八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題201304

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題201304

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（每小題4分，共32分）1.已知$x^2+kxy+64y^2$是一個(gè)完全平方式，則$k$的值是（）A.8B.±8C.16D.±162.下列各命題中，假命題的個(gè)數(shù)為（）①面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；②三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；③全等三角形的周長(zhǎng)相等；④有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形。A.1B.2C.3D.43.已知點(diǎn)$P_1(a-1,5)$和$P_2(2,b-1)$關(guān)于$x$軸對(duì)稱(chēng)，則$(a+b)^{2005}$的值為（）。A.B.-1C.1D.$(-3)^{2005}$4.如圖14-85所示，在銳角三角形$ABC$中，$CD$，$BE$分別是$AB$，$AC$邊上的高，且$CD$，$BE$交于一點(diǎn)$P$，若$\angleA=50°$，則$\angleBPC$的度數(shù)是（）A.150°B.130°C.120°D.100°5.如圖14-15所示，有一矩形紙片$ABCD$，$AB=10$，$AD=6$，將紙片折疊，使$AD$邊落在$AB$邊上，折痕為$AE$，再將$\triangleAED$以$DE$為折痕向右折疊，$AE$與$BC$交于點(diǎn)$F$，則$\triangleCEF$的面積為（）A.4B.6C.8D.106、直線與$y=x-1$兩坐標(biāo)軸分別交于$A$、$B$兩點(diǎn)，點(diǎn)$C$在坐標(biāo)軸上，若$\triangleABC$為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)$C$最多有（）。A、4個(gè)B、5個(gè)C、7個(gè)D、8個(gè)7、如圖，從下列四個(gè)條件：①$BC=B'C$，②$AC=A'C$，③$\angleA'CA=\angleB'CB$，④$AB=A'B'$中，任取三個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8、如圖，是一個(gè)改造后的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊中（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），那么該球最后將落入的球袋是（）A.1號(hào)袋B.2號(hào)袋C.3號(hào)袋D.4號(hào)袋二、填空題（每小題5分，共30分）1、已知$|a+1|<3$，則$a$的取值范圍是$(-\infty,\quad\_\_\_)\cup(\_\_\_\quad,\quad\infty)$。2、已知$\log_32=a$，$\log_43=b$，則$\log_29=$\underline{\quad\quad}。3、已知$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$為$BC$的中點(diǎn)，$E$為$AD$的中點(diǎn)，則$BE=$\underline{\quad\quad}。4、若$3^x+3^{-x}=18$，則$x=$\underline{\quad\quad}。5、若$\log_2a+\log_4b=3$，$\log_2b+\log_4a=5$，則$\log_2ab=$\underline{\quad\quad}。6、已知$\triangleABC$的三邊長(zhǎng)分別為$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\sinA=$\underline{\quad\quad}。三、解答題（共38分）1、（10分）如圖，在$\triangleABC$中，$AD$，$BE$，$CF$為三條角平分線，且$AD$，$BE$交于點(diǎn)$O$，求證：$OC$垂直于$EF$。2、（12分）已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{4-x}$，$x\in(-\infty,2)\cup(2,4)\cup(4,\infty)$，求$f(x)$的最小值和最大值。3、（16分）已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{x^2-2x+3}{x^2+1}$，$x\in\mathbb{R}$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和最值。AD⊥BC，DE⊥AB，DE=2，求BC的長(zhǎng)。解析：由題意可知，△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AB=AC，設(shè)AB=AC=x，則BD=CD=x/2。又因?yàn)锳D⊥BC，所以AD是BC的中線，所以AD=BD=x/2。又因?yàn)镈E⊥AB，所以AE=EB，由勾股定理可得AE=EB=√(x2/4-1)。又因?yàn)锳D=BD=x/2，所以DE=AD-AE=x/2-√(x2/4-1)。又因?yàn)镈E=2，所以x/2-√(x2/4-1)=2，解得x=2√5。所以BC=AB=AC=2√5。(1)根據(jù)題目所給的條件，E和F分別是AB和AC上的點(diǎn)，且BE=AF。要證明△DEF為等腰直角三角形。證明：首先，連接DE和DF，我們可以得到△DEF。由于BE=AF，所以AE=BF，因此△ABE和△ACF是全等三角形。因此，∠BAE=∠CAF，∠ABE=∠ACF，∠AEB=∠AFC。由于∠ABE和∠ACF為直角，所以∠AEB和∠AFC為直角。因此，△DEF為等腰直角三角形，證畢。(2)在這種情況下，E和F分別是AB和CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，但仍有BE=AF?，F(xiàn)在要證明△DEF是否仍為等腰直角三角形。證明：首先，連接DE和DF，我們可以得到△DEF。由于BE=AF，所以AE=BF，因此△ABE和△ACF是相似三角形。因此，∠BAE=∠CAF，∠ABE=∠ACF，∠AEB=∠AFC。由于∠ABE和∠ACF為直角，所以∠AEB和∠AFC為直角。因此，△DEF為等腰直角三角形，證畢。(3)某批發(fā)商要將一批海產(chǎn)品從A地運(yùn)往B地，路程為120千米。汽車(chē)貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司均提供海產(chǎn)品運(yùn)輸服務(wù)，汽車(chē)和火車(chē)的速度分別為60千米/時(shí)和100千米/時(shí)。兩家公司的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：運(yùn)輸工具運(yùn)輸費(fèi)單價(jià)（元/噸·千米）冷藏費(fèi)單價(jià)（元/噸·小時(shí)）過(guò)路費(fèi)（元）裝卸及管理費(fèi)（元）汽車(chē)252005火車(chē)1.8516005（1）設(shè)該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品有x噸，汽車(chē)貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司所要收取的費(fèi)用分別為y1和y2，求y1和y2與x的函數(shù)關(guān)系式。解：對(duì)于汽車(chē)貨運(yùn)公司，運(yùn)輸費(fèi)用為2元/噸·千米，冷藏費(fèi)為5元/噸·小時(shí)，過(guò)路費(fèi)為200元，裝卸及管理費(fèi)為5元，總費(fèi)用為：y1=2x×120+5x×1+200+5=240x+205對(duì)于鐵路貨運(yùn)公司，運(yùn)輸費(fèi)用為1.8元/噸·千米，冷藏費(fèi)為5元/噸·小時(shí)，過(guò)路費(fèi)為1600元，裝卸及管理費(fèi)為5元，總費(fèi)用為：y2=1.8x×120+5x×1+1600+5=216x+1605因此，y1和y2與x的函數(shù)關(guān)系式分別為y1=240x+205和y2=216x+1605。（2）如果該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品不少于30噸，為了節(jié)省運(yùn)費(fèi)，他應(yīng)該選擇哪家