二項(xiàng)式定理各種題型歸納

關(guān)于二項(xiàng)式定理各種題型歸納第1頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三

二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)復(fù)習(xí)舊知第項(xiàng)第2頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)1在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端等距離的任意兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.性質(zhì)2：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；性質(zhì)3：性質(zhì)4：(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和.第3頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型一利用的二項(xiàng)展開式解題解法1例1求的展開式直接用二項(xiàng)式定理展開第4頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型一利用的二項(xiàng)展開式解題例1求的展開式解法2化簡后再展開第5頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題2若,則的值()A一定為奇數(shù)C一定為偶數(shù)B與n的奇偶性相反D與n的奇偶性相同解:所以為奇數(shù)故選(A)思考能用特殊值法嗎?偶偶奇A第6頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三熟記二項(xiàng)式定理,是解答與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件,對比較復(fù)雜的二項(xiàng)式,有時先化簡再展開更便于計算.例題點(diǎn)評第7頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型二利用通項(xiàng)求符合要求的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)例3求展開式中的有理項(xiàng)解:令原式的有理項(xiàng)為:第8頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例4(04全國卷)的展開式中的系數(shù)為__________解:設(shè)第項(xiàng)為所求的系數(shù)為第9頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三分析：第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)---第k+1項(xiàng)的系數(shù)-具體數(shù)值的積。解：第10頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng),或者求滿足某種條件的項(xiàng),或者求某種性質(zhì)的項(xiàng),如含有x項(xiàng)的系數(shù),有理項(xiàng),常數(shù)項(xiàng)等,通常要用到二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解.注意(1)二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別.(2)表示第項(xiàng).3例題點(diǎn)評第11頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型3二項(xiàng)式定理的逆用例6計算并求值解(1):將原式變形第12頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型3二項(xiàng)式定理的逆用例7計算并求值解:(2)原式第13頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題點(diǎn)評逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),也是重點(diǎn),只有熟練掌握公式的正用,才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用第14頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型4求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)(系數(shù))例8的展開式中,的系數(shù)等于___________解:仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得的系數(shù)是解法2運(yùn)用等比數(shù)列求和公式得在的展開式中,含有項(xiàng)的系數(shù)為所以的系數(shù)為-20第15頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例9．求展開式中的系數(shù)。解:可逐項(xiàng)求得的系數(shù)的展開式通項(xiàng)為當(dāng)時系數(shù)為的展開式通項(xiàng)為當(dāng)時系數(shù)為所以展開式中的系數(shù)為的展開式通項(xiàng)為當(dāng)時系數(shù)為-4第16頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)(某項(xiàng)的系數(shù)),可以逐項(xiàng)分析求解,常常對所給代數(shù)式進(jìn)行化簡,可以減小計算量例題點(diǎn)評第17頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型5求乘積二項(xiàng)式展開式中特定的項(xiàng)(特定項(xiàng)的系數(shù))例題10:求

的展開式中項(xiàng)的系數(shù).解的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是第18頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三由題意知解得所以的系數(shù)為:

例題點(diǎn)評對于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩個通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算第19頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三（題型6）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和解：設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)和為1例題點(diǎn)評求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和常用賦值法：令二項(xiàng)式中的字母為1∵上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，(2-1)n=∴=（2-1）n=1例11.的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為____第20頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型7：求奇數(shù)(次)項(xiàng)偶數(shù)(次)項(xiàng)系數(shù)的和(1)(2)第21頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型7：求奇數(shù)(次)項(xiàng)偶數(shù)(次)項(xiàng)系數(shù)的和所以（3）第22頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題點(diǎn)評求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設(shè)二項(xiàng)式中的字母為1或-1，得到一個或幾個等式，再根據(jù)結(jié)果求值第23頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型8三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再利用二項(xiàng)式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)得=1107第24頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三______________解：原式化為其通項(xiàng)公式為240例題點(diǎn)評括號里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng),合并時要注意選擇的科學(xué)性.也可因式分解化為乘積二項(xiàng)式.第25頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型9求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解:設(shè)項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng),則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第11項(xiàng),即所以它們的比是第26頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例16在的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)解：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng)，則所以當(dāng)時，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為第27頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例17求的展開式中數(shù)值最大的項(xiàng)解：設(shè)第項(xiàng)是是數(shù)值最大的項(xiàng)展開式中數(shù)值最大的項(xiàng)是第28頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有由此確定r的取值例題點(diǎn)評第29頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型10整除或余數(shù)問題例18解:前面各項(xiàng)均能被100整除.只有不能被100整除余數(shù)為正整數(shù)注意第30頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng),再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)例題點(diǎn)評第31頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型11證明恒等式析:本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和.因?yàn)橛纱朔治銮蠼鈨墒较嗉拥?2頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題點(diǎn)評利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等式是一種最常見的方法,證明等式常用下面的等式第33頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例20．證明：

證明通項(xiàng)所以題型12證明不等式第34頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三例題點(diǎn)評利用二項(xiàng)式定理證明不等式,將展開式進(jìn)行合理放縮第35頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三題型13近似計算例21.某公司的股票今天的指數(shù)為2,以后每天的指數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%,則100天后這公司的股票股票指數(shù)為_____(精確到0.001)解:依題意有2(1+0.2%)100所以100天后這家公司的股票指數(shù)約為2.44點(diǎn)評近似計算常常利用二項(xiàng)式定理估算前幾項(xiàng)第36頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三鞏固練習(xí)一選擇題1(04福建)已知展開式的常數(shù)項(xiàng)是1120,其中實(shí)數(shù)是常數(shù),則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是()C2若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為-5,則n等于()A4B6C8D10B3．被4除所得的系數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3A第37頁，講稿共39頁，2023年5月2日，星期三展開式中的系數(shù)是______________2被22除所得的余數(shù)為

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1353已知