大工15秋《高等數(shù)學》輔導資料十二

大連理工大學網(wǎng)絡教育學院第8頁共8頁高等數(shù)學輔導資料十二主題：第五章定積分學習時間：2015年12月14日—12月20日內(nèi)容：這周我們將學習第五章定積分。本章將介紹積分學的另一個基本內(nèi)容—定積分。首先從實際問題出發(fā)引進定積分的定義，然后討論它的性質與計算方法。其學習要求及需要掌握的重點內(nèi)容如下：1、理解定積分概念和定積分的幾何意義2、理解定積分的性質3、會計算積分上限函數(shù)的導數(shù)4、熟練掌握計算定積分的牛頓—萊布尼茲公式5、掌握定積分的分部積分法和換元積分法基本概念：定積分概念，定積分中值定理，牛頓—萊布尼茲公式知識點：定積分的計算方法知識結構圖第一節(jié)、實例一、曲邊梯形的面積設函數(shù)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù)，由直線及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊，求曲邊梯形的面積。二、變速直線運動的路程設物體作變速直線運動，已知速度v=v(t)是時間間隔上t的連續(xù)函數(shù)，且v(t)30，球這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S。第二節(jié)、定積分的概念一、定積分的定義設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,用分點把[a,b]分成n個小區(qū)間：，其長度為，在每個小區(qū)間上任取一點，作乘積并求和,，記。如果當l?0時,上述和式的極限存在,且極限值與區(qū)間[a,b]的分法和的取法無關,則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作。即（需要理解概念）其中叫做被積函數(shù),叫做被積表達式,叫做積分變量,叫做積分下限,叫做積分上限,[a,b]叫做積分區(qū)間。二、定積分的存在原理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則定積分必定存在。三、定積分的幾何意義根據(jù)定積分的定義，變速直線運動的路程為設存在，若在上，則的值等于以，及軸所圍成的曲邊梯形的面積。若在上，則的值等于以及軸所圍成的曲邊梯形的面積的負值。若在上的值有正也有負，則的值等于曲邊梯形面積的代數(shù)和，在的部分取“+”，在的部分取“-”。（需要理解定積分的幾何意義）說明：(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與積分變量的記法無關，即。(2)和通常稱為的積分和。(3)如果函數(shù)在[a,b]上的定積分存在,我們就說在區(qū)間[a,b]上可積。(4)規(guī)定，。范例解析：計算題：試用定積分的幾何意義給出下列定積分的值（1）（2）解：（1）由定積分的幾何意義知，為由折線，直線，以及軸圍成的幾何圖形（如下圖）的面積，即（2）由定積分的幾何意義知，為由圓（即）與軸、軸圍成的圓的面積（如下圖），即第三節(jié)、定積分的性質（需要理解方法）設在上是可積的，則有：性質1范例解析：性質2性質3性質4性質5性質6（定積分對區(qū)間的可加性）若，則有當位于區(qū)間之外時，性質6也成立。范例解析：單選題、定積分（）A、B、C、D、解題思路：由定積分對區(qū)間的可加性，即分段性質知，由于當時，，當時，，所以當時，，當時，，故答案：B性質7如果在區(qū)間上，則推論1如果在區(qū)間上，則范例解析：單選題、定積分與有關系式（）A、B、C、D、解題思路：因為當時，，并且，所以，由定積分的比較性質知。答案：B推論2性質8（定積分的估值）設M及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值,則性質9(定積分中值定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在積分區(qū)間上至少存在一個點,使成立。常稱為在區(qū)間上的平均值。（如下圖所示）范例解析：計算題、利用定積分的幾何意義說明等式解：表示由直線軸及直線所圍成的面積,顯然面積為1。第四節(jié)、定積分與原函數(shù)的關系一、變上限的定積分及其導數(shù)設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),，則定積分一定存在，當在[a,b]上變動時，它構成了一個的函數(shù)，稱為的變上限積分函數(shù)，記作，即（要求理解概念）定理1如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則變上限積分函數(shù)(x)在[a,b]上具有導數(shù),且導數(shù)為(x)定理2如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則變上限積分函數(shù)(x)就是在[a,b]上的一個原函數(shù)范例解析：1、2、二、牛頓—萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù),則。此公式稱為牛頓—萊布尼茨公式,也稱為微積分基本公式。（要求熟練掌握公式）范例解析：1、2、三、定積分的換元法與分部積分法1、定積分的換元法定理設函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)滿足條件：(1)(2)在[,](或[,])上具有連續(xù)導數(shù),且其值域不越出[a,b]，則有這個公式叫做定積分的換元公式。（要求熟練掌握計算方法）范例解析：計算題、設，求的值。解：解法Ⅰ令解法Ⅱ使用湊微分公式2、定積分的對稱性設為上的連續(xù)函數(shù)，則范例解析：填空題、解析：注意積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)為奇函數(shù)，可知。3、定積分的分部積分法設函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導數(shù)，由得，等式兩端在區(qū)間[a,b]上積分得或這就是定積分的分部積分公式。（要求熟練掌握計算方法）分部積分過程：范例解析：計算題、計算解：附：歷史人物介紹牛頓即艾薩克·牛頓（1643（格里歷）年1月4日—1727年3月21日）爵士，英國皇家學會會員，英國偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家、自然哲學家，百科全書式的“全才”，著有《自然哲學的數(shù)學原理》、《光學》、《二項式定理》和《微積分》。在數(shù)學上，牛頓與戈特弗里德·威廉·萊布尼茨分享了發(fā)展出微積分學的榮譽。他也證明了廣義二項式定理，提出了“牛頓法”以趨近函數(shù)的零點，并為冪級數(shù)的研究作出了貢獻。弗里德·威廉·萊布尼茨（1646年—1716年），德國哲學家、數(shù)學家，和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時