2021-2022學年北京二十七中高二（下）期中數(shù)學試卷 - 解析版

2021-2022學年北京二十七中高二（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1．（4分）函數(shù)y＝x2在x＝1處的瞬時變化率為（）A．2 B． C．﹣ D．1【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求解即可．【解答】解：y′＝2x，∴在x＝1處的瞬時變化率為2×1＝2，故選：A．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．2．（4分）二項式的展開式中含x2項的系數(shù)是（）A．﹣60 B．60 C．﹣15 D．15【分析】求出展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為2，進而可以求解．【解答】解：展開式的通項公式為T＝C，r＝0，1.....6，令6﹣2r＝2，解得r＝2，所以展開式中含x2項的系數(shù)為C＝60，故選：B．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．3．（4分）若f（x）＝exlnx，則f'（x）＝（）A．exlnx+ B．exlnx﹣ C． D．exlnx【分析】根據(jù)導數(shù)的公式即可得到結論．【解答】解：∵f（x）＝exlnx，∴f′（x）＝exlnx+，故選：A．【點評】本題主要考查導數(shù)的基本運算，比較基礎．4．（4分）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）A．12 B．36 C．48 D．72【分析】甲和乙不相鄰，先排丙、丁、戊三人，再將甲乙插空即可．【解答】解：先排丙、丁、戊三人，共有A＝6種排法，甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，共有3×4＝12種排法，故排法種數(shù)為6×12＝72．故選：D．【點評】本題考查插空法，屬于基礎題．5．（4分）某保密單位有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時刻恰有一個系統(tǒng)發(fā)生故障的概率為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接計算即可．【解答】解：在任意時刻恰有一個系統(tǒng)發(fā)生故障的概率P＝＝.故選：C．【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率，屬于基礎題．6．（4分）在﹣的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中所有項的系數(shù)之和為（）A．﹣ B． C．﹣256 D．256【分析】先根據(jù)只有第5項的二項式系數(shù)最大確定n的值，再令x＝1求解即可．【解答】解：因為展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共有9項，則n＝8．即﹣＝（）8，令x＝1，得到（）8＝．故選：B．【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．7．（4分）函數(shù)f（x）＝（x2﹣2x）ex的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】本題是選擇題，可采用排除法進行逐一排除，根據(jù)f（0）＝0可知圖象經(jīng)過原點，以及根據(jù)導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，求出單調(diào)增區(qū)間，從而可以進行判定．【解答】解：因為f（0）＝（02﹣2×0）e0＝0，排除C；因為f'（x）＝（x2﹣2）ex，解f'（x）＞0，所以或時f（x）單調(diào)遞增，排除B，D．故選：A．【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的圖象等基礎知識，考查了排除法，屬于基礎題．8．（4分）某小區(qū)有A、B兩家超市，小王第1天隨機的選擇一家超市購物，如果第1天去A超市，那么第2天去A超市的概率為0.6；如果第1天去B超市，那么第2天去A超市的概率為0.8．計算小王第2天去A超市的概率（）A．0.48 B．0.6 C．0.7 D．0.8【分析】分兩種情況：第一天去A超市，第二天去A超市；第一天去B超市，第二天去A超市；分別求每一種情況的概率，再求和即可求解．【解答】解：若第一天去A超市，第二天去B超市概率為0.5×0.6＝0.3，若第一天去B超市，第二天去A超市概率為0.5×0.8＝0.4，所以甲住戶第2天去A超市購物的概率為0.3+0.4＝0.7．故選：C．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件的概率公式的合理運用．9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣2lnx在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．[，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)的符號，結合單調(diào)區(qū)間，求解即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝ax﹣2lnx在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴當x＞1時，y′＝a﹣≥0恒成立，即a≥，∴a≥2，即a的取值范圍為[2，+∞），故選：D．【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于常規(guī)題．10．（4分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+x2，且x0是函數(shù)f（x）的極值點．給出以下幾個問題：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0其中正確的命題是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】根據(jù)條件可得f′（x0）＝lnx0+2x0+1＝0，所以2x0＝﹣（lnx0+1）＞0，lnx0＜﹣1，由此可得，即可判斷①②；計算，即可判斷③④．【解答】解：f（x）的定義域為x＞0，f′（x）＝lnx+2x+1，所以有f′（x0）＝lnx0+2x0+1＝0，所以有2x0＝﹣（lnx0+1）＞0，即lnx0＜﹣1，即，所以有；故①錯誤，②正確；，因為2x0＝﹣（lnx0+1），所以有，故③正確，④錯誤．故選：C．【點評】本題考查導數(shù)在求函數(shù)極值中的應用，屬于中檔題．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）若，則＝72．【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計算可得．【解答】解：因為，由組合數(shù)的性質(zhì)可得n＝3+6＝9，∴＝＝72．故答案為：72．【點評】本題考查了組合數(shù)公式的應用問題，是基礎題目．12．（4分）用0，1，2，3，4，5，6七個數(shù)共可以組成180個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)．【分析】因為元素0特殊，故選0時和不選0時兩類，根據(jù)分類計數(shù)原理可得．【解答】解：選0時，0不能在首位，故有C21A62＝60個，不選0時，有A63＝120個，根據(jù)分類計數(shù)原理，共有60+120＝180個，故答案為：180．【點評】本題考查了分類計數(shù)原理，關鍵是分類，屬于基礎題．13．（4分）盒子中有4個白球和3個紅球，現(xiàn)從盒子中依次不放回地抽取2個球，那么在第一次抽出白球的條件下，第二次抽出紅球的概率是．【分析】根據(jù)古典概型概率公式計算．【解答】解：第一次抽到白球后，袋中還有3個紅球，3個白球，故第二次抽到紅球的概率為．故答案為：．【點評】本題考查了條件概率的計算，屬于基礎題．14．（4分）函數(shù)f（x）＝x﹣2cosx在區(qū)間[0，π]上的最大值為π+2．【分析】利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x﹣2cosx，可得f′（x）＝1+2sinx，x∈[0，π]，可知1+2sinx＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）＝x﹣2cosx在區(qū)間[0，π]上是增函數(shù)，所以，x＝π時，函數(shù)取得最大值：π﹣2cosπ＝π+2．故答案為：π+2．【點評】本題考查函數(shù)導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，是基礎題．15．（4分）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a0＝1，a1+a2+…+a7＝﹣2．（用數(shù)字作答）【分析】先求得a0＝＝1，把x＝1代入已知的等式求得a1+a2+…+a7的值．【解答】解：a0＝＝1，把x＝1代入已知的等式可得﹣1＝a0+a1+a2+…+a7，∴a1+a2+…+a7＝﹣2，故答案為1；﹣2．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．16．（4分）設定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），已知函數(shù)y＝x?f′（x）的圖象（如圖）與x軸的交點分別為（﹣2，0），（0，0），（2，0）．給出下列四個命題：①函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣2，0），（2，+∞）；②函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣2），（2，+∞）；③x＝﹣2是函數(shù)f（x）的極小值點；④x＝2是函數(shù)f（x）的極小值點．其中，正確命題的序號是．【分析】由題設條件中的函數(shù)y＝x?f′（x）的圖象判斷出f′（x）的符號，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點，即可確定正確命題的序號．【解答】解：由題設條件中的函數(shù)y＝x?f′（x）的圖象可知：當x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增；當x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減；x∈（0，2）時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增．所以②④正確．故答案為：②④．【點評】本題主要考查導數(shù)在處理函數(shù)單調(diào)性與極值點問題中的應用，屬于中檔題．三、解答題（共3小題，滿分36分）17．（12分）從4名男生和3名女生中各選2人，（1）共有多少種不同的選法？（2）如果男生甲與女生乙至少要有1人被選中，那么有多少種不同選法？（3）選出的4人參加百米接力賽，男生甲和女生乙同時被選中參賽，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少種不同的安排方法？（用數(shù)字作答）【分析】（1）根據(jù)排列組合求解即可．（2）按甲乙是否被選中分3種情況討論，由加法原理計算可得答案．（3）先求男生甲和女生乙同時被選中的選法，再根據(jù)間接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，從4名男生和3名女生中各選2人，男生有C種選法，女生有C種選法，故選法有CC＝18種；（2）根據(jù)題意，分3種情況討論：男生甲被選中，女生乙沒有被選中，有CC＝3種．男生甲沒有被選中，女生乙被選中，有CC＝6種，男生甲和女生乙被選中，有CC＝6種，則共有3+6+6＝15種選法，（3）男生甲和女生乙同時被選中的選法為CC＝6種，4人參加百米接力賽的總安排方法為A＝24種，甲跑第一棒的安排方法為A＝6種，乙跑最后一棒的安排方法為A＝6種，甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法為A＝2種，甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法為6×（24﹣6﹣6+2）＝84種．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+1（a∈R），f'（x）是f（x）的導函數(shù)，且f'（2）＝0．（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣3，3]上的最值．【分析】（1）首先求得導函數(shù)的解析式，據(jù)此可得關于a的方程，解方程可得實數(shù)a的值；（2）首先求得導函數(shù)的解析式，然后結合導函數(shù)的零點求解函數(shù)在極值點和端點處的函數(shù)值，最后由所求的函數(shù)值確定函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）由函數(shù)的解析式可得f'（x）＝3x2﹣3a，則f'（2）＝3×22﹣3a＝0，∴a＝4．（2）由（1）可知f（x）＝x3﹣12x+1，f'（x）＝3x2﹣12，由f'（x）＝0可得x1＝2，x2＝﹣2，由于f（﹣3）＝﹣27+36+1＝10，f（3）＝27﹣36+1＝﹣8，f（﹣2）＝﹣8+24+1＝17，f（2）＝8﹣24+1＝﹣15，故函數(shù)在區(qū)間[﹣3，3]上的最大值為17，最小值為﹣15．【點評】本題主要考查導數(shù)的計算與應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于基礎題．19．（12分）設函數(shù)f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（1）當a＝﹣1時，求曲線在（1，f（1））處的切線方程；（2）討論：f（x）的單調(diào)性；（3）當f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2時，求a的取值范圍．【分析】（1）將a＝﹣1代入f（x）的解析式，求導，并分別計算f（1）和f'（1）的值，再由點斜式寫出切線方程，即可；（2）求導得f'（x）＝﹣a，定義域為（0，+∞），分a≤0和a＞0兩種情況，討論f'（x）與0的大小關系，即可得解；（3）結合（2）中所得，可知a＞0，且f（x）max＝f（），再構造函數(shù)g（a）＝a+lna﹣1，由g（a）＜0在a∈（0，+∞）上恒成立，即可得解．【解答】解：（1）當a＝﹣1時，f（x）＝lnx﹣（1﹣x）＝lnx+x﹣1，所以f（1）＝0，f'（x）＝+1，所以f'（1）＝2，故曲線在（1，f（1））處的切線方程為y＝2（x﹣1）．（2）由f（x）＝lnx+a（1﹣x），知f'（x）＝﹣a，定義域為（0，+∞），當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當a＞0時，令f'（x）＞0，則0＜x＜，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；令f'（x）＜0，則x＞，f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減；綜上所述，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當a＞0時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減．（3）由（2）知，若f（x）有最大值，則a＞0，且f（x）max＝f（）＝ln