八年級數(shù)學(xué)上冊《第十三章線段的垂直平分線的性質(zhì)》練習(xí)題

八年級數(shù)學(xué)上冊《第十三章線段的垂直平分線的性質(zhì)》練習(xí)題

（含答案解析）

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.如圖，在AABC中，A8=3,AC=4,EF垂直平分8C,點產(chǎn)為直線EP上的任一點，則AP+8P的最小

2.如圖，DE,。尸分別是線段A8,BC的垂直平分線，連接D4,DC,貝U（）

A.NA=NCB.ZB^ZADC

C.DA=DCD.DE=DF

3.在國家精準(zhǔn)扶貧政策的指導(dǎo)下，在鎮(zhèn)黨委的大力扶持下，有兩個村莊P、。都開發(fā)了繩網(wǎng)項目，生產(chǎn)體

育繩網(wǎng)、安全繩網(wǎng)等.為了讓繩網(wǎng)通過互聯(lián)網(wǎng)迅速銷往各地，當(dāng)?shù)卣疁?zhǔn)備在兩個村莊的公路，”旁建立公

用5G移動通信基站，要使基站到兩個村莊的距離相等，那么基站應(yīng)該建立在（）

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1

A.A處B.B處2.C處D.。處

4.如圖，AC=AD,BC=BD,則有（）

o

D

A.AB垂直平分CD3.CO垂直平分AB

C.AB與CD互相垂直平分D.8平分乙4C8

5.如圖，在ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點，EC=3,ABC的周長為21,則.

ABD的周長為（）

BDC

A.14B.15C.16D.17

6.等腰三角形的一個外角等于130。，則它的頂角為（）

A.50°B.80°C.50°或80°D.40喊65°

7.如圖，/A0B=20。，點M、N分別是邊04、0B上的定點，點P、。分別是08、0A上的動點，記

=a,NPQN=p,當(dāng)MP+PQ+QN最小時，則p-a的值為（）

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A

二、填空題

8.若三角形滿足一個角a是另一個角戶的3倍，則稱這個三角形為“智慧三角形”，其中a稱為“智慧角在

有一個角為60。的“智慧三角形”中，“智慧角”是度.

9.如圖，AB=AC,Z4=40°,AB的垂直平分線MV交AC于點。.則NDBC的大小為.

10.如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BO的交點為C,且/A,NB,/E保持不變.為了舒適,

需調(diào)整的大小，使NE/N>=140,則圖中應(yīng)一（填“增加”或"減少”）一度.

11.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論正確的是

①NDBC=NBDC②AE=BE?CD^-AB?ZBAE^ZACD

2

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三、解答題

12.如圖，△P3D和△R4C都是直角三角形，ZDBP=ZCAP=90°.

⑴如圖1,PA,PB與直線重合，若ZB￡>P=45。，ZACP=30°,求/QPC的度數(shù)；

(2)如圖2,若ZBDP=45。,ZACP=30°,保持不動，繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)一周.在旋轉(zhuǎn)過程

中，當(dāng)「(7〃3。時?，求NAPN的度數(shù)；

⑶如圖3,ZBPA=a(9O0<a<18()°),點E、F分別是線段B。、AC上一動點，當(dāng).莊戶周長最小時，直

接寫出ZEPb的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).

13.已知：AB=CD,AFYBC,￡>E_LBC.垂足分別為RE,CF=BE.

(1)如圖，求證：ZA=ZD；

(2)如圖，連接AC、AE,BD,若CE=2BE,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出四個三角形，使

每一個三角形的面積都等于“0CE面積的一半.

14.如圖，在AABC和AAEF中，點E在BC邊上，AE=AB,AC=AF,NCAF=NBAE,EF與AC交于點

G.

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F

(2)若NB=62。，/ACB=24。，求NFGC的度數(shù).

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-1,3),8(-4,0),C(1.5,0).

(1)若△A8C關(guān)于y軸對稱的圖形為△GEF,點G關(guān)于x軸的對稱點為。，請直接寫出以下三點的坐標(biāo):

E，F(xiàn),D；

(2)求NABC的度數(shù)；

(3)在(1)的條件下，猜想AC與。尸的關(guān)系，并證明.

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)題意知點B關(guān)于直線硬的對稱點為點C,故當(dāng)點尸在AC上時，AP+8P有最小值.

【詳解】解：連接PC

???比是5C的垂直平分線,

：.BP=PC.

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PA+HP=AP+PC.

，當(dāng)點A,P,C在一條直線上時，陽+BP有最小值，最小值=AC=4.

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，明確點A、P、C在一條直線上時，AP+P8有最小值是

解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等''分析判斷即可.

【詳解】解：如圖，連接8。，

DE,。尸分別是線段AB,BC的垂直平分線，

:?DA=DB,DC=DB,

DA=DC.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了垂直平分線段的性質(zhì)，熟記垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等進行求解即可.

【詳解】由題意知，村莊P.。連線的垂直平分線與公路的交點就是所求，即選在點8，

故選B.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】由AC=AO,BC=BD,可得點A在CO的垂直平分線上，點3在CD的垂直平分線上，又由兩點

確定一條直線，可得A8是8的垂直平分線.

【詳解】解："：AC=AD,BC=BD,

.?.點A在CO的垂直平分線上，點8在CO的垂直平分線上，

.?.AB是CC的垂直平分線.

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即AB垂直平分CD

故選：A

【點睛】本題考查了垂直平分線的判定定理，熟悉垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)計算即可；

【詳解】???口￡是線段AC的垂直平分線，

：.AD=CD,AE=EC,

/.AC=6,

VAABC的周長為21,

AB+AC+BC=21,

：.AB+BC^\5,

.ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BC=

故答案選B.

【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】先求出該外角的內(nèi)角為50。，再分50。角為底角和頂角兩種情況，求出其他兩個內(nèi)角的度數(shù)即可.

【詳解】解：；等腰三角形的一個外角等于130。，

等腰三角形的內(nèi)角為180°-130°=50°,

當(dāng)50。角為底角時，頂角為180o-2x50°=80°,

當(dāng)50。為頂角時，底角為(180°-50°)+2=65°,

故等腰三角形的頂角為50?；?0°,

故選：C.

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等.

7.C

【分析】作M關(guān)于OB的對稱點”，N關(guān)于04的對稱點N',連接"N'交04于。，交。8于尸，則MP

+PQ+QN最小易知NOPM=/OPM'=/NPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和

平角的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作“關(guān)于03的對稱點AT,N關(guān)于OA的對稱點N',連接M'N'交。4于Q,交08

于P,則MP+PQ+QN最小，

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N'

：.NOPM=ZOPM'=ZNPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,

:.NQPN=3(180°-a)=/AOB+/MQP=20°+，(18O°-0),

/.180°-a=40°+(180°-p),

.*.p-a=40°,

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理.三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運用所學(xué)知識解決問題.

8.60或90##90或60

【分析】根據(jù)“智慧三角形”及“智慧角”的定義，列方程求解即可.

【詳解】解：在有一個角為60。的三角形中，

①當(dāng)“智慧角”a=60。時，4=20。，另一個角為100°；

②當(dāng)a+夕=180。-60。=120。且a=3或時，

則3￡+￡=120°,

解得/?=30。，

：.a=90°,

即“智慧角”是90°,

故答案為：60或90

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和是180。”和“智慧三角形”、“智慧角”

的定義是解決本題的關(guān)鍵.

9.30°##30度

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出/ABC及/ACB的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分

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線的性質(zhì)求出N4BO的度數(shù)即可進行解答.

【詳解】解：：AB=AC,

/ABC=NACB=70。，

：MN垂直平分AB,

：.DA=DB,

：./A=NABQ=40。，

NDBC=/ABC-ZABD=10°-40°=30°.

故答案為:30°.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

10.增加20

【分析】延長EF交80于H,利用“8”字形求出/EHC,利用外角的性質(zhì)得到/EF￡>=/￡>+/Z)4F,由此求

出/。的度數(shù)，進而得到答案.

【詳解】解：延長EF交BD于-H,

'：ZA+ZB=ZE+ZEHC,

：.Z￡//C=50°+60°-30°=80°,

ZDHF=1800-NEHC=100°,

ZEFD=ZD+ZDHF,

：.ZD=ZEFD-ZDHF^140°-100°=40°,

,/NO=20。，

的度數(shù)應(yīng)增加，增加40。-20。=20。，

故答案為：增加，20.

【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

11.②③④

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，OE垂直平分AB,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊

上中線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

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【詳解】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，OE垂直平分4B,

，￡>為AB的中點，AE=BE,

：.CD=-AB=AD=HD,

：.ZDBC=ZDCB,ZA=ZACD,

綜上所述，①選項錯誤，②③④選項都正確，

故答案為：②③④.

【點睛】本題主要考查了基本作圖以及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等

于斜邊的一半.

12.(1)ZDPC=75°

⑵NAPN=30?；?5()。

(3)2a-180°

【分析】(1)先算出/￡)依=90。一々//=45。，ZCPA=900-ZACP=M°,然后根據(jù)平角的定義，求出

ZDPC=75°即可；

(2)分點C在MN上方和點C在MN下方兩種情況進行討論，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出結(jié)果即可；

(3)延長尸B截取BG=P8,在MN上截取AH=AP,連接G”，交BD于點E,交AC于點F,連接PE、PF,

此時△/>￡：/的周長最小，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，求出ZEPF的度數(shù)即可.

(1)

解：VZDBP=ZCAP=9Q°,ZBDP=45°,ZACP=30°,

ZDPB=90°-NBDP=45°,ZCPA=90°-ZACP=60°,

PA,PB與直線MN重合，

ZDPC=180°-ZDPB-ZCPA=75°.

(2)

當(dāng)點C在MN上方時，如圖所示：

MBPN

PC//BD,ZBDP=45°,

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，/CDP=4BDP=45。，

VZDPB=45°,ZCM=60°,

:.ZAPN=180°-ZBPD-ZCPD-ZCPA=30°；

當(dāng)點C在MN下方時，如圖所示：

JZBPC=NDBP=9O0,

4CPN=180°-/BPC=90°,

JZAPN=ZAPC+ZCPN=600+90°=150°；

綜上分析可知，ZAPN=30?；?50。.

(3)

延長P8截取8G=P8,在MN上截取A4=AP,連接G",交BD于點、E,交AC于點人連接PF,此

時△尸所的周長最小，如圖所示：

?：NDBP=NCAP=90。,

,DB1GP,CA±PH,

???。8垂直平分PG,C4垂直平分尸”，

:?EG=EP,FP=FHf

:?/EGP=/EPG,ZPHF=/HPF,

,:NMPG是APGH的外角，

/.ZMPG=ZEGP+ZPHF=ZEPG+ZFPH,

NMPG=1800-a,

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，NEPG+AFPH=NMPG=180°-?z,

Z.EPF=ZAPB-(/EPG+/FPH)

=?-(180°-a)

=2<z-180°

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，

根據(jù)題意作出圖形，并進行分類討論，是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析

(2)ACF,_AEF,/XAEB,BDE

【分析】(1)由題意易得CE=8F,然后可證△?￡>?絲△54尸，進而問題可求解；

(2)由題意易得CF=EF=BE,然后根據(jù)三角形的中線與面積關(guān)系可得S"c=S,A"=S"E=gs48F，然

后再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定可進行求解.

(1)

證明：?:CF=BE,

：.CF+FE=BE+FE,

即CE=3尸，

又YAFl.BC,DE±BC,

一\CD=BA

.?.在和△明/中

[CE=Br

：.RtCDE^RtBAFf

JZ￡>=ZA；

(2)

解：ACF,二AEF,AA￡B,BDE,理由如下：

VCE=2BE,CF=BE,

：.CE=2CF=CF+EF,

:.CF=EF=BE,

：.BF=2CF,

SArc=^CFAF,SAEF=^EFAF=^CFAFFSABF=^BF?AF=^x2CFAF=CFAFf

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??SAFC=SAEF=SABE=abf,

在，DCE和△ABF中，

ZBAF=NCDE

AB=DC,

ZABF=ZDCE

；?_DCE-ABF(ASA),

：?SDCE=SABF，DE=AF,

??SAFC=SAEF=SABE=\$DCE，

S.DBE=gBEDE=gcFAF=；S?=；SXE,

,?SAFC=S.AEF=SABE=SDEH=]SOCE，

即_4CN,aAEF,AAEB,雙用這四個三角形的面積都等于。CE面積的一半.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及三角形的中線與面積的關(guān)系，熟練掌握全等三角形的性

質(zhì)與判定及三角形的中線與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

14.(1)證明見解析；

(2)ZFGC=80°

【分析】(1)先證ABAC絲△E4F(S4S),即可求解；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，補角的概念即可求解；

(1)

證明：'：ZCAF^ZBAE,

：.ZCAF+ZEAC=ZBAE+ZEAC,

即NBAC=NE4F,

在△氏4(7和4E4F中，

AB=AE

-ABAC=LEAF,

AC=AF

:.△BAgXEAF(SAS),

：.EF=BC.

(2)

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解：'：AB=AE,

：.ZB=ZAEB=62°,

：.ZBAE^56°,

.,./CA尸=NR4E=56°,

/.ZF=ZC=24°,

ZFGC=ZMC+ZF=56o+24o=80°.

【點睛】本題主要考查三角形全等證明，三角形內(nèi)角和定理，補角的概念，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解

題的關(guān)鍵.

15.(1)(4,0),(-1.5,0),(1,-3)

(2)45°

(