八年級(jí)數(shù)學(xué)秘籍-活用幾何基本圖形解題事半功倍（原卷版）

活用幾何基本圖形，解題事半功倍

幾何題目圖形千變?nèi)f化，但有一些經(jīng)典圖形經(jīng)常在這些題目里直接或間接到的出現(xiàn).因此，靈活掌握和

運(yùn)用這些圖形是學(xué)好幾何的必備技能.

8字型

一、基本圖形

1.“8字”形

結(jié)論：N4+NB=/C+ND；

2.雙垂直

A

結(jié)論：NCAD=NCBE；

結(jié)論：ZA=ZBCD,NB=NACD；

3.與角平分線有關(guān)的三個(gè)重要結(jié)論

(1)雙內(nèi)角平分線

A

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結(jié)論：Z5OC=90°+-ZJ；

2

證明：ZA+ZABC+ZACB=\SO°,ZBOC+Z2+Z4=180°,

即：ZT4+2Z2+2Z4=180°,Z2+Z4=90°--ZTI,

2

.,.ZBOC=180°-(Z2+Z4)=90°+2NN；

2

(2)一內(nèi)角平分線，一外角平分線

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結(jié)論：ZO=—Z^4；

2

證明：Z4=Z2+ZO,2/4=2/2+//,

可得：ZO=-Z/1；

2

(3)雙外角平分線

A

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結(jié)論：ZBOC=90°--Z/4；

2

證明：ZA+ZABC+ZACB=\SO0,Z5OC+Z2+Z4=180°,

即：Z/i+180°-2Z2+180°-2Z4=180°,Z2+Z4=90°+lZJ,

2

AZ50C=180°-(Z2+Z4)=90°--ZA；

2

4.四邊形外角

N1與N2是四邊形488的外角，結(jié)論：Z1+Z2=ZJ+ZB；

5.飛鏢模型

NBOC=N4+NB+NC

6.與面積相關(guān)

如上圖所示，。、E、尸分別是△NBC各邊的中點(diǎn)

結(jié)論：圖中，SMO產(chǎn)S"0尹S&BO產(chǎn)S&CQE=S&BO卡S^COD

二、典例解析

【例1-1】（安徽淮南月考）如圖，8尸是△/8C中/N8C的平分線，CP是NZC8的外角的平分線，如果

NABP=20°,ZACP=50°,則NN=（）.

A.60°B.80°D.50°

【例1-2】（平原縣月考）如圖，在四邊形N8CZ）中，ZA+ZD^a,ZABC的平分線與的平分線

交于點(diǎn)P,則/P=（）

1,11

A.90°----aB.90°H---aC.-aD.360°-a

222

【變式1-1］（陜西西安?高新一中月考）已知，如圖，/xoy=90。，點(diǎn)/、8分別在射線ox、0丫上移動(dòng),

是N/BY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與N0Z8的平分線相交于點(diǎn)C,試問(wèn)//C8的大小是否發(fā)生變化?

如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)小8移動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化范圍.

【變式1-2】(武城縣月考)如圖①，△/BC中，8。平分NZ8C,且與△ZBC的外角//CE的角平分線

交于點(diǎn)D.

(1)若乙48c=75。，ZACB=45°,求/。的度數(shù);

(2)若把N力截去，得到四邊形MNC8,如圖②，猜想N。、NM、NN的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【例2-1】(廣東?？?如圖所示，Na的度數(shù)是()

A.10°B.20°C.30°D.40°

【例2-2】(霍林郭勒市月考)如圖1所示，稱“對(duì)頂三角形”，其中，Z^+Z5=ZC+Z￡>

B

利用這個(gè)結(jié)論，完成下列填空.

(1)如圖(2),ZJ+ZB+ZC+ZD+ZE=；

(2)如圖(3),ZA+ZB+ZC+Z￡>+Z￡=；

(3)如圖(4),N1+N2+N3+N4+N5+N6=；

(4)如圖(5),Nl+N2+N3+/4+/5+N6+N7=

【變式1-1］（1）如圖1我們稱之為“8字形”，請(qǐng)直接寫出/A,ZB,NC,之間的數(shù)量關(guān)系:

(2)如圖2,Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=度;

（3）如圖3所示，已知N1=N2,Z3=Z4,猜想N8,ZP,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式1-2】（廣東廣州月考）如圖，己知8c與。E交于點(diǎn)"，則N/+/8+NC+NO+NE+/尸的度數(shù)

為

I)

【例3】(安徽淮南月考)某零件如圖所示，圖紙要求N4=90。，N8=32。，ZC=21%當(dāng)檢驗(yàn)員量得

NBDC=145。,就斷定這個(gè)零件不合格，你能說(shuō)出其中的道理嗎？

【變式3-1】(山西鹽湖期末)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我們不

妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,

(1)觀察"規(guī)形圖”，試探究N8D。與N/、NB、NC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△/8C上，使三角尺的兩條直角邊X7、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C,ZA=40°,

則N/8R/ZCX等于多少度；

②如圖3,DC平分N4DB,EC平分NAEB,若ND4E=40°,ZDBE=\30°,求NOCE的度數(shù)；

③如圖4,NABD,N4CD的10等分線相交于點(diǎn)Gi、G2…、Gs,若/5DC=133。，NBGiC=7Q°,求乙4

的度數(shù).

【變式3-2】（山東岱岳期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和N1+N2+/3+N4+N5+N6為加度，如圖2六

邊形的內(nèi)角和/1+/2+/3+/4+/5+/6為〃度，則〃?一〃=

圖2

【例4】（唐山市月考）如圖所示，在△48c中，已知點(diǎn)。，E,尸分別是8C,AD,CE的中點(diǎn)，5例「4

平方厘米，則SMEF的值為（

A.2平方厘米B.1平方厘米

C.」平方厘米D:平方厘米

2

【變式4-1】（山東歷下期中）如圖，△/BC的面積為1.第一次操作：分別延長(zhǎng)力3,BC,。至點(diǎn)4,

B[,G，使4B=Z8,B、C=BC,C,A=CA,順次連接％,B],C{,得到△其4。.第二次操作:

分別延長(zhǎng)4與，B￡,￡4至點(diǎn)A2,B2,。2,使44=4/82cLB￡,C2A,=C,At,順次連接

A2,B2,C2,得到△482G，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過(guò)2020,最少經(jīng)過(guò)多少次操作（)

B2

C.6D.7

【變式4-2］（臺(tái)州市月考）在四邊形Z3C。中，尸是邊上任意一點(diǎn)，當(dāng)/尸=時(shí)，S.PBC與S“BC

和之間的關(guān)系式為：；一般地，當(dāng)NP=L4）（〃表示正整數(shù)）時(shí)，S.PBC與S.ABC

n

和DBC之間關(guān)系式為：

【例5】（慶云縣月考）探究與發(fā)現(xiàn):

（探究一）我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與

它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？

圖①圖②圖3

己知：如圖①，ZEDC與/EC。分別為A/OC的兩個(gè)外角，試探究NZ與/尸DC+NECD的數(shù)量關(guān)系，

并證明你探究的數(shù)量關(guān)系.

（探究二）三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？

己知：如圖②，在△力DC中，DP、CP分別平分N/DC和N4C。，試探究乙4與NP的數(shù)量關(guān)系，并證

明你探究的數(shù)量關(guān)系.

（探究三）若將A/OC改成任意四邊形N8C。呢？

已知：如圖3,在四邊形中，DP、CP分別平分N/CC和Z8CD,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論直接寫出N/+N8

與N尸的數(shù)量關(guān)系.

【變式5-1】（河南宛城月考）問(wèn)題情景：如圖1,A48C中，有一塊直角三角板放置在A48C上

（尸點(diǎn)在ZU8C內(nèi)），使三角板PMN的兩條直角邊尸以、PN恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)C.試問(wèn)乙48P與

NACP是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？

（1）特殊探究：若乙4=50°，則乙48C+4CB=度，ZPBC+NPCB=度，

ZABP+ZACP=度；

（2）類比探索：請(qǐng)?zhí)骄?8P+4CP與NZ的關(guān)系；

（3）類比延伸：如圖2,改變直角三角板尸仞V的位置；使P點(diǎn)在ZU3C外，三角板尸的兩條直角邊

PM、PN仍然分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)C,（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

【變式5-2］（吉林寬城期末）將三角形紙片N5C沿?！暾郫B，使點(diǎn)Z落在點(diǎn)4處.

（感知）如圖①，若點(diǎn)⑷落在四邊形3CDE的邊8E上，則NZ與N1之間的數(shù)量關(guān)系是.

（探究）如圖②，若點(diǎn)"落在四邊形5CDE的內(nèi)部，則N4與N1+N2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

（拓展）如圖③，若點(diǎn)⑷落在四邊形BCOE的外部，Zl=80°,N2=24。，則乙4的大小為度.

B

圖①圖②圖③

三、習(xí)題專練

1.（安徽淮南月考）如圖，N4+NB+NC+ND+NE+NF=

2.（惠州市光正實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）如圖，在四邊形N8C。中，。與的平分線的交點(diǎn)￡恰好在

邊上，則NBEC=（）

A.ZA+ZD-45°B.—(Z/4+ZO)+45°

2

C.180°-(ZA+ZD)D.—ZA+—ZD

22

3.（山東濰坊期末）如圖，點(diǎn)。是△/8C的邊8c的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，N/8C的平分線與N/CZ）的平分

線交于點(diǎn)4,/48C的平分線與/4CD的平分線交于點(diǎn)4,依此類推…，己知N/=a,則//2020的度數(shù)

為.（用含a的代數(shù)式表示）.

4.（信陽(yáng)市月考）如圖，BE、CE是△/8C的角平分線，N歷1C=8O。，BE、CF相交于。，則N8OC的

度數(shù)是.

5.（惠州市月考）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=度.

6.（商城縣月考）如圖，△N8C的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸向ZC兩邊作垂直線/卜h，

若N1=40。，則N8PC=.

A

7.（臨沐縣月考）如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=

8.（霍林郭勒市月考）如圖，8〃和C4分別是△NBC的內(nèi)角平分線和外角平分線，84是/小8。的角

平分線，。2是N4CD的角平分線，843是的角平分線，C4是的角平分線，若/m=a,則

N/2018為?

9.（四川師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）如圖，己知△/5C中，2/=60。，點(diǎn)。為△NBC內(nèi)一點(diǎn)，且N80C

=140°,其中平分乙480,OC平分N/CO,O28平分/Z8O”O(jiān)2C平分//COi......Q8平分

.1,平分NZCO,j,…，以此類推，則N80C=°,NBO2017c=

10.（重慶月考）如圖，瓦EG,“分別為四邊形Z8CD的邊48,8C,CD。/的中點(diǎn)，并且圖中四個(gè)小三

角形的面積之和為1,即，+52+$3+54=1,則圖中陰影部分的面積為

11.（江蘇邛江期末）（1）如圖1，AB//CD,點(diǎn)E是在N8、CD之間，且在5。的左側(cè)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn),

連結(jié)BE、DE.求證：NE=/ABE+NCDE.

（2）如圖2,在（1）的條件下，作出/和NEO8的平分線，兩線交于點(diǎn)尸，猜想/尸、NABE、

NCDE之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）如圖3,在（1）的條件下，作出NE8。的平分線和aEOB的外角平分線，兩線交于點(diǎn)G,猜想

NG、NABE、之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

12.(莆田月考)如圖，點(diǎn)。為△ZBC的邊8c的延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

(1)若N4:ZABC=3：4,ZJC￡>=140°,求乙4的度數(shù)；

(2)若NN8C的平分線與N/CZ)的平分線交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)P.試探究NPCA/與//

的數(shù)量關(guān)系.

13.(全國(guó)月考)如圖，四邊形/BCD中，8￡、。下分別平分四邊形的外角NA/8C和/M)C,若NBAD=a,

NBCDf.

(1)如圖①，若a+4=150。，求NM8C+NNDC的度數(shù)；

(2)如圖①，若8E與。尸相交于點(diǎn)G,NBGD=30。,請(qǐng)寫出a、夕所滿足的等量關(guān)系式；

(3)如圖②，若a=B，判斷8瓜。尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

AD

14.(貴州赫章期末)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，在△力5c中，NN=20°,NZ8C,NNC8的2020等分線分別交

于點(diǎn)。1,。2,，°10，°2020,根據(jù)2020等分線等分角的情況解決下列問(wèn)題:

(1)求的度數(shù).

(2)求/8飛。的度數(shù).

(3)直接寫出/6。2020。的度數(shù)?

15.(山西月考)綜合與實(shí)踐:

閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題.

(I)已知在A48C中