常見遞歸數(shù)列通項公式的求解策略

1常見遞歸數(shù)列通項公式的求解策略數(shù)列是中學數(shù)學中重要的知識之一，而遞歸數(shù)列又是近年來高考和全國聯(lián)賽的重要題型之一。數(shù)列的遞歸式分線性遞歸式和非線性遞歸式兩種，本文僅就高中生的接受程度和能力談談幾種遞歸數(shù)列通項公式的求解方法和策略。一、周期數(shù)列如果數(shù)列滿足：存在正整數(shù)M、T，使得對一切大于M的自然數(shù)n，都有成立，那么數(shù)列為周期數(shù)列。例1、數(shù)列滿足a1=2，an+1=1－，求an。解:an+1=1－an+2=1－=－,從而an+3=1－=1＋an－1=an,即數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列。又a1=2，a2=1－=,a3=－12,n=3k＋1所以an=,n=3k＋2(kN)－1,n=3k＋3二、線性遞歸數(shù)列1、一階線性遞歸數(shù)列：由兩個連續(xù)項的關系式an=f(an-1)〔n,n〕及一個初始項a1所確定的數(shù)列，且遞推式中，各an都是一次的，叫一階線性遞歸數(shù)列，即數(shù)列滿足an＋1=f(n)an＋g(n)，其中f(n)和g(n)可以是常數(shù)，也可以是關于n的函數(shù)?！惨弧钞攆(n)=p時，g(n)=q〔p、q為常數(shù)〕時，數(shù)列是常系數(shù)一階線性遞歸數(shù)列?！?〕當p=1時，是以q為公差的等差數(shù)列。〔2〕當q=0，p0時，是以p為公比的等比數(shù)列?！?〕當p1且q0時，an＋1=pan＋q可化為an＋1－=p(an－),此時｛an－｝是以p為公比，a1－為首項的等比數(shù)列，從而可求an。例2、：=且，求數(shù)列的通項公式。解：=恐－內(nèi)=紫即數(shù)制列是堪以為餅公比互，巷處為首此項的量等比使數(shù)列腫。坦〔二婚〕當緩f(不n)靈，g父(n斃)至枕少有象一個睜是關鴿于n少的非跑常數(shù)賀函數(shù)煎時，鋸數(shù)列鄭｛a捕n｝義是非膠常系岸數(shù)的姓一階援線性呼遞歸雹數(shù)列搜?？洹?頑〕當壯f(殃n)便=矛1時咱，化坦成a吼n＋鬼1=責an項＋g逐(n綢),晴可用歉求和肉相消芽法求避an妄。牢例3豎、〔伏20濤03抄年全詠國文息科高冶考題緣〕已港知數(shù)墾列｛蟻an塘｝滿泡足a茫1=護1,袋an忠=3躺n-百-1丘＋a面n－宜1廈(n兼2)次,記(廣1)獨求a裕2盼,a方3襖;柄(2畜)捷證明功：a范n=顏.蝴屢(1稱)解鉗：顫a1工=虹1,崇a風2=略3＋臨1=張4運,還a3翼=3眨2＋顏4=恨13抓.構趟(2脆)證耀明：艘a滲n=周3n芳--覆1＋離an律－1正(眠n2更)蘆,扯an桿－a圍n－備1=刷3n蔑—1驚,旬釣an倦－1黑－a邪n－棋2=富3n個—2姻,奸貝an剛－2望－a心n－堅3=奉3n水—3鉆咽……招,目a4哄－a槍3=威33緩,維走a3鹽－a叨2=脖32恰,汁介a2貝－a弓1=稱31乖靠將以暢上等斧式兩趨邊分弦別相填加，勤并整朗理得心:業(yè)an鴨－a驗1=緒3n洲—1抓＋3旋n—凱2＋戰(zhàn)3n替—3打＋…肥＋3斑3＋廣32對＋3懸1責,斑即a怨n=辯3n旦—1電＋3杰n—愛2＋戰(zhàn)3n侍—3叢＋…營＋3井3＋報32聾＋3課1＋飾1=最.染笑〔2究〕當?shù)耮(根n)村=0轟時,崗化為次a慎n＋姿1=就f(詞n)浙a蟲n啊，可嗎用求闖積相頂消法梨求a屆n廢。娃例4示、已縣知數(shù)秤列｛找an羅｝滿莊足a這1壤=－元2醫(yī),悄a忘n=臣3n列a桌n－子1，誼求通坦項a令n雖。沉解：背a捆1礙=－船2都,墳a已n=秒3n緩a臂n－憑1弓a殃n－孩1=行3n澇－1店a擇n－歌2吸，叉a戴n－軋2=漠3n嫌－2貸a辱n－疲3物，售……器，冊a茫4=佳34群a書3芳，后a駐3=劃33繩a驅(qū)2誦，緞a2帖=絮32帽a坑1央將以巡上等恢式兩桌邊相菜乘并墊整理絡得：糊哄a端n=跨3n睜·3縣n－傾13姨n－嫩2·踩…·丸34叨·3鞭3·補32亮·a普1=口－2層·3昏2+繪3+卡…+系n孔=－械2·乖3誼〔3驢〕當絕f(呼n)余是非穗1的使常數(shù)糠p時右，a搏n＋鬼1命=p嫁a造n＋腸g(宰n)觸可揮用兩就邊同巾除以藝pn騰+1肯得騎，稀令b穩(wěn)n+烘1=恩，在那么b磚n+酷1=蹈bn井＋，沖仿照沃〔1聾〕求閣出貍bn歷之后炮，再查求出衛(wèi)an芽.洲始例5蒙、設率有數(shù)荷列｛雀an巷｝:鞭a枝1汗=1診,錦a擋n＋魯1英=添an呈＋拉，求膠an測.搭何解：坊an手＋1奸=草a悅n＋家2蘇n+尖1a周n＋擊1=罰2n疲an鄰＋2能組令b椒n+自1=市2n曉+1攝an作＋1嚇，廉那么b貸n+攀1=辭b虛n＋倦2，接即｛汪bn嗽｝是魔以2旋為公課差，約b1儉=面2a惑1=滴2為磁首項濤的等執(zhí)差數(shù)孫列，啞劑故有這bn邁=2黑＋(愈n－拜1)賽·2禾=2相n，敘從而鏡an減=，加即a吃n=外烏一般莫情況繩，當芹f(丟n)順不普是常融數(shù)時側(cè)，仿純〔3早〕可浙求敞例6標、已媽知｛想an賴｝中密，a菊1漢=2變,緒n洞a嚴n＋朝1=撒(n役＋1艙)疤an讓＋2扔，求域｛a臭n｝憤的通押項公踐式。想快解：轎n故a府n＋慰1=簽(n翻＋1晃)晌an稍＋2裂章令b訴n+渠1=顧，帖那么b蛾n+支1=路bn負＋丙，仿執(zhí)〔1?！晨上蟮帽栋鑒n既=b初1＋著2[前＋＋逃…＋殃]=督a港1＋爪2(樓1桌－)露=2污＋2然(1世－)老=4績－排an載=n憤b粒n=邁4n吳－2戀凝2、享二階鏡線性啟遞歸剖數(shù)列仰：由賠三個脊連續(xù)秩項的汽關系錄式義an復＋1光=f儉(a燦n叉,致an為-1永)妥(n等,框nN沃)及非兩個祥初始罷值a崗1,經(jīng)a鈴2彈所確菠定的較數(shù)列谷，且趕遞推溪式中綢，各村an樓都是陳一次正的，盡叫二線階線壺性遞多歸數(shù)霜列。菌序設數(shù)尋列｛等an嘴｝滿濤足a炮n＋晌1生=p籍a(chǎn)劉n＋章q歡an張-1鳴，孝那么其頓通項拌an為的求漁法如籌下：第〔1椒〕寫鍋出遞挽推式莫所對蠢應的衰特征雷方程峰x2成=p誓x＋床q查；〔燦2〕險解特警征方保程得叮到兩側(cè)個根誓x1隙,患x耀2牢；(派3)欣如果省x巧1x閉2錦，那么舅可設批an很=a可x運1n濕＋b忙x紛2n訂；藝如果趙x1挪=喊x2蹲，豎那么可龜設a晉n=擱(c降＋d鄭n)虹x找1n坐；吩〔4踏〕由管初始值值a顫1,催a高2云求出業(yè)a抹,炒b在或c采,既d氣.丑坐例7度、已劃知數(shù)痕列｛宮an告｝滿壁足a論n＋揉1粱=－禍2抽an全＋3箱a鐮n-找1峽，且蝴a1踐=1是,線a2奉=5狀，求惜通項遲公式芽an秧.鍬誕解：璃關于均an假設＋1帖=疼－2令a棉n＋營3董an沫-1普所膀?qū)５奶匕握鞣娇殖淌歉Gx2瘡=－免2x紫＋3侵，其積兩個綢根為圓1和轉(zhuǎn)－3穴。烘設黃an好=a唯＋b睛(－迅3)農(nóng)n圾,拉因為今a1嬸=1缺,頑a2授=5固,蜜所丘以低a＋霧b(橋－3亦)=蠶1綠a＋編b=年5污解得渴a=境2緣,怕b=設，填所以腫an也=2清＋(翁－3屆)n具.仁框例8襯、已板知數(shù)告列｛迷an弊｝中胖，a確n＋裝2屋=6拉a片n+琴1－犁9聰an廉，平且a舒1=檔1,擾a啦2=罷2墓,求壘an糊搶解：衣遞歸癥關系拼an燙＋2久=支6撫an徑+1策－9惹a非n訴所對繼應的刺特征銷方程討是根x2旁=6首x－態(tài)9財，其區(qū)根是理二重煉根3冷.朵設a冠n=葛(c劣＋d呈n)泄3曉n夫,政a1坊=1鏟,害a2摔=2炎,書惱3(即c＋糞d)貪=1溪純9(粒c＋齡2d刺)=眾2黑解得順c=售,濫d版=－泛，唱所以貝an策=(要4－填n)姨3旋n-銹-2蹄漂三、杠其它隔遞歸漿數(shù)列捕訓1、姐形如撒an深+1皆=p常an憐q望(p齒>0旬,洞a售n>誠0)匯型的芳遞歸餅數(shù)列霧，可亞用對膽數(shù)代擦換法侵求a滅n繳例9限、設克數(shù)列釋｛a盼n｝極滿足幅a1效=4重,派an劈+1重=5直an請2于，求踐an秀.扔欺解：壯由a褲n+三1=綢5a片n2眨可礎知a返n>母0，季所以醬兩邊卻取對鍵數(shù)，有得l癢ga妄n+馳1=共2l累ga象n＋紹lg毅5狹，令汪bn務=l舟ga礙n，魚那么b婚n+刮1=臉2富bn頑＋l究g5裹，格化為撒慘bn毛+1悄＋l雅g5被=2弟(b板n＋場lg飽5)跌，香即｛吼bn明＋l撐g5事｝是注以2踐為公魂比，綠b1葛＋l尾g5親=令lg手a1返＋l究g5尚=l享g2垂0為漢首項漢的等損比數(shù)啟列，刪從而蝶有：勒模bn凡＋l斬g5釣=(質(zhì)lg鞭20麗)2鞠即粗bn橡=(倆l蒼g2魂0)舊2－惱lg尊5，餅所以歷lg脂an鐵=l嘉g,填妖即a申n=幣揭2、抖形如遷n+碑1=挖型揭的遞戶歸數(shù)彼列，星可用艙倒數(shù)去代換丑法求呈(0嶄)熔例1粗0、黃究數(shù)列怖｛n通｝滿氏足n些+1膚=，政且a張1=佛－2閘,療求通油項公狹式n廉辟解：糊n極+1仔=何兩邊蒸取倒定數(shù)得云，裝令b熄n=族，那么倍b荒n+漠1=頌bn嚷＋狹，可尤化為圖bn四+1雙－2蕉=(叉bn晚－2搞)，肝即｛下bn傲－2剖｝是座以為恩公比愧，以是b鐵1－博2=申－為絲首項災的等閉比數(shù)城列，登b貨n－荒2=削－裁即－刪2=抹－抵,前n=零閘3、套分式涉遞歸見數(shù)列沖n+紛1=鈴(c看0,削)驚型的懂通項燭公式內(nèi)的求餅法：奴(1紗)寫討出遞惑推式浮所對唯應的勢特征罰方程劇=纖；〔沫2〕蓮解特榨征方搜程得運到兩騰個根餃x1希,私x僅2烏；〔顯3〕斑如果凡x1尖x育2，倚那么數(shù)鵝列｛袖｝是饑等比瑞數(shù)列遷；輸如果茫x1寺=椅x年2，平那么數(shù)續(xù)列｛玩｝是追等差繭數(shù)列巧；〔宜4〕乏由等坦比數(shù)崖列或芽等差尿數(shù)列死的通魂項公懲式求鋪n鉗例1山1、洲〔1鳴98藥7年塞中國國數(shù)學漁奧林嫁匹克貼集訓決隊習始題〕益設｛懼n｝完滿足濟=2軟,捆n伶=(繞n1科)，心求n欄磨解：綠由遞盜推式屬n=芽所對任應的浩特征概方程兄=得旦其根眉為x物1炊=－賊2仰,偶x2該=3綢,譯頂÷=頂×=源－4漁催數(shù)列膀｛｝污是以搏－4富為公喇比，異=－薦4為茶首項榆的等杜比數(shù)陽列，厭那么有懲=－班4·輔(－大4)快n甩n=斧孔線性過二項橋遞歸釘數(shù)列健的通樂項及到應用

嘩一個皺數(shù)列蔥{a且n}貞，如依果它樣的第觀n項撫an廁與項埋數(shù)n矩之間強的函糞數(shù)關產(chǎn)系可務以用蓮一個聞公式爭an混=f業(yè)(n皺)笨表示音時，先這個吼公式現(xiàn)叫做衫這個匪數(shù)列比的通皆項公友式。鍬一般預地說尺，給蜜出一糟個數(shù)返列，燈就是綿給出壓它的蓬構成瓦規(guī)律鞋。常匠見的鄭用解要析式爺給出餓它構努成規(guī)竊律的籌方法礦有通誘項公鐵式法惱以及哲遞推博公式態(tài)法。招“給劃出數(shù)袋列的書遞推縣公式災，求距通項腿公式努〞是于數(shù)列篩教學泄的一鞏個難泊點。庭下面究先就掏一道危習題快的解完法對儉“線恥性二藥項遞達歸數(shù)胳列的飲通項緒〞求商解方傅法做壁一簡引單小逮結(jié)。

夜例：周逐數(shù)列辛{a弦n}襖滿足紀a1連=3陜,a滔n+升1=般2a喜n+熄7,奧求{拳an葉}的凱通項礎公式桌。

茂解法向一：庸〔配磁湊法詳〕

塵∵鉆a1甚=3洞,a存n+輝1=歐2a航n+橋7

賣令嫩an為+1曬–p漲=2凍(a博n-倦p)

枯那么a求n+保1=跳2a庫n-勵p,悉

證比擬齡系數(shù)缺得p抬=-推7

臥那么

望

英

益

罩=2申(常番數(shù))

蹄由定蒸義知錦，數(shù)匠列{濃an泉+7勿}名是公冠比q慢=2櫻的等醒比數(shù)愿列，

序那么展an慎+7扒=(頑a1局+7志)·艱2n刷-1變

已

鼻又鋸∵亞a1餓=3亮,那么鈔得出攀數(shù)列晝{a胳n}陣的通風項公窮式為忠：

改an擊=1慶0·鬼2n課-1吸-7

掘解法舅二：渾〔疊擾加法程〕

蹄∵利an奧+1資=2練an崖+7

叉∴藝an先=2盯an玻-1哨+7

理2a眉n-裕1=萍22頌an惰-2獅+2厭×7

仔22拳an伐-2舅=2進3a湊n-瘦3+甚22挪×7

說…

兵2n敗-2賤a鋤2=燈2n咐-1次a健1+服2n畢-2其×7

塵將以滴上n瘡-1興個式刪子疊璃加，幫兩邊糾相消桌得：

豆an早=2滾n-副1·傾a1延+7笑(1霸+2位+2奧2+魂…+斬2n全-2斥)

緒

般

照

配

螺

靠=憂2n樓-1懶·a澤1+糞7(唯2n鏈-1斯-1簡)

削由于眉a棕1=景3

筆∴唐得a刃n=燥10呢·2府n-旬1-押7

覽解法賤三：佳〔解險方程延組法摸〕

渠

證∵平an渠+1威=2抖an慕+7擾

跪

仿

觸①孔

之

范∴旗an點=2惜an講-1爐+7胞

馬

溉斗②襲

倡

丹①違－歇②侵得：

粒an曲+1阻-a微n=鴿2(夾an唯-a味n-墳1)

獸設b字n=妨an漿+1界－a右n,萌那么糕

挖

爸

那=2

薄

b花1=亭a2蒜－a勿1=恐2a錦1+丈7－參a1德=1買0

澤

b坑n=隙10具·2兩n-桂1

什

a威n+笨1－臣an政=1默0·躍2n你-1

怠聯(lián)立柴方程偶組叫解得費an磁=1氏0·片2n峰-1欣－7

刮解法士四：虧〔遞績歸法斧〕

統(tǒng)∵嫌an燭+1演=2羨an膏+7

伯∴蝕an餃=2紅an陪-1菠+7

葉=2晉(2鞭an愈-2愈+7鼓)+兇7=儀22禍an菜-2輛+2蜻×7晉+7

藍=2汽2(請2a獅n-全3+臺7)優(yōu)+2學×7坑+7

拴=2珍3a休n-畢3+晃22視×7轎+2紋×7懼+7

廚=…哄…

信=2疊n披-1鄰a像1+洋(2幼n-任2×爭7+喚2n山-1廁×7鍋+…目+2線×7些+7攜)

然=2近n-臂1·吊a1尋+7繁(2靜n-伯1－董1)

孤∵顛a1弄=3余

固

爽∴父an豬=1宵0·懷2n疾-1瘡－7

板解法駛五：禮〔不努動點缺法〕

運設f腎(x救)=精ax素+b捆(a航1蒸,b剝0革),港那么f觀(x份)的陽不動熟點是

硬f(報x)潛的n報次迭輕代函棉數(shù)的策解析呼式可仆表示淋如下粉：

下f[衡n]笛(x倆)=犁an臘(x非-

國

汗)+暗

月∵寸an京+1階=2陷an烏+7危,a隊1=嘆3

?！嗳蘟n災=2筍an束-1渣+7

同=2疑n-浸1(膝a1夜-

蒼

液)漏+

黎=1搜0·層2n誓-1裙-7

胖解法釀六：通〔特點征根看法〕

框假設數(shù)元列{巴an孕}中偉,a鞏1已悼知,遠an速+1廚=a掉·a錢n+斯b(狀a≠脆1,或b≠扭0)

清那么稱五x=猾ax難+b相為{左an雙}的脈特征具方程喊，其喝根x命=

烤

暖稱為喬特征聚根。

扔這時痰有如樓下結(jié)旨論：

委an陶=(捷a1雄-x丙)·掏an焦-1虧+x

豎對于場此題匆，由甜于a把1=乒3,敞a=道2,采b=壘7.畏∴催x=材

賤

普=-鋪7

舉∴序an條=1峰0·授2n占-1滔-7

側(cè)[應雨用舉泰例]

所

濟例1塘：小進王貸求款a腐元用鎮(zhèn)于購啟房，瓣采用關月均哭等額事本息宰還款裳方式蟻，假設寒m個翼月將潮款全妥部還壽清，望月利慘率為遠r，恰求每籍月還努款額倘x。

葬解：初設第耍n(綱n≤聾m)斗次還傻款后歸，小狂王還展欠a側(cè)n元前錢，渠這a叢n元劈錢到醫(yī)下月升增值奔到a恢n(哥1+解r)采元，辨還x突元后撫，還龍有a劑n+蕩1=柿(1銹+r總)a框n-繩x。

繡可知方小王近每次材還款志后仍撐欠銀置行的吹錢依篩次形禁成一懲個數(shù)洗列{交an雨}，喚其中許a1撫=a衛(wèi)(1扒+r獲)-甘x,訴an道+1驕=(副1+測r)料an辣-x夾

解

存

牲所以疊有，晚

嘆an救=(華1+按r)計an波-1刑-x

浸=(宅1+扯r)覺[(步1+淹r)售an蘋-2礎-x虎]-蜜x

馬=(看1+點r)斑2a惕n-妹2-捧(1庫+r昂)x魔-x

障=(下1+卡r)鳴3a握n-蠅3-玉(1端+r椅)2絕x-蝴(1嘆+r術)x津-x

勸=(真1+穗r)欣4a筐n-與4-遮(1父+r煎)3扶x-攝(1捷+r胳)2歲x-逢(1撒+r久)x義-x

保=L安L

尋=(嗚1+噴r)煉n傾-1賀a彩1-佛x[準(1吵+r那么)n睛-2危+(冬1+慕r)受n-版3+黃L+災(1塘+r守)+饑1]

告=(睡1+愈r)飾n-螞1[殖a(如1+詢r)稍-x永]-囑x[縣(1座+r鏡)n膝-2詠2+扔(1它+r獻)n托-3曲L剛+(號1+剪r)平+1永]

演=(焰1+購r)循na擴-x棟[駝(1尊+r花)n續(xù)-1遙+(接1+窄r)索n-腫2+植L+育(1李+r秩)+郵1]

遠=(鼓1+抄r)望na狡-

房

玩

射

裹x芝=(固1+穿r)拳na句+

憶

應

件

胞

曠x

寒題意羞可知諸am陜=0域,即鳳am故=(歷1+幼r)坡ma現(xiàn)+

范

秋

帥

瑞

取x=效0

疲所以切，撇x=

炸例2嚷：某匹林場尺原有駐森林堂木材假存量專為a雹萬立樹方米雜，木漂材每靠年以脆25逼%的忘增長殃率增版長，婦而每三年冬倉天要膊砍伐坐的木耀材量隨為x繪萬立雙方米佛。為談了實熟現(xiàn)經(jīng)彎過2茶0年處到達背木材盟存量拿翻兩僚番的西目標遺，那么鑼x的勾最大侵值是蝶多少肺？

拘解：石設第痰n年怒底木礦材存姿量為社an竹萬立儀方米西，那么

爬a1炊=a徐(1踩+2宇5%村)-株x=攪

類a-痛x

強an段+1夕=(搏1+米25過%)帽x=綿

總a宏n-西x

妹Qa范n+騰1=霉

趣an賞-x粉

氣(異an掌+1呢-4撞x)永=

頂(巴an屠-4猛x)

廉數(shù)列披{a旬n-并4x膀}是完公比畝為，畝首項馬為a控1-戲4x命的等第比數(shù)仗列，哀那么

升an旱-4輔x=歪(a舍1-掘4x由)·繞(彈)n蹤-1枯=(絲)圾a-攪5x牙·(覺)肢n-狡1

疤an攝=4介x+假設(a例-4樸x)暑·(角)站n

友令a尚20炊≥耀4a涉,即誓4x峽+(偏a-此4x楚)·指(妥)2嗚0≥淡4a

使解得俊x≤賀

丑a死一閘.肝教學顏內(nèi)容襲：屬數(shù)列健求和爹的幾匠種方略法、組數(shù)列列的實癢際應繪用問毅題

開二談.振教學竄難點棗：悶數(shù)列休的實念際應飾用問山題

極三橋.咐課標睡要求卷：首1.萄扛探索央并掌規(guī)握一翁些基嫂本的呼數(shù)列笑求前約n頁項和染的方約法；上2.錄三能在旨具體劫的問慎題情嗎境中媽，發(fā)用現(xiàn)數(shù)庸列的臺通項奶和遞真推關勁系，寺并能槍用有鄙關等卡差、亂等比鏟數(shù)列經(jīng)知識恢解決鑼相應司的實西際問扯題．

校四帳.擾命題種走向炭：蒼數(shù)列制求和捕和數(shù)遞列綜制合及碎實際療問題詠在高僑考中妙占有竭重要酒的地器位，喂一般勸情況刊下都去是出闖一道旱解答煮題，激解答致題大展多以盛數(shù)列隨為工啦具，桶綜合槍運用歡函數(shù)獅、方冊程、舞不等畝式等系知識續(xù)，通走過運翠用逆另推思波想、赴函數(shù)鋪與方幫程、沃歸納臘與猜僅想、均等價蔬轉(zhuǎn)化濁、分柿類討永論等蝶各種螺數(shù)學徐思想穿方法釀，這贏些題晉目都狠考查盜考生董靈活純運用兄數(shù)學遇知識容分析樸問題衡和解鑒決問鍛題的莖能力姿，它旨們都支屬于創(chuàng)中、酬高檔青題目溜．腰有關戚命題徹趨勢競：破1.字餡數(shù)列熟是一漏種特偉殊的倍函數(shù)窮，而憲不等劍式那么喪是深牧刻認附識函西數(shù)和讓數(shù)列或的有糞效工引具，遍三者夸的綜紫合題燥是對般根底局和能鎮(zhèn)力的年雙重置檢驗也，在蒼三者她交匯止處設榮計試蘿題，那么特別賣是代歪數(shù)推縣理題灣是高考考的嫌重點挖；疾2.盲奏數(shù)列載推理翻題將批繼續(xù)盤成為府數(shù)列旗命題悔的一首個亮邊點，擁這是隔由于技此類果題目譽能突丈出考示查學未生的紋邏輯處思維躍能力離，能刺區(qū)分含學生批思維著的嚴留謹性夾、靈襪敏程圍度、嫌靈活掀程度朱；就3.稼跨數(shù)列儀與新納的章那節(jié)知渴識結(jié)感合的籍特點鳥有可白能加赴強，啞如與媽解析血幾何稅的結(jié)竭合等草；三4.熟麗有關歡數(shù)列巾的應袋用問敞題也詠一直努備受所關注灣．

約【教搜學過飯程】臣一、蓄根本欄知識納回憶禍1.揭錯數(shù)列堂求通割項與吼和儀〔昨1辰〕數(shù)籍列前休n叢項和貞S代n苗與通刃項曉a清n比的關槍系式貍：四a斷n腔＝賓

對扭．某〔廊2美〕求宵通項花常用腔方法認①桑作新死數(shù)列陡法．犧作等題差數(shù)地列與考等比徒數(shù)列稿．階②獲累差始疊加此法．禾最基洲本的器形式午是：面a飄n朝＝〔油a瓶n倚－璃a甜n剝－疾1巾〕＋即〔于a躲n放－請1證＋部a睜n捷－休2繁〕＋插…芝＋〔宋a罷2歷－助a容1茅〕＋嶼a歪1問．融③繡歸納賄、猜李想法戶．催〔規(guī)3紙〕數(shù)該列前垮n殘項和沸①茄重要聰公式請：等獨差和南等比鋸數(shù)列計的求硬和公旋式縮1萌＋傍2更＋網(wǎng)…姻＋殺n晚＝寺n閣〔焦n頃＋矮1墨〕；匆1廚2男＋雖2界2壺＋電…仔＋燃n預2址＝解n們〔茅n收＋豎1男〕〔副2n稻＋閘1打〕；娛1邀3叨＋透2邪3隔＋啊…胡＋輝n艙3批＝〔想1輛＋熟2晝＋為…集＋民n冊〕磁2涉＝自n敢2別〔毫n態(tài)＋甚1蓬〕何2叔；隙②慎裂項鹽相消謊法鏡將數(shù)仿列的蔬通項巴分成畫兩個含式子坐的代納數(shù)和扯，即礙a乏n妥＝場f遺〔敏n薦＋誓1蘭〕－身f尋〔斬n慈〕，缸然后敬累加后抵消幼掉中壽間的哨許多禿項，黑這種怠先裂是后消損的求念和法葡叫裂獄項求不和法太．用島裂項輸法求恭和，評需要步掌握籮一些壺常見撕的裂商項，滾如：吵、饑＝貞－移等．賣③玻錯位跌相減敬法〔俱可用梅于推粉導等謙比數(shù)松列前乓n佩項和取公式江〕齡對一始個由串等差卸數(shù)列逃及等匯比數(shù)術列對圓應項撿之積慧組成傻的數(shù)概列的份前裳n幸項和藹，常讓用錯葬位相漂減法林．趟，唇菜其中承是等妖差數(shù)體列，磨暑是等恐比數(shù)發(fā)列，雜記賄，那么膚，趣…合④窄分組錘轉(zhuǎn)化羅求和窗把數(shù)隨列的紙某些煤項放淡在一牽起先槽求和云，然鼻后再嚼求物S版n凳．寇⑤照倒序船相加薪法〔惱可用花于推袋導等親差數(shù)棍列前肅n尼項和額公式劇〕偶2.住色遞歸傅數(shù)列似數(shù)列堪的連驅(qū)續(xù)假設駛干項概滿足濫的等飼量關喘系系a華n留＋丑k喘＝紐f為〔隱a課n英＋白k丈－肝1騾，煎a露n生＋煉k德－伴2唯，婆…葵，描a晝n修〕稱年為數(shù)饒列的胞遞歸材關系嘩．由藍遞歸環(huán)關系不及歡k斯個初麥始值爭可以托確定閱的一券個數(shù)爐列叫蜜做遞凳歸數(shù)詠列．耽如由甚a揀n療＋牌1諸＝壟2a婚n躍＋闊1思，及熔a富1李＝蜘1蝶，確標定的仿數(shù)列缺即為飲遞歸茫數(shù)列檔．生遞歸逐數(shù)列堵的通成項的營求法尋一般仰說來捧有以歷下幾櫻種：趁〔綱1屠〕歸何納、蜂猜測形．割〔柿2悼〕迭艷代法帆．葡〔協(xié)3菌〕代潤換法諸．包示括代輸數(shù)代纏換，削對數(shù)倒代數(shù)公，三選角代檢數(shù)．犁〔有4只〕作介新數(shù)也列法悶．最孟常見燕的是遠作成逢等差榴數(shù)列擊或等顯比數(shù)企列來波解決默問題擔．

攔【妨典型壘例題碰】授例儀1.辯昆莖數(shù)列掛為等雖差數(shù)婆列，獎且公駛差不魄為債0谷，首棉項也盤不為客0狼，求洲和：利．枝解：射首先親考慮鈔，那么麥＝穿．賄點評渾：洋纏數(shù)列恢為等這差數(shù)已列，烘且公這差不懼為艙0敬，首持項也幻不為蕩0猾，下在列求硬和蕉也可疑用裂惠項求樓和法故．

盟例聯(lián)2.廊葬求懼．絲解：綿，新點評佩：不裂項蜻求和乳的關畜鍵是雕先將掠形式嘩復雜需的因鄰式轉(zhuǎn)遠化的個簡單己一些堤．

咐例罵3.定揭設刷，利證用課林本中雙推導體等差丸數(shù)列壩前朱n貝項和每的方榜法，跌可求梨得激的值巡為軍__新__炕__臥__果__挽__管解：雷課本豎中推奏導等爬差數(shù)媽列前搬n桿項和狹的方秧法為美倒序新相加張法苦.舟因為所以泳原式補＝瓦6絕＝訪點評硬：熱此題滋曾為飄上海衣高考廳題，河主要州考查守考生失對課塞本的蒸熟練脫程度斤和倒幕序相滴加法鎖的應削用，叮其中萄有函蒙數(shù)式地子的逢變化綿，計濁算能擠力的宰考查虎．

巧例畢4.限換城，數(shù)享列念是首嶼項為集a寄，公育比也你為恰a景的等售比數(shù)桶列，機令上，求映數(shù)列魚的前餡項和油．慧解：悄，役①準－撕②把得：它，廟點評勇：量設數(shù)路列栗是等織比數(shù)殖列，然數(shù)列購是等玉差數(shù)山列，妻那么對貓數(shù)列膏的前苗項和甲進行叔求解灶，均被可用松錯位訂相減籮．莫

以例羊5.葵乖數(shù)列指…右的前刺多少六項和呢為最干大？玉解：阿是以跑為首洞項，叫以幻為公壽差的秤等差抓數(shù)列胡，式對稱窮軸土比擬有起來目更靠屢近對膽稱軸無∴省前婚項和昌為最紫大規(guī)

默另法斗：由潔，得強點評院：沙求和祝的最那么值關篇鍵在衰于找狀分界翠點秩.

叮例迅6.避局求數(shù)蠻列辮1鳳，幸3落＋枕，愿3辛2遷＋傻，秋……牲，帥3戶n轟＋領的各俱項的宿和．嘉解：紗其和順為〔啊1營＋械3源＋競…煉＋磨3域n尾〕＋指〔辱＋儉…恨＋乒〕＝蓮＝掌〔靈3昆n包＋誰1音－翅3嘗－四n那么〕．皆點評?。簼纸M振轉(zhuǎn)化鞠法求偶和仿.

霜例葛7.飽別〔封20襪06丈年浙候江卷迷20竊〕已威知函裝數(shù)步＝妄x臥3鋼＋搞x澆2變，數(shù)臘列賀{x殘n照}疼．餐〔狹x最n使＞通0苦〕的球第一言項喪x級1砌＝濁1雖，以犯后各呀項按壩如下極方式鞠取定泰：曲販線諷y俱＝革在咱處的每切線錄與經(jīng)賢過〔壽0僅，尼0匠〕和喬〔掃x渴n載，櫻f比〔碗x劍n久〕〕銳兩點蓮的直諷線平守行〔忠如圖云〕．承求證污：當遠n披時：潔〔登I竿〕菊；蓋〔路II越〕耕．親解：指〔挺I脹〕因捆為破所以旺曲線是在眼處的傲切線槳斜率淡因為無過前和塔兩點搜的直鮮線斜菜率是探所以愁.隊〔口II群〕因胡為函笛數(shù)霧當俗時單拳調(diào)遞演增，而榴所以弱，即因此根又因堪為令那么搭因為耐所以因此故僚點評蛛：字數(shù)列錘與解堡析幾卷何問悅題結(jié)趙合在賀一塊鴨，數(shù)乒列的譽通項杰與線泉段的鑄長度雕、點族的坐舌標建愁立起豆聯(lián)系愈．

澡例脆8.盟舟〔蛛20距05嫩上海述高考總20圍.圍〕假徑設某拒市爺20鐵04悉年新椅建住襪房罵40康0報萬平身方米物，其珠中有陡25匠0勾萬平業(yè)方米滔是中雀低價優(yōu)房企.川預計失在今喬后的窄假設干土年內(nèi)愧，該讀市每劑年新矮建住鳥房面腸積平育均比耗上一輪年增塌長綁8%膛.份另外當，每頁年新略建住吊房中破，中成低價宋房的路面積萬均比耐上一漢年增饞加型50遺萬平拳方米毯.猜那么撲，到猜哪一損年底舅，負〔摘1蠅〕該翁市歷暗年所藏建中火低價畝房的憶累計蠢面積蔑〔以嗎20暖04口年為比累計魔的第景一年悠〕將食首次傻不少伶于赴47默50恰萬平夾方米盾?足〔框2科〕當案年建偷造的砍中低刺價房黃的面嫩積占致該年偏建造冶住房著面積菌的比貪例首林次大奇于匠85駱%?勁解：性〔乳1份〕設宿中低戚價房谷面積書形成笑數(shù)列狹{a脆n耀}哲，由致題意出可知喝{a悲n掌}面是等音差數(shù)批列，叨其中斥a汪1自＝用25猶0測，院d事＝冊50涉，那么聾S預n今＝舍25拆0n茅＋策＝甜25紗n醒2險＋肉22鴿5n窮，孔

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略到每20雙09紹年底田，當顫年建初造的濱中低渣價房辮的面臉積占突該年憤建造濤住房廟面積牲的比顏例首放次大并于叫85結(jié)%纏．海點評帥：蝕此題挺考查豆等差舟、等頓比數(shù)賊列的粗應用害題，翅關鍵掌是如社何把陰實際山問題海轉(zhuǎn)化河為數(shù)子列問牲題，紐注意丘解應燙用題割的設寺、列夢、解歪、答細四個盾步驟秩．

剝例痕9.陳鎖某企較業(yè)進脖行技搬術改埋造，好有兩尚種方腸案，轟甲方浩案：寬一次欄性貸欺款三10抹萬元挽，第宜一年壯便可欠獲利冤1襖萬元療，以堂后每援年比砌前一姥年增豈加旅30弄%摔的利博潤；們乙方睡案：播每年誕貸款談1決萬元肉，第驕一年登可獲環(huán)利躁1雅萬元桿，以坡后每閉年比偷前一傅年增次加惰5午千元下；兩續(xù)種方賄案的吧使用卻期都佛是疊10山年，在到期氏一次課性歸谷還本成息．稠假設銀蹈行兩站種形段式的傅貸款貸都按憐年息榮5%衣的復程利計飯算，遇試比須較兩糊種方堵案中嘗，哪接種獲婦利更紋多？星〔取鳳〕狡解：逆甲方姻案是袋等比后數(shù)列扇，乙濟方案膠是等鞏差數(shù)求列，虜①罷甲方鹿案獲貪利：跌〔萬羞元〕繭，歉銀行蠶貸款對本息練：治〔萬肌元〕誕，哄故甲訓方案父純利鈴：澡〔萬橫元〕快，蜜②爬乙方端案獲旱利：棒〔萬撕元〕災；斷銀行氧本息林和：揚〔萬穴元〕老故乙動方案興純利卷：略〔萬奧元〕渡；式綜上連可知拍，甲在方案腫更好吳．蜻點評鉤：掌這是墾一道真比擬矛簡單餡的數(shù)燥列應攔用問懇題，絡由于兄本息鹽與利悅潤是趙熟悉趙的概誕念，患因此扶只建毛立通該項公勉式并記運用關所學犁過的圍公式夢求解盈．

眼例頓10貍.孤〔候20濟07嗚山東章理禽17劃〕設秩數(shù)列必滿足叨，酬．絹〔淘Ⅰ激〕求籍數(shù)列鉛的通遇項；猴〔朽Ⅱ聚〕設煙，求鹽數(shù)列張的前展項和厚．兔解：后〔請I壺〕閃驗證橡時也姻滿足根上式俯，懸〔倘II應〕句，面

岡

泊，獵

升

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薪例共11堂.溜〔逃20屢07歲山東乞文及18岡〕設故是公睡比大陵于嘉1夢的等報比數(shù)躺列，渾為數(shù)棵列訪的前柿項和程．已公知素，且桐構成勝等差瘦數(shù)列弟．褲〔關1犧〕求奏數(shù)列慌的等準差數(shù)憶列．泰〔會2呢〕令亞求數(shù)毯列賣的前曉項和目T古n騰．仿解：康〔暑1賺〕由斗有得主解得久．弊設數(shù)榆列捷的公虧比為丘，由匠，可偏得區(qū)．趟又勇，可爐知割，即，腎解得立．馬由題肆意得仆．．戲故數(shù)萄列鼓的通紫項為喚．蜜〔絹2雁〕由錯于羽由〔烤1提〕得又顯是等抽差數(shù)冰列．故．當點評恥：插20趁07刑年山史東高央考文容科和悠理科壩數(shù)列摔的題辦目都沸在大歐題的富前兩裝題的沿位置偉，理委科考西查的斯是錯厲位相門減法朝求和厚，文坑科為黑等差盤和等額比數(shù)錄列公盜式的郊應用扔，都幅考查躍了考磚生的框運算茅能力蠻．

穩(wěn)例懇12蘭.宇卷〔過20戀07繁福建蝦文柄21擦〕數(shù)休列杜的前肚項和幼為京，染，赤．姿〔哪Ⅰ乞〕求狗數(shù)列岸的通健項謎；個〔檢Ⅱ立〕求售數(shù)列疾的前勁項和常．鏡解：斃〔壘Ⅰ貌〕奏，，．又，晉數(shù)列舞是首惡項為題，公呢比為掉的等較比數(shù)夾列，手．糕當糧時，伯栗，踢〔尸Ⅱ窗〕揮，前當魯時，棋；身當瘋時，鍬，盞……慮……墻①媽……防……雕……植……具…②得：．．皺又共也滿套足上裙式，．擺點評為：答本小鼓題考陸查數(shù)房列的股根本斧知識趟，考跑查等曉比數(shù)冊列的伙概念剝、通鹽項公城式及打數(shù)列去的求癢和，團考查蟻分類蹲討論塌及化海歸的蓋數(shù)學清思想分方法皮，以演及推綁理和降運算毒能力三．滿演分件12廚分．

朋［思棒維小也結(jié)］養(yǎng)1.散跟數(shù)列蕩求和悄的常些用方饑法領〔盈1秤〕公愛式法憤：適灘用于欺等差拜、等攻比數(shù)農(nóng)列或允可轉(zhuǎn)差化為永等差斗、等您比數(shù)繳列的魄數(shù)列輔；盯〔敗2惰〕裂臭項相掌消法敬：適忍用于直其中窄{篇}齡是各滿項不捉為脹0敞的等母差數(shù)棋列，梨c糊為常歐數(shù)；敗局部威無理邁數(shù)列蛙、含愧階乘籌的數(shù)項列等胸；梯〔處3泳〕錯壟位相架減法綠：適黃用于體其中謝{樸}楚是等疲差數(shù)松列，男是各腳項不立為著0哄的等屋比數(shù)蜂列．重〔晶4貼〕倒投序相期加法稼：類貢似于白等差家數(shù)列拆前飼n韻項和燭公式屠的推滴導方苦法脅.欠〔扁5狐〕分堵組求器和法式2.獸水常用腐結(jié)論說〔預1鍛〕直1弄＋代2符＋乘3誦＋摸..課.著＋擾n挖＝殼竊

競

炊

驚〔牲2剃〕之1濱＋底3枕＋那么5距＋獵..侍.勸＋〔毅2n纖－氣1去〕全粉＝抖〔下3畜〕毒

敬葛〔米4漆〕垂

禮引〔顯5籌〕魚3.肺例數(shù)學倡思想笨〔絨1雀〕迭累加累那么加〔急等差獎數(shù)列比的通咱項公東式的價推導換方法封〕假設凱，那么丹……逝；熟〔灑2燭〕迭禿乘累骨乘〔悶等比森數(shù)列返的通展項公黎式的慧推導剖方法慎〕假設來，那么曲……真；鼓〔礎3字〕逆音序相栽加〔系等差歡數(shù)列紡求和芒公式螞的推項導方狠法〕凡；萍〔代4臟〕錯梁位相咱減〔百等比顯數(shù)列畏求和隆公式攔的推東導方昨法〕惠．品4.牌刮應用謊題注寺意審枝清題僵意，熊把實肝際問速題轉(zhuǎn)旦化為位數(shù)列陣中的至問題誤．設戴、