二面角的幾何求法

關(guān)于二面角的幾何求法第1頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、知道二面角和二面角的平面角定義以及二面角平面角的范圍。2、熟悉二面角的常見作法：定義法、垂面法、三垂線法3、掌握求二面角的一般步驟第2頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.二面角的定義:復(fù)習(xí):2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定義第3頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三二面角的平面角:

ABP

l二面角的平面角必須滿足：

3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)二面角的平面角的范圍:[00，1800]

二面角的大小用它的平面角的大小來度量以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。A1B1

P1注意:(與頂點(diǎn)位置無關(guān))∠APB=∠A1P1B1第4頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VABC第5頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCA第6頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCA第7頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCAO解：過B點(diǎn)作BO⊥VC于O,連接AO.因?yàn)樵谡忮F中VA=VB,VO=VO,∠BVO=∠AVO.所以所以AO⊥VC。所以∠BOA即為所求二面角的平面角。在△AOB中，設(shè)AB=1，則AO=BO=作角證角求角定義法第8頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三探究準(zhǔn)備想一想：

1、還能用什么方法作出二面角的平面角？

（1）、定義法：在棱上取一點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一個平面，這個平面與2個半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；

（3）、三垂線法：過一個半平面內(nèi)一點(diǎn)（記為A）做另一個半平面的一條垂線，過這個垂足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為C，連接AC，則∠ACB即為該二面角的平面角。ABCαβαβαβγ第9頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三例2、如圖：在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分別交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD第10頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三分析：1、根據(jù)已知條件提供的數(shù)量關(guān)系通過計(jì)算證明有關(guān)線線垂直；2、利用已得的垂直關(guān)系找出二面角的平面角。解：如圖：

∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E為SC的中點(diǎn)，∴BE⊥SC又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE為平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角?！逜B⊥BC，∴AC===a在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300

，∴∠CDE=900--∠SCA=600解畢。SECAD議一議：剛才的證明過程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？

垂面法第11頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

PABCD過B作BD⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角的平面角。連結(jié)ED，解：過B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC為正△，∴BE=在Rt△PAC中，E為AC中點(diǎn)，則DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=例3:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的正切值。三垂線法第12頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三課堂小結(jié)：1、二面角以及二面角的平面角的定義、范圍。2、二面角平面角的作法：定義法、垂面法、三垂線法3、求二面角的步驟：作角-----證角--------求角第13頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三第14頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三第15頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三第16頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三預(yù)習(xí)探究如圖：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F為棱AA1的中點(diǎn)。（1）求：平面BFD1與平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1與平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第17頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三謝謝指導(dǎo)！第18頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三預(yù)習(xí)探究如圖：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F為棱AA1的中點(diǎn)。（1）求：平面BFD1與平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1與平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第19頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三A1D1C1CB1BDAPF如圖：延長D1F交DA的延長線于點(diǎn)P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線。

∵

F是AA1的中點(diǎn)，∴可得A也是PD的中點(diǎn)，∴AP=AB,

又∵∠

DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因?yàn)槭侵崩庵郉D1⊥

PB,∴PB⊥