二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法

關(guān)于二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法1第1頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三2定理任何一個(gè)二次型都可以通過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形。(1)若aii不全為零,設(shè)a11≠0則上式可寫(xiě)成第2頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三3配方第3頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三4第4頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三5它是非退化的,代入后對(duì)y2,y3,…,yn的二次型.第5頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三6當(dāng)aii'不全為零時(shí),繼續(xù)上述方法.否則用下述(2)(2)若aii=0(i=1,2,…,n),但至少有一個(gè)aij≠0,設(shè)a12≠0,則第6頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三7它是非退化線性的替換,代入后第7頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三8反復(fù)使用(1)與(2),可以在有限步內(nèi)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.因?yàn)閤=Cy,|C|≠0y=Dz,|D|≠0則x=(CD)z,|CD|=|C||D|≠0也是非退化線性替換.第8頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三9以上做法中,每一步都是非退化線性替換.因此可以找到一個(gè)非退化線性替換化為二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理對(duì)任意對(duì)稱陣A,存在可逆陣C使得CTAC為對(duì)角陣.即任何對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)對(duì)角陣.上述定理的證明實(shí)績(jī)上給出了一種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：配方法.第9頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形.拉格朗日配方法的步驟例1第10頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三解含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)第11頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三所用變換矩陣為第12頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三13解:配方化簡(jiǎn)第13頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三14代入可得標(biāo)準(zhǔn)形為第14頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三15非退化線性替換矩陣為第15頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三16

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.第16頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三解例3由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以第17頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三再配方，得第18頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三所用變換矩陣為第19頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三20第20頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三21第21頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟第22頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三解step1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例()()9182--=ll從而得特征值第23頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三step2．求特征向量得正交向量組step3．將特征向量正交化第24頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三step4．將正交向量組單位化，得正交矩陣P第25頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三于是所求正交變換為第26頁(yè)，講稿共29頁(yè)，2023年5月2日，星期三27第27