和為T,,.

5.解析(1)由S^一(〃2+〃-1)S“一(〃2+")=0,得[S“一(〃2+〃)](S“+D=0.

由于｛““｝是正項數(shù)列，所以S,>0,S?=n2+n.于是G=SI=2,

當時，a〃=S〃-S〃一1="+干一(〃-Ip—(〃-1)=2〃.

綜上，數(shù)列｛斯｝的通項公式為斯=2”.

,,,〃+1幾+11I

(2)由于an=2n,故兒=講而=*而幣=冠宗一正方一.

T"=/T+*T+/T+…+?^T7-

'+._(〃+]廣(〃+2)2_-

6.在數(shù)列｛斯｝中，。=1,。〃+一斯+].

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若6“=]g§二，求數(shù)列｛4J的前n項和S,,.

以〃

6.解析(1)由題意得」一一；=|.又因為0=1,所以;=1.

Cln+1a〃Mi

所以數(shù)列出4是首項為i,公差為1的等差數(shù)列，所以!=%即小=),

ClnH

所以數(shù)列僅"｝的通項公式為%=*

(2)由⑴得bn=lg/?—lg(〃+2).

所以S〃=lg1—lg3+lg2—1g4+lg3—1g54---Flg(n—2)—1gn+lg(n-1)—lg(w+1)+1g〃-lg(〃+2)

2

=|

gl+lg2-lg(n+l)-lg(n+2)=lg(w+1)(z7+2).

7.已知數(shù)列｛〃〃｝,｛b〃｝,其中ai=3,h\=-l,且滿足斯=已(3斯t一兒-i),bn=—^(arl-\—3hn-\)fneN*,

幾22.

⑴求證:數(shù)列｛斯一小｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)歹—)■的前〃項和T,1.

[以〃a〃+1j

——

7.解析(1)a?—/>n—2(3an-1—Z>n-1)[-2)(a?-13￡>n-1)=2(a?-1—bn-1),

又a〕一/?i=3—(—1)=4,所以｛a“一"J是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.

n+l

(2)由⑴知,an-b,,=2,①

又斯+〃"=3(3””—1一兒一|)+(一段)(4”一|一3"—1)=4"-1+九一1,又t7|+Z>i=3+(—1)=2,

所以｛如+?。秊槌?shù)數(shù)列，斯+為=2,②

聯(lián)立①②得，斯=2"+1,

2"__________r__________11

CIM.+1=(2n+1)(2,,+1+1)=2"+1-2n+1+1'

所以-=(2i+l-22+1)+(22+1-2?+J-1卜(2”+廠2"+1+)

=2中-2"“+1=廠2"+1+1("'z)?

8.(2018?天津)設(shè)｛如｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前"項和為S“(〃GN*),｛兒｝是等差數(shù)列.已知G=1,

43=他+2,44=63+85，45=b4+2i>6.

(1)求｛斯｝和伯“｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛$｝的前〃項和為7；(〃WN*),

不忐T向YTHE10(Tk)bk+汕2".…

°求T"；°證月：與也+D伙+2)-〃+22(〃N.t).

8.解析(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為g.由0=1,43=42+2,可得q-2=0.

由q>0,可得夕=2,故〃〃=2"L

設(shè)等差數(shù)列｛兒｝的公差為d.由〃4=63+乩，可得加+3d=4.

由〃5=仇+2b6,可得3〃i+13d=16,從而〃]=1,d—1,故〃〃=〃.

所以數(shù)列｛詼｝的通項公式為詼=2〃—|(〃￡N)數(shù)列｛兒｝的通項公式為^=n(nGN*).

1—2”

(2)①由(1)得5“=不豆=2〃一1,

故T?=t(2A-1)=12人一“=2彳藝2)_〃=2”+I―,L2(〃,N*).

k=\k=\12

bz?th(2**-—2+A+2)Z_kN*-_2^1_2<+l

②因為。+

7+1k+2伏+1)伏+2)-=伙+1)伙+2)=記工―訐7'

所以￡2”

署磊土停用+停爺+???+(泊布一2-’).

k=l〃+1)

9.已知數(shù)列｛斯｝為各項非零的等差數(shù)列，其前“項和為S”滿足S2“T=屈.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

⑵記兒=上(一/求數(shù)列⑹的前〃項和心

L

9.解析(l)S2w-i=--------%----------=an(2n~1)=a｝n*?〃”W0,，斯=2〃一l(〃￡N).

nn、

⑵"產(chǎn)k(一])"=(2I)(2〃+IT1)"=1氐(1一1+百1卜D"，

當〃為偶數(shù)時。，=氐_；_；+(+]_]_：+…+^=7+-)=氐_；+*)=瀛，

當〃為奇數(shù)時/“=氐一卜"打99桿…一萬片—舟)出—/肅)=三號-

卜瑞？〃為偶數(shù)，

所以3尸1

〔一金？"為奇數(shù)?

10.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，己知。6=16,08=36.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式斯；

（2）若,求數(shù)列｛兒｝的前"項和S”.

4

在①兒=----，②兒=（一1-斯，③d=2跖「小這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解.

〃”斯+1

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

a\+5d=12,

10.解析（1）由題意，>解得d=2,〃[=2..??。“=2+（〃-1）X2==2H.

〃i+17d=36,

41

=

（2）選條件①：^>2?.2（?+1）〃（幾+1）'

s,出+土+…+“（3）=（*）+（?；）+,??+（卜露卜涓=毫?

=

選條件②：*：an=2n,bn（—:?S“=-2+4—6+8-1產(chǎn)2〃，

當n為偶數(shù)時，S?=(-2+4)+(-6+8)H---H-2(”-1)+2”]=?X2="；

當〃為奇數(shù)時，”一I為偶數(shù)，S"=(〃一1)—2〃=一〃一1.

.in,〃為偶數(shù)，

?S'—1,"為奇數(shù).

選條件③：b"=2ciira”,—2_),,2n—2/7,4,,1

.?.S?=2X4'+4X42+6X43H----F2〃X4",①

4S?=2X42+4X43+6X44H----F2(?-1)X4Z,+2HX4,,+I,②

由①一②得，-3S,=2X4i+2X42+2X43+…+2X4”—2”X4"+

8(1-4")8(1-4")

2nX4,r2nX4n+1,

1-4-3

二5"=副-4")+竽4"+i.

（a”，〃為奇數(shù)，1

11.在①為=〃。“，②歷尸，則③⑦=汨二-------------；這三個條件中任選一個，補充在下

〔log2%,”為偶數(shù)，（10g2a"+l）（10g2為+2）

面問題中，并解答.

問題：已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，且0=1,其中0,改+1,的+1成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛的｝的通項公式；

(2)記,求數(shù)列｛兒｝的前2n項和T2n.

11.解析(1)設(shè)數(shù)列｛斯｝的公比為q,因為“I,s+l,的+1成等差數(shù)列，所以2(念+1)=。|+。3+1.

又因為m=l,所以2(g+l)=2+q2,即爐―2q=0,所以＜?=2或q=0(舍去)，所以a“=2"r.

⑵由⑴知％=2"r,若選擇條件①，則生=片2門,

2B-1

所以T2?=1x20+2x214-...+2/IX2,

貝I2?2?=1x21+2x22+...+2nx22n,

1—22W

兩式相減得一4=1x2°+1x2〔+…+1X22E—2nx22,,=^—2/7x22,,=(I-2n)x22n-I,

所以72?=(2n-l)-22n+l.

2"-',"為奇數(shù)，

由(1)知a“=2'r,若選擇條件②，則與=,

[〃-1,〃為偶數(shù)，

所以%,=(20+1)+(22+3)+…+(22"-2+2〃-1)=(20+22+…+22L2)+(I+3+…+2”-1)

1—4"”(1+2〃-1)4",,1

=不7-2—=3+〃-3-

由(1)知%=2"-1若選擇條件③，則兒=拓片，

所以△"=言+布+?1?+2”(2〃+1)=6-2)+(2-3)+---+^2n~2n+^1-2"+1=2”+「

12.設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的前"項和為S”已知0=9,a2為整數(shù)，且SSS5.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列［廣4｝的前“項和為方，求證：T,A.

I以〃a〃卜y

12.解析(1)由0=9,。2為整數(shù)可知，等差數(shù)列｛斯｝的公差”為整數(shù).又SSS5,二的卻，。6義)，

99

于是9+4應0,9+5J<0,解得一舉在一亍為整數(shù)，.."=一2.

故｛斯｝的通項公式為a?=ll-2n.

Q)由(D，得號7=下二就F=W五一7七)‘

令兒=昌;，由函數(shù)yu)=3■:的圖象關(guān)于點(4.5,0)對稱及其單調(diào)性,

知0<b、<b2Vbybs<b6Vb7<…<3.&M=1.

13.在等比數(shù)列｛“”｝中,首項G=8,數(shù)列｛b｝滿足瓦=log2a”("WN),且加+岳+歷=中.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛仇｝的前〃項和為s”又設(shè)數(shù)列｛上｝的前"項和為z，求證：r?<1.

13.解析⑴由兒=log24"和加+岳+犯=15,得1082(。1。2。3)=15,.,.“1“2a3=2",

設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為4，??%=8,...a“=8/Li,??.8.的.8/=2巴解得q=4,

即a?=22n+l(neN*).

(2)由⑴得加=2"+1,易知(九｝為等差數(shù)列,

S,=3+5+...+(2〃+1)=/+2〃，則?—=翡一圭)，

14.已知數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列，且加=0=1,岳=〃|+。2,6=2加一6.

(1)求數(shù)列｛詼｝,｛d｝的通項公式;

(2)設(shè)。產(chǎn)廠^—,數(shù)列｛如｝的前〃項和為7；,證明：幻懸.

OnUn+2，D

14.解析(1)設(shè)數(shù)列｛”“｝的公比為q,數(shù)列｛〃“｝的公差為d,由題意得l+d=l+q,g2=2(l+20―6,

=

解得d=g=2,所以斯=2"Ibft2n—1.

(幻因為％=益3=而志后百=抬匕一53)'

所以5)+(j_7)+—-+(2〃-3-2"+1)+(2"-1-2〃+3)_

=K1+1-2”；1-2〃；3)=卜IQ”；1+2〃；3)‘

因為■+"，所以T“<1.又因為7；在［1,+8)上單調(diào)遞增,

所以當〃=1時，T"取最小值r=看,所以白北<1.

15.已知等比數(shù)列｛〃“｝的前”項和為S“(”eN*),滿足S4=244—1,S3=2?3-l.

(1)求｛&｝的通項公式；

(2)記b"=log2(a"S+i)(〃GN"),數(shù)列｛",｝的前"項和為Z”求證：1------1■裊2.

/112In

15.解析(1)設(shè)｛斯｝的公比為小由$4-53=44,$4=2〃4一1得，2a4-2a3=a4,

所以不=2,所以4=2.又因為53=2〃3—1,

所以a1+2〃i+4〃I=8〃I—1,所以的=1,所以a〃=2"'(〃eN*).

..——1+(2〃-1)o

(2)由(1)知兒=log2(斯+1?a”)=log2(2〃><2〃])=2〃一1,所以〃=—j~~

所以抖抖…+?/+抖…+加+擊+土+…+而，

1,11,,111

=1+1—z+z—------F----r--=2—-<2.

223n~1〃n

3

16.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為，，0=2，2szi=(〃+1)的+1(心2).

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)設(shè)瓦=(a“；［)2(〃GN*),數(shù)列｛兒｝的前〃項和為7；,證明：7；舄(“GN)

16.解析(1)當〃=2時，2(ai+a2)=3s+l,解得s=2.

.a?_n

當"23時，2n“=2S”—2sLi=(〃+1)斯—“斯-1,.".(n—\)an=na,i-\,9

an-\n—\

?〃"Tan-2n-2詈=日將以上各式相乘得祟=3，工斯=〃?

an-22'an-3n-y〃2N"2N

=〃=]

顯然，當”=1時，上式不成立，當〃=2時，上式成立.，出尸e2'

nt〃22.

25,〃=1，

(2)4=而、=j1當〃>2時，兒=而1rMi幣=：_W■,

〔講鏟心2,

???〃=不+怎一切+3一N+…'尸不+廠干=而一市〈帝而

17.己知各項均不相等的等差數(shù)列｛”“｝的前四項和$4=14,且⑶，?3,s成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)設(shè)7；為數(shù)列卜9一]前〃項的和，若2%《為”對一切“CN*恒成立，求實數(shù)2的最大值.

[UnUn+1J

14al+64=14,

17.解析(1)設(shè)公差為d,由已知得，，一，，?…

2

[(at+2d)=at(at+6d),

解得d=l或d=0(舍去)，所以0=2,所以a,=〃+l.

⑵因為哥7T冷一圭，

所以7"=(丁于+6-/+…+布一布=廣布=而可

又打3加+1對一切"GN*恒成立，所以=2(〃+§+8,而2(〃+§+8》16,

當且僅當〃=2時等號成立.所以7016,即2的最大值為16.

21I

18.設(shè)函數(shù)?x)=Q+：a>0),數(shù)列｛斯｝滿足41=1,斯=A),〃￡N,,且論2.

DXCLfi—1

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)對"GN",設(shè)&=+++++若*愛恒成立，求實數(shù)，的取值范圍.

CW2。2〃3。3。40麗14〃

129

18.解析：⑴由斯=/(---)得，斯一斯-|=Q,〃￡N*,佗2,所以｛知｝是首項為1,公差為可的等差數(shù)列.

Cln-1JD

MI、？,22n+1*

所以n”=1+-1)=￡N.

由當2〃+1grp,2〃+3__1__________9_______911

⑵-r%—3'斤以％+L3'斤以斯為+1(2〃+1)(2〃+3)-2(2〃+12〃+3)，

則,產(chǎn)啟+R+肅+…+斯斯+|=2(]-2〃+3)=2〃+3.

故s■恒成立等價于亮黨，即恒成立?

令g(x)=渭三(x>0),則g'(x)=含部>0,所以g(x)=￡^(x>0)為單調(diào)遞增函數(shù).

4