零極點對系統(tǒng)的性能影響分析

-.z.零極點對系統(tǒng)性能的影響分析1任務(wù)步驟分析原開環(huán)傳遞函數(shù)G0〔s〕的性能，繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線得到系統(tǒng)的暫態(tài)性能〔包括上升時間，超調(diào)時間，超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間〕；在G0〔s〕上增加零點，使開環(huán)傳遞函數(shù)為G1〔s〕，繪制系統(tǒng)的根軌跡,分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；取不同的開環(huán)傳遞函數(shù)G1〔s〕零點的值，繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線得到系統(tǒng)的暫態(tài)性能〔包括上升時間，超調(diào)時間，超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間〕；綜合數(shù)據(jù)，分析零點對系統(tǒng)性能的影響在G0〔s〕上增加極點，使開環(huán)傳遞函數(shù)為G2〔s〕，繪制系統(tǒng)的根軌跡，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；取不同的開環(huán)傳遞函數(shù)G2〔s〕極點的值，繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線得到系統(tǒng)的暫態(tài)性能〔包括上升時間，超調(diào)時間，超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間〕；綜合數(shù)據(jù)，分析極點對系統(tǒng)性能的影響。增加一對離原點近的偶極子和一對距離原點遠的偶極子來驗證偶極子對消的規(guī)律。2原開環(huán)傳遞函數(shù)G0〔s〕的性能分析2.1G0〔s〕的根軌跡取原開環(huán)傳遞函數(shù)為：Matlab指令：num=[1];den=[1,0.8,0.15];rlocus(num,den);得到圖形：圖1原函數(shù)G0(s)的根軌跡根據(jù)原函數(shù)的根軌跡可得：系統(tǒng)的兩個極點分別是-0.5和-0.3，別離點為-0.4，零點在無限遠處，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.2G0〔s〕的階躍響應(yīng)Matlab指令：G=zpk([],[-0.3,-0.5],[1])sys=feedback(G,1)step(sys)得到圖形：圖2原函數(shù)的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.12，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=1.97s超調(diào)時間tp=3.15s調(diào)節(jié)時間ts=9.95s，超調(diào)量=28.3%3增加零點后的開環(huán)傳遞函數(shù)G1〔s〕的性能分析為了分析開環(huán)傳遞函數(shù)的零點對系統(tǒng)性能的影響，現(xiàn)在在原開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式上單獨增加一個零點S=-a,并改變a值大小，即離虛軸的距離，分析比擬系統(tǒng)性能的變化。所以增加零點后的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)表達式：3.1G1〔s〕的根軌跡因為后面利用階躍響應(yīng)來分析時將取的零點均在實軸的負半軸，則只要了解其中一個開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定，則其它的穩(wěn)定也可以推知。所以取a=1畫出根軌跡來觀察系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當a=1時，開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式為：Matlab指令：num=[1,1];den=[1,0.8,0.15];rlocus(num,den)得到圖圖3G1〔s〕的根軌跡曲線根據(jù)G1〔s〕的根軌跡可得：根軌跡均在左半平面，只是多了一個零點，系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，并且可以推知，只要零點在實軸的負半軸上，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。3.2增加不同零點時G1〔s〕的階躍響應(yīng)當a=0.01的階躍響應(yīng)當a=0.01時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[100,1];den=[1,100.8,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖4的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為0.992，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=0.0434s超調(diào)時間tp=0.139s調(diào)節(jié)時間ts=197s，超調(diào)量=11.4%當a=0.1的階躍響應(yīng)當a=0.1時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[10,1];den=[1,10.8,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖5的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為0.931，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=0.256s超調(diào)時間tp=0.685s調(diào)節(jié)時間ts=12.4s，超調(diào)量=7.02%當a=1的階躍響應(yīng)當a=1時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令num=[1,1];den=[1,1.8,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖6的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為0.905，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=2.04s超調(diào)時間tp=2.97s調(diào)節(jié)時間ts=4.43s，超調(diào)量=4.03%當a=10的階躍響應(yīng)當a=10時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令num=[0.1,1];den=[1,0.9,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖7的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為1.07，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=1.98s超調(diào)時間tp=3.15s調(diào)節(jié)時間ts=7.73s，超調(diào)量=23.5%當a=100的階躍響應(yīng)當a=10時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令num=[0.01,1];den=[1,0.81,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖8的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為1.11，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=1.96s超調(diào)時間tp=3.11s調(diào)節(jié)時間ts=9.84s，超調(diào)量=27.7%3.3增加零點后對系統(tǒng)性能的影響分析根據(jù)圖2，圖4，圖5，圖6，圖7，圖8，可以得到原函數(shù)以及在原開環(huán)傳遞函數(shù)上增加一個零點s=a，a分別取0.01,0.1,1,10,100的系統(tǒng)性能參數(shù)。如以下表1所示：表1根據(jù)表1可畫出lga與各個指標的關(guān)系曲線，如以下列圖9，圖10，圖11，圖12和圖13。因為原函數(shù)中的lga的值為負無窮，所以無法在圖中直接反映，所以圖9，圖10，圖11，圖12和圖13五個圖反映的是，零點距離原點的遠近對系統(tǒng)性能的影響。圖9曲線峰值Mr與lg〔a〕的關(guān)系圖10上升時間tr與lg〔a〕的關(guān)系圖11超調(diào)時間與lg〔a〕的關(guān)系圖12調(diào)節(jié)時間與lg〔a〕的關(guān)系圖13超調(diào)量與lg〔a〕的關(guān)系結(jié)論：1.增加不同的零點對系統(tǒng)參數(shù)有不同的影響；2.曲線峰值與超調(diào)量受到影響后的值與原值沒有重合，上升時間，超調(diào)時間與調(diào)節(jié)時間與原值有重合；3.隨著a的增加〔或者說隨著零點漸漸遠離零點〕，曲線峰值受到的影響〔取絕對值來看〕和超調(diào)量受到的影響均是先增后減；上升時間受到的影響，超調(diào)時間受到的影響，調(diào)節(jié)時間受到的影響均是先減后增再減；4.當a=100時，也就是零點距離原點最遠時，增加的零點對系統(tǒng)的影響最小，可以預(yù)見，當零點與原點的距離趨近于無窮遠時，系統(tǒng)性能受到的影響趨近于0。4增加極點后的開環(huán)傳遞函數(shù)G2〔s〕的性能分析為了分析開環(huán)傳遞函數(shù)的極點對系統(tǒng)性能的影響，現(xiàn)在在原開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式上單獨增加一個極點S=-p,并改變p值大小，即離原點的距離，分析比擬系統(tǒng)性能的變化。所以增加零點后的開環(huán)傳遞函數(shù)為：4.1G2(s)的根軌跡因為后面利用階躍響應(yīng)來分析時將取的極點均在實軸的負半軸，則只要了解其中一個開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定，則其它的穩(wěn)定也可以推知。所以取p=1畫出根軌跡來觀察系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當p=1時，開環(huán)傳遞函數(shù)G2(s)的表達式為Matlab指令：num=[1];den=[1,1.8,0.95,0.15];rlocus(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖14原函數(shù)G0(s)的根軌跡根據(jù)G(s)的根軌跡可得：根軌跡均在左半平面，只是多了一個極點，系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，并且可以推知，只要極點在實軸的負半軸上，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。4.2增加不同極點時G2〔s〕的階躍響應(yīng)當p=0.01的階躍響應(yīng)當p=0.01時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：Matlab指令：num=[1];den=[100,81,15.8,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖15的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為0.875，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=37.1s超調(diào)時間tp=44.5s調(diào)節(jié)時間ts=31.7s，超調(diào)量=0.569%當p=0.1的階躍響應(yīng)當p=0.1時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為num=[1];den=[10,9,2.3,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖16的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.37，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=5.84s超調(diào)時間tp=9.58s調(diào)節(jié)時間ts=69.7s，超調(diào)量=57.2%當p=1的階躍響應(yīng)當p=1時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[1];den=[1,1.8,0.95,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);圖17的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.45，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=2.59s超調(diào)時間tp=4.38s調(diào)節(jié)時間ts=50s，超調(diào)量=66.4%當p=10的階躍響應(yīng)當p=10時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[1];den=[0.1,1.08,0.815,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);圖18的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.16，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=1.97s超調(diào)時間tp=3.18s調(diào)節(jié)時間ts=10.5s，超調(diào)量=33.7%當p=100的階躍響應(yīng)當p=100時，對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[1];den=[0.01,1.008,0.8015,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);圖19的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.12，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時間tr=1.95s超調(diào)時間tp=3.19s調(diào)節(jié)時間ts=10s，超調(diào)量=28.8%4.3增加極點后對系統(tǒng)性能的影響分析根據(jù)圖2，圖15，圖16，圖17，圖18，圖19，可以得到原函數(shù)以及在原開環(huán)傳遞函數(shù)上增加一個零點s=-p，p分別取0.01,0.1,1,10,100的系統(tǒng)性能參數(shù)。如以下表2所示：表2根據(jù)表1可畫出lgp與各個指標的關(guān)系曲線，如以下列圖20，圖21，圖22，圖23和圖24。因為原函數(shù)中的lga的值為負無窮，所以無法在圖中直接反映，所以圖20，圖21，圖22，圖23和圖24五個圖反映的是，極點距離原點的遠近對系統(tǒng)性能的影響。圖20曲線峰值Mr與lg〔p〕的關(guān)系圖21上升時間tr與lg〔p〕的關(guān)系圖22超調(diào)時間與lg〔p〕的關(guān)系圖23調(diào)節(jié)時間與lg〔p〕的關(guān)系圖24超調(diào)量與lg〔p〕的關(guān)系結(jié)論：1.增加不同的極點對系統(tǒng)參數(shù)有不同的影響；2.比擬觀察增加零點時的系統(tǒng)參數(shù)〔以上升時間tr為例〕的變化，可以發(fā)現(xiàn)，在*些區(qū)間〔*1<a=p<*2〕，存在：，則，說明了極點與零點對系統(tǒng)系能的影響的差異；3.系統(tǒng)參數(shù)的變化有可能是隨著p值的增加而震蕩，但是數(shù)據(jù)量偏少，不能下結(jié)論；4.同時可以預(yù)見，當零點與原點的距離趨近于無窮遠時，系統(tǒng)性能受到的影響趨近于0。5.偶極子對系統(tǒng)性能影響的驗證相距很近的閉環(huán)零點極點常被稱為偶極子，經(jīng)歷指出，如果閉環(huán)零、極點之間的距離比它們本身的模值小一個數(shù)量級，則這一對閉環(huán)零極點就構(gòu)成偶極子。偶極子中，遠離原點的偶極子，其影響根本可略；接近原點的偶極子，其影響必須考慮。出于本報告只是驗證該規(guī)律，所以不可對消偶極子和可對消偶極子各取一對。5.1不可對消偶極子取增加的極點p=-0.1和零點s=-0.09組成一對開環(huán)偶極子，則可以得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為了得到新傳遞函數(shù)的性能參數(shù)，畫出閉環(huán)傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)曲線。Matlab指令：num=[1,0.09];den=[1,0.9,1.05,0.105];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖25由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.26，穩(wěn)態(tài)值為0.857，上升時間tr=1.86超調(diào)時間tp=3.45s調(diào)節(jié)時間ts=22.3s，超調(diào)量=46.5%5.2可對消偶極子取增加的極點p=-1和零點s=-1.1組成一對開環(huán)偶極子。則可以得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：Matlab指令：num=[1,1.1];den=[1,1.8,1.95,1.25];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖2