八年級(jí)數(shù)學(xué)秘籍-活用幾何基本圖形解題事半功倍含答案

活用幾何基本圖形，解題事半功倍

幾何題目圖形千變?nèi)f化，但有一些經(jīng)典圖形經(jīng)常在這些題目里直接或間接到的出現(xiàn).因此，靈活掌握和

運(yùn)用這些圖形是學(xué)好幾何的必備技能.

8字型

一、基本圖形

1.“8字”形

結(jié)論：N4+NB=/C+ND；

2.雙垂直

A

結(jié)論：NCAD=NCBE；

結(jié)論：ZA=ZBCD,NB=NACD；

3.與角平分線有關(guān)的三個(gè)重要結(jié)論

(1)雙內(nèi)角平分線

A

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結(jié)論：Z5OC=90°+-ZJ；

2

證明：ZA+ZABC+ZACB=\SO°,ZBOC+Z2+Z4=180°,

即：ZT4+2Z2+2Z4=180°,Z2+Z4=90°--ZTI,

2

.,.ZBOC=180°-(Z2+Z4)=90°+2NN；

2

(2)一內(nèi)角平分線，一外角平分線

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結(jié)論：ZO=—Z^4；

2

證明：Z4=Z2+ZO,2/4=2/2+//,

可得：ZO=-Z/1；

2

(3)雙外角平分線

A

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結(jié)論：ZBOC=90°--Z/4；

2

證明：ZA+ZABC+ZACB=\SO0,Z5OC+Z2+Z4=180°,

即：Z/i+180°-2Z2+180°-2Z4=180°,Z2+Z4=90°+lZJ,

2

AZ50C=180°-(Z2+Z4)=90°--ZA；

2

4.四邊形外角

N1與N2是四邊形488的外角，結(jié)論：Z1+Z2=ZJ+ZB；

5.飛鏢模型

NBOC=N4+NB+NC

6.與面積相關(guān)

如上圖所示，D、E、尸分別是△NBC各邊的中點(diǎn)

結(jié)論：圖中，S^AOF^SAAOE=S^BOF^S^COE=S^BOD^S^COD

二、典例解析

【例1-1】(安徽淮南月考)如圖，8尸是△/8C中/N8C的平分線，CP是NZC8的外角的平分線，如果

NABP=20°,ZACP=50°,則NN=().

A.60°B.80°C.70°D.50°

A

解：尸是△48C中//8C的平分線，CP是//C8的外角的平分線，ZABP=20°,ZACP=50°,

：.N4BC=2NABP=40°,ZACM=2ZACP=100°,

：.ZA=ZACM-ZABC=60°

故答案為4

【例1-2】(平原縣月考)如圖，在四邊形/8CO中，ZA+ZD=a,N/18C的平分線與/SCO的平分線

交于點(diǎn)尸，則/P=()

D

A.90°------aB.90°H------aC.—aD.360。一a

222

C

解：由四邊形的內(nèi)角和定理知：N/8C+N6cz>360。一（/4+N。）=360。一a,

11zy

由角平分線的定義可得：NPBC+NPCB=Q（NABC+NBCD）=-（360°-a）=180°-y,

/p=180°—(180°-?=

故答案為C.

【變式1-1】（陜西西安?高新一中月考）己知，如圖，/XON=90。，點(diǎn)4、8分別在射線OX、OY上移動(dòng),

BE是NW的平分線，BE的反向延長線與NO/18的平分線相交于點(diǎn)C,試問NACB的大小是否發(fā)生變化？

如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)/、B移動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化范圍.

NACB的大小始終保持45°.

解：作/48O的平分線交ZC于點(diǎn)￡）,

則ABDA=180°-(ZDJB+/DB4)=180°-；(Z0AB+N0BA)=135°,

因?yàn)?。，BE分別是NO區(qū)4和NY8/的平分線，

所以BDLCB,

所以N4CB=ABDA-NDBC=135°-90°=45°.

即NACB的大小始終為45°.

【變式1-2](武城縣月考)如圖①，△/8C中，BD平分NABC,且與△NBC的外角N4CE的角平分線

交于點(diǎn)D.

(1)若NZ8C=75。，ZACB=45°,求的度數(shù)；

(2)若把//截去，得到四邊形MNC8,如圖②，猜想/M、NN的關(guān)系，并說明理由.

(1)Z￡>=30°；(2)ZO=—(ZM+ZN-180°)；

2

解：

(1)VZACE=ZA+ZABC,

：.ZACD+ZECD=ZA+ZABD+ZDBE,ZDCE=ZD+ZDBC,

又BD平分/ABC,CD平分/ACE,

：.ZABD=ZDBE,ZACD=ZECD,

；,/A=2(/DCE-/DBC),ND=/DCE-/DBC,

：.ZA=2ZDf

VZJJ?C=75°,N4C8=45。

???ZJ=60°

ZZ>30°

⑵ND=；(//+NN-180。)

理由：延長8/、CN交于點(diǎn)、A,

則/A=/BMN+/CNM—180°

???NO=-ZA=-（NM+NN-180。）.

22

【例2?1］（廣東模考）如圖所示，N。的度數(shù)是（）

A.10°B.20°C.30°D,40°

A.

解：如圖:

Zl=300+20°=40+Za,則/a=10。，

故答案為4

【例2-2】(霍林郭勒市月考)如圖1所示，稱“對(duì)頂三角形”,其中，ZA+ZB=ZC+ZD

工4f

(2)B

(3)r

(4)⑸

利用這個(gè)結(jié)論，完成下列填空.

(1)如圖(2),ZA+ZB-\-ZC+ZD+ZE=________；

(2)如圖(3),ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=_______；

(3)如圖(4),Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=_________

(4)如圖(5),Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=____

(1)180°,(2)180°,(3)360°,(4)540°

解：如圖：(1)VZ1,N2的和與NO,NE的和相等，

???NZ+N8+NC+NO+NE=N"N8+NC+N1+N2=180。；

故180°；

(2)VZ1,/2的和與/￡>,/E的和相等，

,ZJ+ZB+ZC+Z￡)+Z￡=Z/14-ZS+ZC+Z1+Z2=18O0；

故180°；

(3)Z1,N2的和與N7,N8的和相等，

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=Z7+Z8+Z3+Z4+Z5+Z6=360°；

故360°；

(4)VZ6,/7的和與/8,/9的和相等，

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8+Z9=540°.

故540°

考三鼻4

【變式1-1](1)如圖1我們稱之為“8字形”，請(qǐng)直接寫出NB,ZC,NO之間的數(shù)量關(guān)系:

(2)如圖2,Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=___度；

(3)如圖3所示，已知N1=N2,N3=N4,猜想ZP,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

B

圖1圖2圖3

(1)N4+NB=NC+ND；(2)540°；(3)2ZP=ZD+ZB.

解：(1)^A+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,NAOD=NBOC,

，N4+NB=NC+ND,

故N/+N8=NC+NO；

(2)如圖，

VZ6,N7的和與N8,Z9的和相等，

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Nl+N2+N3+N4+N5+N8+/9=540°；

(3)NDAP+ND=NP+NDCP,

①NPCB+NB=NPAB+NP,

②：/DAB和NBC。的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,

/DAP=ZPAB,4DCP=NPCB,

@+②得：NDAP+ND+NPCB+NB=NP+NDCP+NPAB+NP,

即2ZP=ZD+ZB.

【變式1-2】(廣東廣州月考)如圖，已知BC與DE交于點(diǎn)、M,則/Z+NB+NC+NO+/E+/尸的度數(shù)

為

I)

/

B

360°

解：連接BE.

???△CQM和中，4DMC=/BME,

：./C+/D=/MBE+/BEM,

：.NA+NB+NC+ND+/E+NF=/A+NB+NMBE+NBEM+NE+NF=NA+NF+NABE+NBEF=360。.

故360°.

【例3】（安徽淮南月考）某零件如圖所示，圖紙要求NZ=90。，N8=32。，ZC=21°,當(dāng)檢驗(yàn)員量得

NBDC=T45。,就斷定這個(gè)零件不合格，你能說出其中的道理嗎？

這個(gè)零件不合格.理由見解析.

解：如圖，連接并延長，

：?/l=NB+NB4D,N2=NC+NC/O,

VZA=90°fZ5=32°,ZC=21°,

：.ZBDC=Zl+Z2,

=NB+NBAD+NDAC+NC,

=ZB+ZBAC+ZC,

=32°+90°+21°,

=143°,

：143°彳145°,

???這個(gè)零件不合格.

【變式3-1】(山西鹽湖期末)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我們不

妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，

(I)觀察"規(guī)形圖”，試探究N8DC與N力、NB、NC之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：

①如圖2,把一塊三角尺XKZ放置在△/8C上，使三角尺的兩條直角邊XKAZ恰好經(jīng)過點(diǎn)8、C,ZA=40°,

則ZABX+ZACX等于多少度；

②如圖3,0c平分乙4。8,EC平分N4EB,若/Z>/E=40。，乙D8E=130。，求乙DCE的度數(shù)；

③如圖4,ZABD,N/8的10等分線相交于點(diǎn)Gi、G?..、Gg,若N8OC=133。，ZBGiC=10°,求NZ

的度數(shù).

見解析.

解：（1）如圖，連接/。并延長至點(diǎn)R

nJWZ.BDF=ZBAD+ZB,NCDF=NC+NCAD,

"：ZBDC=ZBDF+ZCDF,ZBAC=ZBAD+ZCAD,

：.NBDC=N4+NB+NC；

(2)①由(1),可得：N4BX+N4CX+N4=NBXC,

VZA=40°,N8XC=90。，

N/BA，N4C￥=90°-4(T=50°；

②由⑴，可得NDBE=NDAE+NADB+N4EB,

：.ZADB+ZAEB=ZDBE-ZDAE=130°-40°=90o,

：.-(ZADB+ZAEB)=90°-2=45°,

2

：DC平分/NOB,EC平分/NEB,

NADC=-NADB,NAEC=-ZAEB,

22

NDCE=NADC+NAEC+NDAE,

=-(ZADB+ZAEB)+ND/E=85。；

2

③由②得/8GiC=，(ZABD+ZACD)+ZA,

10

'：ZBGiC=10°,

設(shè)乙4為x。,

ZABD+ZACD=\33°-x°

/.—(133-x)+x=70>

10

1

..13.3-—x+x=70,

10

解得x=63,

即NZ的度數(shù)為63。.

【變式3-2】(山東岱岳期末)如圖1六邊形的內(nèi)角和N1+N2+N3+N4+N5+N6為加度，如圖2六

邊形的內(nèi)角和/1+/2+/3+/4+/5+/6為〃度，則〃，一"=.

0

解：如圖1所示，

.,.加=N1+N2+N3+N4+N5+N6=180°x2+360°=720°

如圖2所示，

；.〃=N1+N2+N3+N4+N5+N6=180°x4=720°

=0

故答案為0.

【例4】（唐山市月考）如圖所示，在△ABC中，己知點(diǎn)。，E,尸分別是8C,AD,CE的中點(diǎn)，5A^c=4

平方厘米，則SABEF的值為（

A.2平方厘米5.1平方厘米

C.’平方厘米D打方厘米

2

B.

解：是8c的中點(diǎn),

2

5AJ5D=SAJCD=yS^ABC=yx4=2c/n,

是4）的中點(diǎn),

S^BD后SHD聲yx2=lczn2,

XCM2

S&BEr=-(S&BDmSKDE)=-(1+1)=1/.

故答案為艮

【變式4-1］（山東歷下期中）如圖，△ZBC的面積為1.第一次操作：分別延長NB，BC,C4至點(diǎn)4,

B1,G，使46=46,B1C=BC,C,A=CA,順次連接4,4，C,,得到第二次操作:

分別延長至點(diǎn)C使順次連接

44，B￡,￡44,B2,2,44=44,BS=B￡,G4=G4,

A.,B2,C2,得到△A2B2C2，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2020,最少經(jīng)過多少次操作（）

A.4B.5C.6D.7

A.

解：連接4C,如圖，

"：AB=AiB,

△N8C與8C的面積相等,

面積為1,

S&A、BC=1?

■:BB\=2BC,

SAA、B\B-2S&A\BC=2,

同理可得，SAG&C=2,—2,

?*,S△&B、G—S△c、B\C+S/XH&G+S“2+SMBC=2+2+2+l=7；

△/2&C2的面積=7xA/|8iG的面積=49,

第三次操作后的面積為7x49=343,

第四次操作后的面積為7*343=2401.

故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2020,最少經(jīng)過4次操作.

故4

【變式4-2］（臺(tái)州市月考）在四邊形488中，尸是4。邊上任意一點(diǎn)，當(dāng)4戶=時(shí)，S.PBC與S，ABC

和之間的關(guān)系式為：;一般地，當(dāng)/尸=,（〃表示正整數(shù)）時(shí)，S.PBC與S“BC

n

和we之間關(guān)系式為：?

c—J_q1J_QQ_J_v-L"-1q

°APBC—C°ADBCTc°AABC；°APBC-°ADBC丁0AABC

22nn

解：*：AP=-AD,aZB尸和△48。的高相等,

2

Is

?S

,,%ABP2°AABD

9：PD=AD-AP=~AD,△CDP和△CD4的高相等,

2

S&CD尸—S2CDA，

??S^PBC=S四邊形ABCD-S^ABP-^ACDP

=S四邊形ABCD-^\ABD-QS^CDA

二S四邊形ABCD-5（5四邊形ABCD-SADBC）-Q（S四邊形ABCD-^AABC

3一2ADBC丁2AABC；

當(dāng)（”表示正整數(shù)）時(shí)，

n

U：AP=-AD,△AB尸和△48。的高相等，

n

??\ABP=-&ABD'

n

n—\

?：PD=AD-AP=---AD,△COP和△C"的高相等，

n

?s-n~^S

n

S四邊形ABCD-S&ABP-S^CDP

??OAPBC

s」S

口四邊形

ABCDn°AABDn°ACDA

S四邊形ABCD一7（S四邊形ABCD-^ADBC）/（S四邊形ABCD-^AABC

一_Lqi〃-1c

;

一n°ADBC丁n0AABC

J_S_|_J_c.§--S+--!-S

故S^PBCC°ADBCTC°AABC'°APBC一°ADBC丁0AABC,

22nn

【例5】（慶云縣月考）探究與發(fā)現(xiàn):

（探究一）我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與

它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？

B

圖①圖②圖3

已知：如圖①，/之。。與NEC。分別為△4X7的兩個(gè)外角，試探究//與NFQC+NECD的數(shù)量關(guān)系,

并證明你探究的數(shù)量關(guān)系.

（探究二）三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？

已知：如圖②，在中，DP、CP分別平分/43C和NZC。，試探究N4與NP的數(shù)量關(guān)系，并證

明你探究的數(shù)量關(guān)系.

（探究三）若將“DC改成任意四邊形/8CZ）呢？

己知：如圖3,在四邊形48C。中，DP、CP分別平分N/DC和/8C。，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論直接寫出/"N8

與NP的數(shù)量關(guān)系

見解析.

解：探究一：VZFDC=ZA+ZACD,ZECD=ZA+ZADC,

：.ZFDC+ZECD=^A+Z.ACD+ZA+ZADC^180°+Z/4；

探究二：,:DP、CP分別平分乙IOC和//CD,

ZPDC=—ZADC,ZPCD=—NACD,

22

NP=180°-ZPDC-ZPCD

=180°-—ZADC--NACD

22

=180°-L(.ZADC+ZACD)

2

=180°--(1800-

2

=90。+上N小

2

探究三：?:DP、C尸分別平分N4ZX＞和N8C。，

???ZPDC=—/ADC,NPCD=—/BCD,

22

/.ZP=180°-ZPDC-ZPCD

=180°--ZADC--ZBCD

22

=180°-—QADC+/BCD)

2

=180°--(360°-ZJ-ZB)

2

一(N4+NB).

2

故探究一：ZFDC+ZECD=\S0°+ZA；探究二：ZP=90°+-Z^；探究三：ZP=-(ZA+ZB).

22

【變式5-1】(河南宛城月考)問題情景：如圖1,A4BC中，有一塊直角三角板PMN放置在A48C上

(尸點(diǎn)在A48C內(nèi))，使三角板尸網(wǎng)的兩條直角邊尸加、PN恰好分別經(jīng)過點(diǎn)8和點(diǎn)C.試問乙48P與

ZACP是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？

(1)特殊探究：若乙4=50°，則448C+4cB=度，NPBC+NPCB=度，

ZABP+ZACP=度；

(2)類比探索：請(qǐng)?zhí)骄?8P+N/C0與NZ的關(guān)系；

(3)類比延伸：如圖2,改變直角三角板尸MV的位置；使尸點(diǎn)在A48c外，三角板尸MN的兩條直角邊

PM、尸N仍然分別經(jīng)過點(diǎn)8和點(diǎn)C,(2)中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

(1)130,90,40；(2)ZABP+AACP=90°-,理由見解析；(3)不成立，ZACP-ZABP=90°-ZA

解：(1)?.?4=50°,

N/8C+N/C8=180°-50°=130°,

VZP=90°,

,NPBC+NPCB=900,

：.ZABP+ZACP=130°-90°=40°.

故130,90,40；

(2)結(jié)論：ZABP+ZACP=90°-ZA.

證明：V90°+(NABP+N4CP)+/Z=180°,

ZABP+ZACP+ZA=90°,

：.ZABP+ZACP=90°-ZA.

(3)不成立；存在//CP-N/8P=90。-//.

理由：△48C中，ZABC+ZACB=\80°-ZA,

,：ZMPN=90°,

：.NPBC+NPCB=90。,

，CZABC+ZACB)-QPBC+NPCB)=180°-N4-90°,

即N4BC+NACP+NPCB-NABP-N4BC-NPCB=9Q。-N4,

：.ZACP-ZABP=90°-ZA.

【變式5-2](吉林寬城期末)將三角形紙片N8C沿。E折疊，使點(diǎn)4落在點(diǎn)力處.

(感知)如圖①，若點(diǎn)4落在四邊形5CDE的邊8E上，則NZ與N1之間的數(shù)量關(guān)系是

（探究）如圖②，若點(diǎn)4落在四邊形3CDE的內(nèi)部，則NZ與N1+N2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

說明理由.

（拓展）如圖③，若點(diǎn)⑷落在四邊形5CDE的外部，Zl=80°,N2=24°,貝INN的大小為度.

圖①圖②圖③

感知：Z1=2ZJ；探究：2/Z=Nl+N2,理由見解析；拓展：28

解：【感知】根據(jù)外角定理，易得2乙4=/1

【探究】2NZ=Nl+/2.

理由：連結(jié)44，,

?；N1=NDAA'+NDA'4,N2=NEA4'+NE4'4,

：.Z]+Z2=ZDAE+ZDA'E,

由翻折，得NDAE=ND4E

：.2ZDAE=Zl+Z2

：.2ZA=Z1+Z2

【拓展】VZ1=8O°

二ZADE=ZEDA'=50°

設(shè)/DEB=x,由N2=24。，貝UNZ￡D=x+24。

AX+X+24=180°

Ax=78°

??.Z^=78°-50°=28°

故為28度.

三、習(xí)題專練

1.（安徽淮南月考）如圖，N4+N8+NC+NO+NE+NE=

360°

解：如圖所示,

???N1=N4+NB,Z2=ZC+ZD,N3=NE+/F,

：.Z1+N2+N3=NZ+N8+NC+NQ+NE+N￡

又???N1、N2、N3是三角形的三個(gè)不同的外角,

AZl+Z2+Z3=360o,

，N4+NB+NC+NO+/E+N尸=360。.

故答案為360。.

2.（惠州市光正實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）如圖，在四邊形/8C。中，N/BC與的平分線的交點(diǎn)E恰好在

A.ZA+ZD-45°B.—(4+N。)+45°

2

11

C.180°-(ZJ+ZD)D.—ZA+—ND

22

D

解：：四邊形的內(nèi)角和=360。,

，N/8C+N8CQ=360°-(ZA+ZD),

VZABC與NBCD的平分線的交點(diǎn)E恰好在AD邊上,

AEBC=-AABC,NECB=-NBCD,

22

7.ZEBC+NECB=g(NZBC+NBCD)=k[360。一(4+

/.ZS￡C=180°-QEBC+NECB)=g(N/+N。),

故答案為。.

3.（山東濰坊期末）如圖，點(diǎn)。是△48C的邊8c的延長線上的一點(diǎn)，/ABC的平分線與ZACD的平分

線交于點(diǎn)小，/小3c的平分線與/4C。的平分線交于點(diǎn)幺2,依此類推.?,已知N/=a,則NZ2020的度數(shù)

為.（用含a的代數(shù)式表示）.

Ai

Ai

BCD

1

-2-2-0--2-0o

解：在△N8C中，NA=NACD-N4BC=a,

?.?/月8。的平分線與//。。的平分線交于點(diǎn)出，

：.ZAi=ZAtCD-ZAiBC=—(N4CD-NABC)=—ZA=-a,

222

同理可得N/2=—N4=[a,

222

11

/小=一/血=-ra,

223

以此類推，AA202Q=a,

故"人一220--20a

4.（信陽市月考）如圖，BE、CE是△/8C的角平分線，N歷1C=8O。，BE、CF相交于。，則N8OC的

度數(shù)是.

130°.

1

解：ZBDC=90°+-ZBAC=\30°.

2

5.（惠州市月考）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=度.

180.

解：???N2是△O3C的外角，

???N8+NC=N2,

VZ1是的外角，

???N4+NE=N1,

VZ1+Z2+ZD=18O°,

Z.N4+N8+NC+NO+NE=180°.

故答案是：180.

6.（商城縣月考）如圖，△ZBC的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸向/以力。兩邊作垂直線4、小

若N1=40。，則N8PC=.

110°.

解：如下圖所小:

ZA/PAM180o-Zl=l40°,

四邊形AMPN中，Z^=360°-90°-90°-140°=40°,

■:PC、尸8分別是/ZC8和N/8C的角平分線，

,Z2+Z3=yZJC5+yN4BC=g(4CB+N/BC)=；(180°-ZJ)=yxi40°=70°,

...在△尸8c中，ZCPS=180°-(Z2+Z3)=110°,

故110°.

7.(臨沐縣月考)如圖，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=.

540°.

解：由三角形的外角性質(zhì)可知/6+N7=/8,

.,.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8,

XVZ1+Z2+Z3+Z10=360°,Z4+Z5+Z8+Z9=360°,Z10+Z9=180°,

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8=(Z1+Z2+Z3+Z10)+(Z4+Z5+Z8+Z9)-(Z10+Z9)=540°.

8.（霍林郭勒市月考）如圖，8小和C小分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，比12是N/歸。的角

平分線，Ch是N4CD的角平分線，歷13是乙428。的角平分線，。3是的角平分線，若N4=a,則

N42018為.

a

萍

解：:/山是N48C的平分線，4C是N4C。的平分線,

AAA\BC=—AABC,NAICD=LNACD,

22

XVZACD=ZA+ZABCfZAiCD=ZA\BC+ZAif

：.—(N4+N48C)」N45C+N4,

22

/.ZJ|=—NA,

2

*/ZJi=a,

同理理可得/42=工Z-A\=—a,

22

a

貝!jZJ2OI8=—^77.

2

9.（四川師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）如圖，已知△/8C中，/N=60。，點(diǎn)。為△NBC內(nèi)一點(diǎn)，且/80C

=140°,其中O山平分N/8O,OiC平分N/CO,。28平分乙48。1，02c平分乙4coi，…，?！?平分NZ8?！?/p>

.1，0,C平分N/CO“I,…，以此類推，則N80C=°,/8。2。17。=°.

100；[60+(—)2017x80].

解：如圖，

VZ5OC=140°,

/.Zl+Z2=180°-140。=40。.

，N/80+4co=180°-60°-40°=80°

?..點(diǎn)。是N/BC與/NC8的角平分線的交點(diǎn)，

.?.N8OiC=180。-(—X80°+40°)=100。.

2

/8。2。=180°-[120°-(N4BO2+NACO2)=80°.

依次類推，Z502017C=180°-[120°-(y)a。喙。。]=60。+(/)2017x80°

故100,[60+(y)2017x80].

10.（重慶月考）如圖，瓦分別為四邊形的邊力民8CC2ZM的中點(diǎn)，并且圖中四個(gè)小三

角形的面積之和為1,即S1+S2+S3+S4=l,則圖中陰影部分的面積為.

YE、尸、G、〃分別為48、BC、CD、D4的中點(diǎn)，

:?S&BCE=S&ACE，S&ADG=S”CG，S2ABH=S2BH，SKDF=S〉BDF，

.__1

??S^BCE^S^ADG=S^DB/f^S&BDF=-S四邊形488，

??Si+S四邊形見0人戶+&+S2+S四邊形//0/)+S^=S四邊形反w八尸+S陰影+S四邊形HQPD，

*'?S\+S4+S2+S3=S陰影，

VSi+S2+S3+S4=1,

??S陰影=1?

故1.

11.（江蘇祁江期末）（1）如圖1,4B〃CD,點(diǎn)E是在AB、C。之間，且在8Q的左側(cè)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn),

連結(jié)8E、DE.求證：NE=NABE+NCDE.

（2）如圖2,在（1）的條件下，作出/或。和NEZM的平分線，兩線交于點(diǎn)尸，猜想//、AABE,

/CDE之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）如圖3,在（1）的條件下，作出的平分線和△EO8的外角平分線，兩線交于點(diǎn)G,猜想

4G、NABE、/CAE之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

（1）見解析（2）見解析（3）2ZG=ZABE+ZCDE

解：⑴如圖,

過點(diǎn)E作EH〃4B,

NBEH=NABE,

?:EH"AB,CD//AB,

：.EH//CD,

NDEH=NCDE,

：.NBED=NBEH+/DEH=NABE+NCDE；

(2)2NF-(ZABE+ZCDE)=180°,

理由：由（1）知，NBED=NABE+NCDE,

'：ZEDB+ZEBD+ZBED=\80°,

，NEBD+NEDB=180。-NBED=18。。-(NABE+NCDE),

YBF,DF分別是NDBE,N8DE的平分線，

：./EBD=2NDBF,4EDB=2NBDF,

：.2ZDBF+2ZBDF=180°-(ZABE+ZCDE),

：.NDBF+NBDF=90°--(ZABE+ZCDE),

2

在△8。尸中，ZF=\S00-CZDBF+ZBDF)=180°-[90°-y(ZABE+ZCDE)]=90°+y(NABE+NCDE),

即：2NF-(N4BE+NCDE)=180°；

(3)2ZG=ZABE+ZCDE,理由：

由(1)知，ZBED=ZABE+ZCDE,

,:BG是NEBD的平分線，

二ZDBE=2ZDBG,

,.?DG是NEOP的平分線，

?\ZEDP=2ZGDP,

：.ZBED=ZEDP-ZDBE=2ZGDP-2ZDBG=2(ZGDP-ZDBG),

/.ZGDP-ZDBG=—ZBED=—(NABE+NCDE)

22

/.ZG=ZGDP-NDBG=—(NABE+ZCDE)，

2

：.2ZG=NABE+ZCDE.

12.(莆田月考)如圖，點(diǎn)。為△NBC的邊8c的延長線上一點(diǎn).

(1)若//:ZABC=3：4,ZJCZ)=140°,求NZ的度數(shù)；

(2)若N/8C的平分線與N/CD的平分線交于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作于點(diǎn)P.試探究NPCM與N4

的數(shù)量關(guān)系.

見解析.

解：（1）:NABC=3：4,

設(shè)N/=3k,ZABC=4k.

ZACD=ZA+ZABC=\40°,

,3竹44140°,

解得仁20。，

ZJ=3^=60°.

（2）：/A/CZ）是△A/8C的外角,

,NM=NMCD—NMBC.

同理可得：NA=/ACD-NABC.

,:MC,A/S分別平分NNC。，NABC,

：.ZM^-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)^-ZA.

2222

■:CPIBM,

：.ZPCM=90°~-ZA.

2

13.(全國月考)如圖，四邊形/8C。中，BE、。尸分別平分四邊形的外角/M8C和NNDC,若NBAD=a,

ABCD=p.

(1)如圖①，若a+A=150。，求/M8C+NNDC的度數(shù)；

(2)如圖①，若8E與。尸相交于點(diǎn)G,NBGD=30。,請(qǐng)寫出a、4所滿足的等量關(guān)系式；

(3)如圖②，若a=0,判斷5E、。尸的位置關(guān)系，并說明理由.

圖①圖②

(1)150°；(2)￡-a=60°：(3)BE//DF,理由見解析

(1)解：(1)在四邊形488中，ZBAD+ZABC+ZBCD+ZADC=360°,

：.ZABC+ZADC=36O°-(a+夕)，

ZMBC+NABC=180°,ZNDC+NADC=180°

AZMBC+ZNDC=180°-ZABC+1800-ZADC=360°-(NABC+NADC)=360°-[360°-(a+/f)]=a+p,

：a+0=150°,

，ZMBC+ZNDC=\5O°；

(2)p-a=60°

理由：連接8。,

由(1)得，NMBC+NNDC=a+0,

?；BE、DF分別平分四邊形的外角NMBC和ZNDC,

：.ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-ZNDC,

22

：.ZCBG+ZCDG=^-NM8C+；NNDC=；(NMBC+NNDC)=*a+m，

在ABCD中，ZBDC+ZCDB=\SO°-ZSCZ)=180°-//,

在△BDG中，ZGBD+ZGDB+ZBGD=180°,

ZC5G+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=180°,

(ZCBG+ZCOG)+(ZBDC+ZCDB)+ZBGD=180°,

y(a+￡)+180°-￡+30°=180°,

：.fi-a=60°；

⑶平行，

理由：延長8c交。F于4,

由(1),/MBC+/NDC=a邛,

*：BE、。廠分別平分四邊形的外角NM8C和NNDC,

：.ZCBE=-Z.MBC,/CDH=」/NDC,

22

???/CBE+NCDH=：ZMBC+^-4NDC=g(/MBC+/NDC)=g(a+夕),

VZBCD=ZCDH+ZDHB,

/./CDH=/BCD-/DHB=§-/DHB,

：./CBE邛-ZDHB=；(a+8),

???/CBE邛-/DHB=g(JJ+B)=B，

：?/CBE=/DHB,

：.BE//DF.

14.(貴州赫章期末)數(shù)學(xué)問題：如圖，在△N8C中，//=20°,N43C,N4C8的2020等分線分別交

于點(diǎn)?,。2,..…,。|。,。2020,根據(jù)2020等分線等分角的情況解決下列問題：

(1)求/BO。的度數(shù).

(2)求/BO3。的度數(shù).

(3)直接寫出N8O2020C的度數(shù).

見解析.

解：⑴VZ.A=20°,

，NABC+NZC8=180°-NN=180°-20°=160°,

?；8。廣C。分別是NABC和NACB的二等分線，

NOBC+ZOCB=gQSC+ZACB)=1xl60°=80°,

二Z5O,C=180°-80°=100°.

(2):BO?、CQ分別是N46C和N4C8的四等分線，

33

ZO3BC+ZO3CB=-(ZABC+ZACB)=^X160°=120°,

O

Z5<93C=180-120°=60°,

（3）,:BO,7、CO31分別是N/8C和NZC8的〃等分線,

.?.NO,,3C+N0”—(ZABC+ZACB}^—x160°,

nn

n—\20〃+160

ABO,C=180°-------xl60°=

n—\nn

20x2021+160Y_(40580V

N8°2020。一2021J2021J

15.（山西月考）綜合與實(shí)踐：

閱讀下面的材料，并解決問題.

（1）已知在A43c中，Z/i=60°,圖1,圖2,圖3中的A48c的內(nèi)角平分線或外角平分線都交于點(diǎn)O,

請(qǐng)直接寫出下列角的度數(shù)如圖1,/。=；如圖2,N0=；如圖3,/。=；

如圖4,NABC,NRCB的三等分線交于點(diǎn)Q,02,連接Q。2，則/以劣。=

(2)如圖5,點(diǎn)。是A4BC兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：ZO=90°+-ZA.

2

(3)如圖6,在A48C中，NZ3C的三等分線分別與N/C8的平分線交于點(diǎn),02,若Nl=115°,

N2=135。，求乙4的度數(shù).

見解析.

解：(1)平分N/8C,CO平分乙1C8,

ZOBC=-NABC,NOCB=-ZACB,

22

ZOBC+ZOCB=g(N4BC+N4CB)=；(180?！狽8ZC)=；(180。—60。)=60。,

ZO=180°-(Z05C+N0C8)=120°.

如圖2,:臺(tái)。平分NZ8C,CO平分N/CD,

：.ZOBC^-ZABC,ZOCD=-ZACD.

22

NACD=N4BC+NA,

：.ZOCD=g(ZABC+NZ)

VZOCD=ZOBC+NO,

ZO=ZOCD-ZOBC^-ZABC+-ZA--ZABC^-ZA^30°

2222

如圖3,?:BO平分'/EBC,CO平分N8C。，

ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-/BCD,

22

ZOBC+ZOCB=；(ZEBC+NBCD)=g(+N4CB+N8CZ))=；(//+180。)=120。,

Z(9=180°-(N08C+NOCB)=60°.

如圖4,*：NABC,N/C8的三等分線交于點(diǎn)?,O2,

22

NO,BC=-ZABC,NO,CB=-ZACB.

2323

O\B平■分4O&C,OtC平分ZO2CB,02a平分N802c,

222