湖南省長(zhǎng)沙市第二十四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市第二十四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列的值為

（

）

A．14

B．15

C．16

D．17參考答案：答案:C2.設(shè)，則下圖陰影表示的集合為（

）

A．{1，2，3，4}

B．{4，5}

C．{1，2}

D．{3}參考答案：C3.已知是實(shí)數(shù)，則“且”是“”的

（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略4.某種動(dòng)物繁殖量（只）與時(shí)間（年）的關(guān)系為,設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只,到第8年它們發(fā)展到

（

）

A．200只

B．300只

C．400只

D．500只參考答案：A略5.已知向量=（1，﹣2），=（1，1），，=+λ，如果，那么實(shí)數(shù)λ=（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】先利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，，再由⊥，利用向量垂直的條件能求出實(shí)數(shù)λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），，=+λ，∴=（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ），∵，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．6.設(shè)集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，則（?RA）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞） B．[﹣1，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】求出y=sinx的值域確定出A，找出R中不屬于A的部分求出A的補(bǔ)集，求出y=lgx的定義域確定出B，找出A補(bǔ)集與B的公共部分即可求出所求的集合．【解答】解：由集合A中的函數(shù)y=sinx，x∈R，得到y(tǒng)∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴?RA=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函數(shù)y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），則（?RA）∩B=（1，+∞）．故選C7.設(shè)是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)等于

A． B．

C． D．參考答案：B略8.一個(gè)幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知，幾何體為一個(gè)三棱柱剪去一個(gè)三角錐，再根據(jù)公式求解即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體為一個(gè)三棱柱剪去一個(gè)三角錐，三棱柱的體積V1為=2剪去的三棱錐體積V2為：=所以幾何體的體積為：2﹣=，故選：A．9.已知是定義在R上的偶函數(shù)且連續(xù)，當(dāng)，，若，則的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的值（

）A．恒為正數(shù)

B．恒為負(fù)數(shù)

C．恒為0

D．可正可負(fù)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)的實(shí)部為_________；虛部為___________.參考答案：

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】＝＝.實(shí)部為，虛部為.故答案為：(1)；(2).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．12.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

參考答案：13.已知，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.參考答案：14.若直線（a+1）x﹣y+2=0與直線x+（a﹣1）y﹣1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為

．參考答案：0【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】由（a+1）（a﹣1）+1=0，解得a，經(jīng)過檢驗(yàn)即可得出．【解答】解：由（a+1）（a﹣1）+1=0，解得a=0，經(jīng)過檢驗(yàn)此時(shí)兩條直線平行．故答案為：0．15.不等式的解集為_____________．

參考答案：16.若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】求出正切函數(shù)的最大值，即可得到m的范圍．【解答】解：“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命題，可得tanx≤1，所以，m≥1，實(shí)數(shù)m的最小值為：1．故答案為：1．17.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是

.參考答案：-3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知正三棱錐V－ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．參考答案：(1)如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2，∴側(cè)視圖中VA＝＝＝2，∴S△VBC＝×2×2＝6.19.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a的值；（2）確定a的取值集合M，使aM時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．參考答案：解：（1）在S＝3n2an＋S中分別令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因?yàn)閍n≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．經(jīng)檢驗(yàn)a＝3時(shí)，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝滿足S＝3n2an＋S．……6分（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因?yàn)閍n≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①

所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③

所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即數(shù)列a2，a4，a6，…，及數(shù)列a3，a5，a7，…都是公差為6的等差數(shù)列，

………10分因?yàn)閍2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝

…12分要使數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，須有a1＜a2，且當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，an＜an＋1，且當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n為大于或等于3的奇數(shù))，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n為偶數(shù))，解得＜a＜．所以M＝(，)，當(dāng)aM時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

………………16分20.已知圓，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上，線段PF的垂直平分線與直線PE相交于點(diǎn)Q，Q的軌跡是曲線C．（1）求C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，M是C與y軸正半軸的交點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值．參考答案：(1)(2)見證明【分析】（1）根據(jù)橢圓定義確定曲線C性質(zhì)以及標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）先求M坐標(biāo)，再設(shè)直線方程以及A,B坐標(biāo)，利用斜率公式化簡(jiǎn)，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得結(jié)果.【詳解】（1）依題意得，根據(jù)橢圓的定義可得Q的軌跡曲線C是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，這里，c=，所以故C的方程為；（2）證明：根據(jù)題意，C的方程為，M是C與y軸正半軸的交點(diǎn)，則M（0，1），顯然直線l有斜率，設(shè)直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去y可得：，變形可得：，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，則，則；故為定值．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)。（1）求證：EF∥平面PAD；（2）若PA=2，試問在線段EF上是否存在點(diǎn)Q，使得二面角

Q-AP-D的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由。參考答案：證明：（1）取PD中點(diǎn)M，連接MF，MA在ΔCPD中，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴MF平行且等于，正方形ABCD中E為AB中點(diǎn)，AE平行且等于，∴AE平行且等于MF，故：EFMA為平行四邊形，∴EF∥AM

……2分又∵EF平面PAD，AM平面PAD∴EF∥平面PAD

……4分（2）如圖：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：，，，，由題易知平面PAD的法向量為，

……6分假設(shè)存在Q滿足條件：設(shè)，，，，，設(shè)平面PAQ的法向量為，