2023新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)教師用書新人教A版必修第一冊

4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．會用描點(diǎn)法畫出對數(shù)函數(shù)的簡圖．(重點(diǎn))2．掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會解決簡單的與性質(zhì)有關(guān)的問題．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過對數(shù)函數(shù)圖象的繪制，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．分別求出對數(shù)函數(shù)y＝log2x在自變量取eq\f(1,8)，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，1，2，4，8時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值(填寫下表)，并由此猜測對數(shù)函數(shù)y＝log2x的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，嘗試說明理由．xeq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,2)1248y＝log2x知識點(diǎn)1對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a的范圍0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0單調(diào)性在(0，＋∞)上是減函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象的“上升”或“下降”與誰有關(guān)？[提示]底數(shù)a與1的關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的升降．當(dāng)a>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0<a<1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”．1．函數(shù)y＝logax的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a的可能取值為()A．5B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,e)D．eq\f(1,2)A[由題圖可知，a>1，故選A．]2．函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)________．(0，0)[由x＋1＝1得x＝0，∴f(x)的圖象必過定點(diǎn)(0，0)．]知識點(diǎn)2反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(2)反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域．3．(1)函數(shù)y＝log2x的反函數(shù)是________；(2)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的反函數(shù)是________．[答案](1)y＝2x(2)y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))x類型1對數(shù)函數(shù)的圖象問題【例1】(1)如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a(chǎn)>b>1D．b>a>1(2)若函數(shù)y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(3，2)，則實(shí)數(shù)b＝________，c＝________．(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)滿足f(－5)＝1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象．(1)B(2)－22[(1)結(jié)合圖象可知0<a<1，0<b<1，又當(dāng)logax＝logby＝1時(shí)，x＝a，y＝b，結(jié)合圖知b<a，∴0<b<a<1．故選B．(2)由于函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(3，2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga3＋b＝0，,c＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋b＝1，,c＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))](3)[解]因?yàn)閒(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log5x，x>0，,log5－x，x<0.))所以函數(shù)y＝log5|x|的圖象如圖所示．[母題探究]把本例(3)改為f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log2x＋1))＋2，試作出其圖象．[解]第一步：作y＝log2x的圖象，如圖(1)所示．(1)(2)第二步：將y＝log2x的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位長度，得y＝log2(x＋1)的圖象，如圖(2)所示．第三步：將y＝log2(x＋1)的圖象在x軸下方的部分作關(guān)于x軸的對稱變換，得y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖(3)所示．第四步：將y＝|log2(x＋1)|的圖象沿y軸向上平移2個(gè)單位長度，即得到所求的函數(shù)圖象，如圖(4)所示．(3)(4)函數(shù)圖象的變換規(guī)律(1)一般地，函數(shù)y＝f(x±a)＋b(a，b為實(shí)數(shù))的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個(gè)單位長度，再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長度得到的．(2)含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對稱變換得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的圖象是關(guān)于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數(shù)y＝|f(x)|的圖象與y＝f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分關(guān)于x軸對稱．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．當(dāng)a>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為()ABCDC[∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是減函數(shù)，y＝logax是增函數(shù)，故選C．]類型2比較對數(shù)值的大小【例2】(對接教材P133例題)比較下列各組值的大?。?1)log5eq\f(3,4)與log5eq\f(4,3)；(2)logeq\s\do16(eq\f(1,3))2與logeq\s\do16(eq\f(1,5))2；(3)log23與log54．[解](1)法一(單調(diào)性法)：對數(shù)函數(shù)y＝log5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，而eq\f(3,4)<eq\f(4,3)，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3)．法二(中間值法)：因?yàn)閘og5eq\f(3,4)<0，log5eq\f(4,3)>0，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3)．(2)法一(單調(diào)性法)：由于logeq\s\do16(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，logeq\s\do16(eq\f(1,5))2＝eq\f(1,log2\f(1,5))，又因?qū)?shù)函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且eq\f(1,3)>eq\f(1,5)，所以0>log2eq\f(1,3)>log2eq\f(1,5)，所以eq\f(1,log2\f(1,3))<eq\f(1,log2\f(1,5))，所以logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2．法二(圖象法)：如圖，在同一坐標(biāo)系中分別畫出y＝logeq\s\do16(eq\f(1,3))x及y＝logeq\s\do16(eq\f(1,5))x的圖象，由圖易知：logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2．(3)取中間值1，因?yàn)閘og23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54．比較對數(shù)值大小的常用方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．提醒：比較對數(shù)的大小時(shí)先利用性質(zhì)比較出與0或1的大?。甗跟進(jìn)訓(xùn)練]2．比較下列各組值的大?。?1)logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5，logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8．[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝logeq\s\do16(eq\f(2,3))x是減函數(shù)，且0.5<0.6，所以logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5>logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6．(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log1.5x是增函數(shù)，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4．(3)因?yàn)?>log70.6>log70.5，所以eq\f(1,log70.6)<eq\f(1,log70.5)，即log0.67<log0.57．(4)因?yàn)閘og3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8．類型3解對數(shù)不等式【例3】已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定義域；(2)試確定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍．結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，思考解對數(shù)不等式要注意哪些問題？[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函數(shù)φ(x)的定義域?yàn)閧x|1＜x＜3}．(2)不等式f(x)≤g(x)，即為loga(x－1)≤loga(6－2x)，①當(dāng)a＞1時(shí)，不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≤6－2x，))解得1<x≤eq\f(7,3)；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≥6－2x，))解得eq\f(7,3)≤x<3．綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,3)))；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，3))．常見的對數(shù)不等式的3種類型1．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．2．形如logax＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．3．形如logax＞logbx的不等式，可利用圖象求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)已知logaeq\f(1,2)>1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范圍；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范圍．[解](1)由logaeq\f(1,2)>1得logaeq\f(1,2)>logaa．①當(dāng)a>1時(shí)，有a<eq\f(1,2)，此時(shí)無解．②當(dāng)0<a<1時(shí)，有eq\f(1,2)<a，從而eq\f(1,2)<a<1．所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))．(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log0.7x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1．即x的取值范圍是(1，＋∞)．1．函數(shù)y＝loga(x－1)(0<a<1)的圖象大致是()ABCDA[函數(shù)y＝loga(x－1)(0<a<1)的圖象由y＝logax的圖象向右平移一個(gè)單位得到．故選A．]2．函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\do16(\f(1,3))2x－3)的定義域是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))D[依題意0<2x－3≤1，解得eq\f(3,2)<x≤2，所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))．故選D．]3．設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>bD[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知log52<log32，∴b<a<c．故選D．]4．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)，\f(2,3)))，則a＝________．eq\r(2)[由題意可知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(eq\r(3,2))＝eq\f(2,3)得logaeq\r(3,2)＝eq\f(2,3)，∴a＝eq\r(2)．]5．若lg(2x－4)≤1，則x的取值范圍是________．{x|2<x≤7}[由題意可得lg(2x－4)≤lg10，∴0<2x－4≤10，即2<x≤7．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．如圖，曲線C1，C2，C3，C4分別對應(yīng)y＝logeq\s\do6(a1)x，y＝logeq\s\do6(a2)x，y＝logeq\s\do6(a3)x，y＝logeq\s\do6(a4)x的圖象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小關(guān)系嗎？[提示]作直線y＝1，它與各曲線C1，C2，C3，