高中數(shù)學復習導數(shù)難題之

導函數(shù)——不等式1.已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設函數(shù)，求證：．分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是， 由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是． （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)． 于是對任意成立等價于對任意成立．由得． ①當時，．此時在上單調(diào)遞增． 故，符合題意． ②當時，．當變化時的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．（Ⅲ），，，由此得，故．2.設，對任意實數(shù)，記（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：（?。┊敃r，對任意正實數(shù)成立；（ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)，使得對于任意正實數(shù)成立。分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．分類討論、化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法（I）解：．由，得．因為當時，，當時，，當時，，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是．（II）證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得，當時，，所以在內(nèi)的最小值是．故當時，對任意正實數(shù)成立．方法二：對任意固定的，令，則，由，得．當時，；當時，，所以當時，取得最大值．因此當時，對任意正實數(shù)成立．（ii）方法一：．由（i）得，對任意正實數(shù)成立．即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．下面證明的唯一性：當，，時，，，由（i）得，，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立．故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．方法二：對任意，，因為關于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即， ①又因為，不等式①成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．3.定義函數(shù)fn(x)＝(1＋x)n―1,x＞―2，n∈N*(1)求證：fn(x)≥nx；(2)是否存在區(qū)間[a，0](a＜0)，使函數(shù)h(x)＝f3(x)－f2(x)在區(qū)間[a，0]上的值域為[ka，0]?若存在，求出最小實數(shù)k的值及相應的區(qū)間[a，0]，若不存在，說明理由.分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．分類討論、數(shù)形結(jié)合思想方法解：(1)證明：fn(x)－nx＝(1＋x)n－1－nx，令g(x)＝(1＋x)n－1－nx,則g'(x)＝n[(1＋x)n―1―1].當x∈(－2，0)時，g'(x)＜0,當x∈(0，＋∞）時，g'(x)＞0，∴g(x)在x＝0處取得極小值g(0)＝0，同時g(x)是單峰函數(shù)，則g(0)也是最小值.∴g(x)≥0,即fn(x)≥nx(當且僅當x＝0時取等號).注：亦可用數(shù)學歸納法證明.(2)∵h(x)＝f3(x)－f2(x)＝x(1＋x)2∴h'(x)＝(1＋x)2＋x·2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)令h'(x)＝0,得x＝－1或x＝－eq\f(1,3)，∴當x∈(―2，―1)，h'(x)＞0；當x∈(―1，―eq\f(1,3))時，h'(x)＜0；當x∈(－eq\f(1,3),＋∞)時，h'(x)＞0.故作出h(x)的草圖如圖所示，討論如下：①當eq－\f(1,3)≤a＜0時，h(x)最小值h(a)＝ka∴k＝(1＋a)2≥eq\f(4,9)②當eq－\f(4,3)≤a≤－\f(1,3)時h(x)最小值h(a)＝h(－eq\f(1,3))＝eq－\f(4,27)＝kaeqk＝\f(－4,27a)∴eq\f(1,9)≤k≤\f(4,9)③當eqa＝－\f(4,3)時h(x)最小值h(a)＝a(1＋a)2＝kak＝(1＋a)2≥eq\f(1,9)，eqa＝－\f(4,3)時取等號.綜上討論可知k的最小值為eq\f(1,9)，此時[a，0]＝[eq－\f(4,3)，0].例4.已知在區(qū)間上是增函數(shù)。（1）求實數(shù)的值組成的集合A；（2）設關于的方程的兩個非零實根為、。試問：是否，使得不等式對及恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由。分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．函數(shù)方程思想、化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1）∵∴∵在上∴對恒成立即，恒有成立設∴（2）∵∴、是方程的兩不等實根，且，∴∵對及恒成立∴對恒成立設，∴對恒成立∴∴滿足題意5.已知函數(shù)。（1）求函數(shù)的反函數(shù)和的導函數(shù)；（2）假設對，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1）∴∵∴（2）∵，成立∴∴設，∴恒有成立∵∴∴∴，∴，在上∴即∵∴在上∴∴的取值范圍是6.設函數(shù).(Ⅰ)當x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;(Ⅱ)對任意的實數(shù)x,證明＞(Ⅲ)是否存在,使得a＜＜恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.（Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的