一輪復(fù)習(xí)人教A版11.2離散型隨機變量及其分布列均值與方差作業(yè)

離散型隨機變量及其分布列、均值與方差基礎(chǔ)篇考點離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考向一離散型隨機變量的分布列、均值與方差1.(2013廣東,4,5分)已知離散型隨機變量X的分布列為X123P331則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.32答案A2.(2023屆遼寧渤海大學(xué)附中月考,2)已知隨機變量X的分布列如表所示,若E(X)=2,則D(X)=()X123P1mnA.23答案A3.(2022遼寧錦州質(zhì)檢,6)隨機變量X的分布列是X-112Pab1若E(2X+1)=2,則D(X)=()C.11答案D4.(多選)(2023屆山西長治質(zhì)量檢測,9)以石墨烯電池、量子計算、AI等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢,正在或?qū)⒅厮苁澜绻I(yè)的發(fā)展模式,對人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大.我國某公司為了搶抓機遇,成立了A、B、C三個科研小組針對某技術(shù)難題同時進行科研攻關(guān),攻克技術(shù)難題的小組會受到獎勵.已知A、B、C三個小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為12,12,23,A.三個小組都受到獎勵的概率是1B.只有A小組受到獎勵的概率是1C.只有C小組受到獎勵的概率是2D.受到獎勵的小組數(shù)的期望是5答案AD5.(多選)(2022湖北襄陽五中模擬,10)設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表,若離散型隨機變量Y滿足Y=2X-1,則下列結(jié)論正確的是()X01234Pq0.40.10.20.2A.q=0.2B.E(X)=2,D(X)=1.8C.E(X)=2,D(X)=1.4D.E(Y)=3,D(Y)=7.2答案BD6.(2020課標Ⅲ理,3,5分)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,則下面四種情形中,對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是(A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案B7.(2014浙江,12,4分)隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=15,E(ξ)=1,則D(ξ)=答案28.(2022河北開學(xué)摸底,18)甲、乙、丙三臺機床同時生產(chǎn)一種零件,在10天中,甲、乙機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)如表所示:第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲0102233120乙2411021101(1)若從這10天中隨機選取1天,設(shè)甲機床這天生產(chǎn)的次品數(shù)為X,求X的分布列;(2)已知丙機床這10天生產(chǎn)次品數(shù)的平均數(shù)為1.4,方差為1.84.以平均數(shù)和方差為依據(jù),若要從這三臺機床中淘汰一臺,你應(yīng)該怎么選擇?這三臺機床你認為哪臺性能最好?解析(1)依題意得X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=P(X=2)=310=0.3P(X=1)=P(X=3)=210=0.2故X的分布列為X0123P0.30.20.30.2(2)x甲=110×(0+1+0+2+2+3+3+1+2+0)x乙=110×(2+4+1+1+0+2+1+1+0+1)s甲2=110×[3×(0-1.4)2+2×(1-1.4)2+3×(2-1.4)2+2×(3-1.4)2s乙2=110×[2×(0-1.3)2+5×(1-1.3)2+2×(2-1.3)2+(4-1.3)2因為x甲所以次品數(shù)的平均數(shù)最小的是乙機床,穩(wěn)定性最好的也是乙機床,穩(wěn)定性最差的是丙機床,故應(yīng)淘汰丙機床,乙機床的性能最好.考向二超幾何分布1.(2022濟南歷城二中3月模擬,4)從一批含有13件正品,2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次,每次抽取1件,設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ,則E(5ξ+1)=()答案C2.(2021浙江,15,6分)袋中有4個紅球,m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=,E(ξ)=答案183.(2023屆江蘇海安月考,19)某藥廠研制了治療一種疾病的新藥,該藥的治愈率為85%.現(xiàn)用此藥給10位病人治療,記被治愈的人數(shù)為X.(1)若X=6,從這10人中隨機選3人進行用藥體驗訪談,求被選中的治愈人數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)當(dāng)k為何值時,概率P(X=k)最大?并說明理由.解析(1)治愈人數(shù)Y的可能取值為0,1,2,3.P(Y=0)=C43C103=130,P(Y=1)=C61C42C103=所以Y的分布列為Y0123P1311所以Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=0×130(2)依題意,知X~B(10,0.85),則P(X=k)=C10k0.85k×(1-0.85)10-k(0≤k≤10,k∈N*當(dāng)0≤k≤9時,P(若k≤8,k∈N*,則173×10-kk+1>1,故P(X=k+1)>P(X=k).若k=9,173×10-kk+1<1,故所以當(dāng)k=9時,概率P(X=k)最大.4.(2023屆遼寧六校期初考試,20)新高考的數(shù)學(xué)試卷第1至第8題為單選題,第9至第12題為多選題.多選題A、B、C、D四個選項中至少有兩個選項符合題意,其評分標準如下:全部選對得5分,部分選對得2分,選錯或不選得0分.在某次考試中,第11、12兩題的難度較大,第11題正確選項為AD,第12題正確選項為ABD.甲、乙兩位同學(xué)由于考前準備不足,只能對這兩道題的選項進行隨機選取,每個選項是否被選到是等可能的.(1)若甲同學(xué)每題均隨機選取一項,求甲同學(xué)兩題得分合計為4分的概率;(2)若甲同學(xué)計劃每題均隨機選取一項,乙同學(xué)計劃每題均隨機選取兩項,記甲同學(xué)的兩題得分為X,乙同學(xué)的兩題得分為Y,求X,Y的期望并判斷誰的方案更優(yōu).解析(1)因為甲同學(xué)兩題得分合計為4分,所以這兩道題每道題得2分,所以甲同學(xué)兩題得分合計為4分的概率為C2(2)甲同學(xué)兩題得分X的可能取值為0,2,4,P(X=0)=C21C41·C11P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=4)=1-18所以X的分布列為X024P113因此E(X)=0×18+2×12+4×3乙同學(xué)第11題可能得分為Y1,P(Y1=0)=C22C42+C21·乙同學(xué)第12題可能得分為Y2,P(Y2=0)=C31·C11C42=乙同學(xué)兩題得分Y的可能取值為0,2,5,7,P(Y=0)=P(Y1=0)·P(Y2=0)=56P(Y=2)=P(Y1=0)·P(Y2=2)=56P(Y=5)=P(Y1=5)·P(Y2=0)=16P(Y=7)=P(Y1=5)·P(Y2=2)=16所以Y的分布列為Y0257P5511因此E(Y)=0×512+2×5因為E(X)>E(Y),所以甲同學(xué)的方案更優(yōu).5.(2017山東理,18,12分)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).解析(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C8(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C6P(X=3)=C62C43C105=因此X的分布列為X01234P151051X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=0+1×521+2×綜合篇考法求離散型隨機變量的均值與方差的方法1.(2019浙江,7,4分)設(shè)0<a<1,隨機變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時,()A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大答案D2.(2020浙江,16,6分)盒中有4個球,其中1個紅球,1個綠球,2個黃球.從盒中隨機取球,每次取1個,不放回,直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=,E(ξ)=.

答案133.(2022全國甲理,19,12分)甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽,比賽共設(shè)三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.解析(1)記“甲學(xué)校在第i個項目獲勝”為事件Ai(i=1,2,3),“甲學(xué)校獲得冠軍”為事件E.則P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=12×(2)記“乙學(xué)校在第j個項目獲勝”為事件Bj(j=1,2,3).X的所有可能取值為0,10,20,30.則P(X=0)=P(B1B2BP(X=10)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3=12P(X=20)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3)+P(B1B2=12P(X=30)=P(B1B2B3)=12∴X的分布列為X0102030P411173∴E(X)=0×425+10×4.(2021新高考Ⅰ,18,12分)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.解析(1)由題易知X的所有可能取值為0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.假設(shè)小明先回答B(yǎng)類問題,其累計得分為Y,則Y的所有可能取值為0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,所以E(Y)>E(X),所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.5.(2022北京,18,13分)在校運動會上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績,并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設(shè)用頻率估計概率,且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率;(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù),估計X的數(shù)學(xué)期望E(X);(3)在校運動會鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大?(結(jié)論不要求證明)解析(1)設(shè)事件A為“甲在校運動會上獲得優(yōu)秀獎”.根據(jù)題中數(shù)據(jù),甲在10次比賽中,有4次成績在9.50m以上.所以P(A)估計為410(2)設(shè)事件B為“乙在校運動會上獲得優(yōu)秀獎”,事件C為“丙在校運動會上獲得優(yōu)秀獎”.根據(jù)題中數(shù)據(jù),P(B)估計為36=12,P(C根據(jù)題意,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(X=1)=P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C);P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3).所以,P(X=0)估計為320;P(X=1)估計為8P(X=3)估計為220;P(X=2)估計為7所以EX估計為0×320(3)在校運動會上,丙獲得冠軍的概率估計值最大.6.(2023屆重慶八中入學(xué)考,20)某單位為了激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性,現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強國”App中特有的“四人賽”答題活動進行比賽,活動規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“四人賽”活動,僅前兩局比賽可獲得積分,第一局獲勝得3分,第二局獲勝得2分,失敗均得1分,小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動,已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p(0<p<1),12,且各局比賽互不影響(1)若p=23,記小張一天中參加“四人賽”活動的得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(2)設(shè)小張在這5天的“四人賽”活動中,恰有3天每天得分不低于4分的概率為f(p),試問當(dāng)p為何值時,f(p)取得最大值?解析(1)由題意可知,X的可能取值為2,3,4,5.因為p=23,所以P(X=2)=13×12=16,P(X=3)=13×12=16,P故X的分布列為X2345P1111則E(X)=2×16(2)設(shè)一天得分不低于4分為事件A,則P(A)=p2+p則f(p)=C53p3(1-p)2=10p3(1-p)2,0<p則f'(p)=30p2(1-p)2-20p3(1-p)=10p2(1-p)(3-5p).當(dāng)0<p<35時,f'(p)>0;當(dāng)35<p<1時,f'(p)所以f(p)在0,35上單調(diào)遞增,在35,1上單調(diào)遞減,故當(dāng)p=35時,f7.(2023屆遼寧丹東階段測,19)為樹立“優(yōu)先公交、綠色出行”理念,市政府倡議“少開一天車,優(yōu)先選擇坐公交車、騎自行車和步行出行”,養(yǎng)成綠色、環(huán)保、健康的出行習(xí)慣.甲、乙兩位市民為響應(yīng)政府倡議,在每個工作日的上午上班(記為上班)和下午下班(記為下班)選擇坐公交車(記為A)、騎自行車(記為B).統(tǒng)計這兩人連續(xù)100個工作日的上班和下班出行方式的數(shù)據(jù)情況如下:上班下班出行方式(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)甲30天20天40天10天乙20天10天30天40天設(shè)甲、乙兩人上班和下班選擇的出行方式相互獨立,以這100天數(shù)據(jù)的頻率為概率.(1)記M表示事件:一天中,甲上班和下班都選擇坐公交車、乙上班和下班都選擇騎自行車,求P(M);(2)記X為甲、乙兩人在一天中上班和下班選擇出行方式的個數(shù),求E(X);(3)若甲、乙兩人下班時都選擇騎自行車,請問哪個人上班時更有可能選擇坐公交車?說明理由.解析(1)記C表示事件“一天中甲上班和下班都選擇坐公交車”,D表示事件“一天中乙上班和下班都選擇騎自行車”,則M=CD.由題意知P(C)=30100=0.3,P(D)=40100=0.4,于是P(M)=P(CD)=P(C)P(D)=0.(2)X可取1,2.X=1就是甲、乙兩人在一天中上班和下班都選擇坐公交車或者都選擇騎自行車,因此P(X=1)=30100×20100+10100×40100=0.1,P(X=2)=1-0.1=0.9,于是E((3)記E表示事件“甲下班時選擇騎自行車”,E1表示事件“甲上班時選擇坐公交車”,F表示事件“乙下班時選擇騎自行車”,F1表示事件“乙上班時選擇坐公交車”,那么P(E1|E)=P(E?E1)P(E)=因為23>15,8.(2023屆河北秦皇島部分學(xué)校摸底,20)“斯諾克(Snooker)”是臺球比賽的一種,意思是“阻礙、障礙”,所以斯諾克臺球有時也被稱為障礙臺球,是四大“紳士運動”之一,隨著生活水平的提高,“斯諾克”也成為人們喜歡的運動之一.現(xiàn)甲、乙兩人進行比賽,比賽采用5局3勝制,各局比賽雙方輪流開球(例如:若第一局甲開球,則第二局乙開球,第三局甲開球……),沒有平局.已知在甲的“開球局”,甲獲得該局比賽勝利的概率為13,在乙的“開球局”,甲獲得該局比賽勝利的概率為12,并且通過“猜硬幣”,(1)求甲以3∶1贏得比賽的概率;(2)設(shè)比賽的總局數(shù)為ξ,求E(ξ).解析(1)設(shè)事件“甲在第i局比賽獲勝”為Ai,i=1,2,3,4,5,由已知可得P(A1)=13,P(A2)=12,P(A3)=13,P(A4)=12,P(A5甲以3∶1贏得比賽,則前3局中甲贏得了2局且第4局甲獲勝,所以甲以3∶1贏得比賽可表示為A1A2其中A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4互斥,A1,A2,A3,A所以P(A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4)=P(A1A2A3A=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(=23所以甲以3∶1贏得比賽的概率為536(2)ξ的可能取值為3,4,5,設(shè)甲獲勝的概率為P1,乙獲勝的概率為P2,P1(ξ=3)=13P2(ξ=3)=23P(ξ=3)=118P1(ξ=4)=23P2(ξ=4)=13P(ξ=4)=536則P(ξ=5)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4)=1-518則ξ的分布列為ξ345P51313所以E(ξ)=3×5189.(2016課標Ⅰ,19,12分)某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零