小學數(shù)學-鴿巢問題教學設計學情分析教材分析課后反思

《鴿巢問題》教學設計教學內容：人教版小學數(shù)學六年級下冊教材第68～69頁例1、例2。教學目標：1.通過操作、觀察、比較、推理等活動，初步了解鴿巢原理，學會簡單的鴿巢原理分析方法，運用鴿巢原理的知識解決簡單的實際問題。2.在鴿巢原理的探究過程中，使學生逐步理解和掌握鴿巢原理，經歷將具體問題數(shù)學化的過程，培養(yǎng)學生的模型思想。3.通過對鴿巢原理的靈活運用，感受數(shù)學的魅力，體會數(shù)學的價值，提高學生解決問題的能力和興趣。教學重點：理解鴿巢原理，掌握先“平均分”，再調整的方法。教學難點：理解“總有”“至少”的意義，理解“至少數(shù)=商數(shù)＋1”。教學準備:多媒體課件、撲克牌、3個筆筒、5支鉛筆。教學過程：一、游戲導入：1.師：同學們，看過變魔術的嗎？老師今天也想給同學們變一個魔術。我手里有一副撲克牌，知道有多少張嗎（54張），現(xiàn)在我將兩張王取出，還剩多少張（52張）。請兩位小助手幫忙，一位同學拿著牌，另一位同學隨機抽出5張牌放在手中。老師猜在這5張牌中至少有2張牌是同一花色。重復抽取一次。適時引導：“至少2張”是什么意思？（也就是2張或2張以上。反過來，可能有2張，可能3張、4張、5張，也可以用一句話概括就是“至少有2張”）2.師：你們想知道為什么“至少有2張牌是同一花色”嗎？通過今天的學習，我們就可以解釋這個現(xiàn)象了。下面我們就來一起研究“鴿巢問題”，我們可以用鉛筆來代替鴿子，用筆筒來代替鴿巢。我們可以從簡單的情況開始研究。二、合作探究（一）初步感知1.出示題目：有3支鉛筆，2個筆筒（把實物擺放在講桌上），把3支鉛筆放進2個筆筒，怎么放？有幾種不同的放法？誰愿意上來試一試。2.學生上臺實物演示。可能有兩種情況：一個放3支，另一個不放；一個放2支，另一個放1支。教師根據(jù)學生回答在黑板上畫圖和數(shù)的分解兩種方法表示兩種結果（3，0）（2、1）3.提出問題：“不管怎么放，每一個筆筒里至少有2支鉛筆”，這句話說得對嗎？“不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”，這句話說得對嗎？學生嘗試回答。師引導：“總有一個筆筒”是什么意思？（一定有，不確定是哪個筆筒/應該是最多的那個筆筒）?！爸辽儆?支”是什么意思？（最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上）4.小結：從剛才的實驗中，我們得到的結論是：3支鉛筆放進2個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少放進2支筆。（二）枚舉法（列舉法）過渡：如果現(xiàn)在數(shù)量增加，變成4支鉛筆放進3個筆筒，還會得出這樣的結論嗎？1.小組合作：（1）畫一畫：借助“畫圖”或“數(shù)的分解”的方法把各種情況在練習本上表示出來；（2）找一找：每種擺法中最多的一個筆筒放了幾支，用筆標出；（3）我發(fā)現(xiàn)：總有一個筆筒至少放進了（）支鉛筆。2.學生匯報，展臺展示。一名同學操作匯報，一名同學板書（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）交流后明確：（1）共四種情況（2）每種擺法中最多的一個筆筒放進了：4支、3支、2支。（3）總有一個筆筒至少放進了2支鉛筆。3.小結：剛才我們通過“畫圖”、“數(shù)的分解”兩種方法列舉出所有可能的情況來得出結論，像這種方法我們把它叫做“枚舉法”，也就是我們通常所說的“列舉法“。思考：我們能不能找到一種更為直接的方法，只擺一種情況，也能得到這個結論，找到“至少數(shù)”呢？（三）假設法1.學生嘗試回答，并操作演示。（把4支鉛筆平均放在3個筆筒里，每個筆筒放1支，余下的1支，無論放在哪個筆筒，那個筆筒就有2支筆，所以說總有一個筆筒至少放進了2支筆。2.指名說，同桌互相說。3.引導發(fā)現(xiàn)：（1）這種分法的實質就是先怎么分的？（平均分）（2）為什么要一開始就平均分？（均勻地分，使每個筆筒的筆盡可能少一點，方便找到“至少數(shù)”）余下的1支，怎么放？（任意放進哪個筆筒都行）（3）怎樣用算式表示這種方法？4÷3=1（支）……1（支）1+1＝2（支）算式中的兩個“1”分別是什么意思？4.說明：剛才的這種方法里面蘊含了“平均分”，我們把這種方法叫做“假設法”。用有余數(shù)的除法算式可以把平均分的過程簡明的表示出來，現(xiàn)在會用簡便方法求“至少數(shù)”嗎？5.課件出示（1）5支筆放進4個筆筒，總有一個筆筒至少放進（）支筆。（2）6支筆放進5個筆筒，總有一個筆筒至少放進（）支筆。（3）26支筆放進25個筆筒，總有一個筆筒至少放進（）支筆。學生列出算式，找一名同學在黑板上板書算式，依據(jù)算式說理。5÷4=1（支）……1（支）1+1＝2（支）6÷5=1（支）……1（支）1+1＝2（支）26÷25=1（支）……1（支）1+1＝2（支）6.學生觀察四個算式有什么共同點？7.小結：當筆的數(shù)量比筆筒多1時，不管怎么放，總有一個筆筒至少放進2支筆。（四）建立模型1.課件出示：把5支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（）支鉛筆。請用算式表示，找同學板書：（預設）5÷3=1（支）……2（支）1+2＝3（支）5÷3=1（支）……2（支）1+1＝2（支）針對兩種結果，各自說說自己的想法。2.小組討論，突破難點至少2只還是3只？3.學生說理，邊擺邊說：先平均分，每個筆筒放進1支筆，余下2只再平均分放進2個不同的筆筒里，所以至少2只。（指名說，互相說）4.質疑：為什么第二次要平均分？（保證“至少”）5.強化：如果把筆和筆筒的數(shù)量進一步增加呢？課件依次出示：（1）把10支鉛筆放進7個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（）支鉛筆。10÷7＝1（支）…3（支）1+1＝2（支）（2）把14支鉛筆放進4個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（）支鉛筆。14÷4＝3（支）…2（支）3+1＝4（支）6.對比算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律思考：至少數(shù)和余數(shù)有沒有關系？與余數(shù)無關。先平均分，不管余多少，都要再平均分，所以應該用所得的“商+1”7.引申拓展剛才我們研究了筆放入筆筒的問題，那如果換成鴿子飛進鴿籠你會解答嗎？還有像“把蘋果放入抽屜，把書放入書架”，類似的問題我們都可以用這種方法解答。三、解決問題課件出示：（1）6只鴿子放進了5個鴿巢，總有一個鴿巢里飛進了（）只鴿子（2）10個蘋果放入3個抽屜里，總有一個抽屜里放入了（）蘋果（3）18個小朋友，總有至少（）個小朋友是同一個月出生的（4）紅、黃、黑、白球共有50個，總有至少（）個球顏色相同學生口算解答。四、鴿巢原理的由來師：同學們我們這節(jié)課一起研究了鴿巢問題，為什么叫做“鴿巢問題”呢？我們一起來了解一下。課件出示。鴿巢問題又叫抽屜原理，它最早由德國數(shù)學家狄里克雷提出，所以該原理又稱“狄里克雷原理”。抽屜原理有兩個經典案例，一個是把10個蘋果放進9個抽屜里，總有一個抽屜里至少放入了2個蘋果，所以這個原理又稱“抽屜原理”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進2只鴿子，所以又稱為“鴿巢問題”。五、課堂總結通過這節(jié)課的學習，相信同學們已經有了一些收獲，哪位同學愿意和大家分享一下。課堂一開始老師給同學們變了一個魔術，現(xiàn)在同學們知道其中的道理了嗎?（指名學生說理）生活中還有很多問題都可以用數(shù)學的知識去解決，希望同學們能做一個有心人，去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題?！而澇矄栴}》學情分析“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，對于學生來說是很容易的?？赡苡幸徊糠謱W生已經了解了鴿巢問題，他們在具體分的過程中，會運用平均分的方法，也能就一個具體的問題得出結論。但是這些學生中大多數(shù)只“知其然，不知其所以然”，為什么平均分能保證“至少”的情況，他們并不理解。還有部分學生完全沒有接觸，所以他們可能會認為至少的情況就應該是“1”。“鴿巢問題”的應用是千變萬化的，尤其是“鴿巢問題”的逆用，學生對進行逆向思維的思考可能會感到困難，也缺乏思考的方向，很難找到切入點。教學時，不必過于追求學生“說理”的嚴密性，只要能結合具體問題把大致意思說出來就可以了，更要允許學生借助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證。《鴿巢問題》效果分析有效的教學是從研究學生開始的?！敖饣蟆毙枰取爸蟆保虒W要從學生的視角望出去，瞄準學生的認知障礙?！俺閷显怼笨此坪唵?，但因為其實質是揭示了一種存在性，比較抽象，要讓小學生建構起自己的實質性理解，還是很有挑戰(zhàn)性的。首先，抽屜原理的精練表述，明顯超出了一般人的抽象概括能力。對“總有一個抽屜里放入的物體數(shù)至少是多少”這樣的表述，學生不易理解，教學中學生也很難用“總有”、“至少”這樣的語言來陳述。第二，抽屜原理研究的是物體數(shù)最多的一個抽屜里最少會有幾個物體，只研究它存在這樣一個現(xiàn)象，不需要指出具體是哪一個抽屜，也就是說，對“抽屜”是不加區(qū)分的。而小學生容易受到思維定式的影響，理解起來有難度。在枚舉時會把（2、1、1），（1、1、2），（1、2、1）理解成三種不同的情況。第三，人教版教材在例2的編排中是運用有余數(shù)除法的形式表達出假設法的核心思路，即5÷2=2……1。但由于該除法算式的余數(shù)正好是1，很容易讓學生將“某個筆筒至少有筆的數(shù)量”是“商加1”錯誤地等同于“商加余數(shù)”?；谝陨戏治?，教學時要注意分散難點，鼓勵學生借助實物操作或畫草圖等直觀的方式逐步理解。同時，在交流中引導學生對“枚舉法”、“假設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數(shù)學方法來思考問題，發(fā)展學生的類推能力和概括能力。魔術游戲入手，課始的導入引出了話題，也引發(fā)了數(shù)學思考，使學生初步感知“抽屜原理”，初步滲透了“不管怎樣”、“總有一個”等思想。將數(shù)學學習與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，激起了學生探究新知的欲望。怎樣幫助學生理解抽屜原理模型中的“不管怎么放”、“總有一個”、“至少”等詞語表達的意思呢？在教學中，先讓學生動手操作、畫圖，找出“把4枝鉛筆放進3個筆筒里”的所有分放方法，目的是讓學生真正體會并得到所有的分放方法。接著，通過教師的追問，引導學生體會、理解“不管怎么放”、“總有一個”、“至少”的含義，為自主探究解決問題掃清了障礙。在交流時，抓住兩種方法的本質和關鍵加以引導，并進行歸納提煉，使學生初步感受和體驗枚舉法與假設法的不同。將假設法最核心的思路用“有余數(shù)除法”形式表示出來，將思維過程與數(shù)學符號聯(lián)系起來，體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美，并為后面發(fā)現(xiàn)規(guī)律埋下伏筆?！而澇矄栴}》教材分析一、教學內容 教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種，只要物體的數(shù)量比抽屜多，那么一定有一個抽屜放進了至少兩個物體。第二種，即是“把多于kn（k是正整數(shù)）個元素放入n個集合，總有一個集合里至少有（k+1）元素”。若k為1，就是第一種情況，可見第一種情形實際是第二種情形的特例。第三種情況是把無限多個物體（如紅球、藍球各4個）放進有限多個抽屜（兩種顏色），那么一定有一個抽屜放進了無限多個物體（至少2個同色的球）。二、教材例題分析例1：本例描述“抽屜原理”的最簡單的情況。著重探討為什么這樣的結論是成立的。教材呈現(xiàn)了兩種思考方法：第一種方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過完全歸納的方法看到在這四種情況都是滿足結論的；還可以是說理的方式，先放3支，在每個筆筒里放1支，這時剩下1支。剩下的1支不管放入哪一個筆筒中，這時都會有一個筆筒里有2支鉛筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。通過本例的教學，使學生感知這類問題的基本結構，掌握兩種思考的方法──枚舉和假設，理解問題中關鍵詞語“總有”和“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認識。例2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多于（是正整數(shù)）個物體任意分放進個空抽屜里，那么一定有一個抽屜中放進了至少（+1）個物體”。教材首先探究把7本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書的情形。當數(shù)據(jù)變得越來越大時，如果還用完全歸納的方法把所有的情形羅列出來的話，對于學生來說是有困難的。這時需要學生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所有的抽屜最多放2本，那么3個抽屜里最多放6本書，可是題目中是7本書，還剩1本書，怎么辦？這就使學生明白只要放到任意一個抽屜里即可，總有一個抽屜里至少放進3本書。通過這樣的方式，實際上學生是在經歷“反證法”的這樣一個過程。例3：跟之前教材的編排是一樣的，是抽屜原理的一個逆向的應用。要解決這個問題，可以把兩種“顏色”看成兩個“抽屜”，“同色”就意味著“同一個抽屜”。這樣，就可以把“摸球問題”轉化為“抽屜問題”。教材通過學生的對話，指出了可以通過先猜測再驗證的方法來解決問題，也反映了學生在解決這個問題時可能會遇到的困難。很多學生誤以為要摸5次才可以摸出球，這可以讓學生通過實驗來驗證。三、在教學中要注意的問題：第一，要讓學生經歷數(shù)學證明的過程，在這里不是讓學生計算抽屜原理，去應用，而更多的是給出一個結論，讓學生去證明這種結論的正確性，這就是一種數(shù)學證明的思想；第二，要有意識地培養(yǎng)學生的模型思想。因為“抽屜原理”在生活中的變式是多樣的，比如讓學生判斷13個孩子中一定有兩個人的生日在同一個月份，讓學生去判斷367個孩子中一定有兩個人的生日是同一天……在解決這些問題的過程中，教師要引導學生明確什么是抽屜原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學生把這些具體問題模型化成一個“抽屜問題”。第三，重視實踐活動，幫助學生在自主探究中理解原理，將具體的情況推廣到一般。在例1中給出具體的問題（4支鉛筆放到3個筆筒里），讓學生在探究的過程中，逐漸找到一般的規(guī)律。第四，恰當保持教學要求，因為數(shù)學廣角內容只是讓學生經歷這樣的數(shù)學思想的感悟，在評價上不做特別高的要求。《鴿巢問題》評測練習一、填一填。1．把7支鋼筆放到4個文具盒中，總有一個文具盒中至少有()支鉛筆，如果把這些鋼筆放進3個文具盒中，至少有()支鋼筆。2．數(shù)學興趣小組有25人，至少有()人屬相相同。3．9只兔子裝入4個籠子，總有一個籠子至少裝()只兔子。4．王老師把36人分成5個組，總有一個組至少有()人。5．將9本書放到8個抽屜里，總有一個抽屜至少放進了()本書；將25支鋼筆放到8個文具盒里，總有一個文具盒至少放進了()支鋼筆。6．把5個梨放在4個盤子里，總有()個盤子至少要放2個梨。二、選一選。1．34只小鳥飛向11棵大樹，至少有()只小鳥飛向同一棵樹。A．3B．4C．52．在任意的40個人中，至少有()人的屬相相同。A．2B．3C．43．老師把36根跳繩分給5個班，至少有()根跳繩分給同一個班。A．7B．8C．9三、用一用。1．2006年3月份出生的任意32名同學中，至少有2人是同一天出生的，為什么？2．體育課上，同學們正在進行投籃練習，其中10名同學一共投進61個球。你能說出其中的道理嗎？3．六年級有30名學生是2月份出生的，所以六年級至少有2名學生的生日是2月份同一天，為什么？《鴿巢問題》課后反思數(shù)學廣角的教學是為了豐富學生解決問題的方法和策略，使學生感受到數(shù)學的魅力。本節(jié)課我讓學生經歷探究“鴿巢原理”的過程，初步了解了“鴿巢原理”，學會思考數(shù)學問題的方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。一、情境導入，初步感知興趣是最好的老師。在導入新課時，我讓同學們玩抽撲克牌的游戲，這個游戲雖簡單卻能真實的反映“鴿巢原理”的本質。通過小游戲，一下就抓住學生的注意力，有效地調動和激發(fā)學生的學習主動性和興趣。二、活動中恰當引導，建立模型采用枚舉法，讓學生把4枝鉛筆放入3個筆筒中的所有情況通過擺一擺、畫一畫或寫一寫等方式都列舉出來，運用直觀的方式，發(fā)現(xiàn)并描述,理解最簡單的“鴿巢原理”即“鉛筆數(shù)比筆筒數(shù)多1時，總有一個筆筒里至少有2枝筆”。在例2的教學時，讓學生借助直觀操作發(fā)現(xiàn)枚舉法適用于數(shù)字較小時，有局限性，而假設法應用范圍廣，假設把筆盡量多的“平均分”到各個筆筒，看每個筆筒能分到多少支筆，剩下的筆不管放到哪個筆筒里，總有一個筆筒比平均分得的多1支，可以用有余數(shù)的除法這一數(shù)學規(guī)律來表示。大量例舉之后，再引導學生總結歸納這一類“鴿巢原理”的一般規(guī)律。特別是通過學生歸納總結的規(guī)律：到底是“商+余數(shù)”還是“商+1”，引發(fā)學生的思維步步深入，并通過討論和說理活動，使學生經歷了一個初步的“數(shù)學證明”的過程，培養(yǎng)了學生的推理能力和初步的邏輯能力。三、通過練習，解釋應用適當設計形式多樣化的練習，可以引起并保持學生的練習興趣。練習內容緊密聯(lián)系生活，讓學生體會數(shù)學來源于生活。練習由易到難，層層遞進，符合學生的認知規(guī)律，在練習中，學生興趣盎然，達到了預期的效果。不足之處是學生的語言表達能力還有待提高。課堂中，數(shù)學語言精簡性直接影響著學生對新知識的理解與掌握。因此，在以后的課堂教學中，我要嚴謹準確地使用數(shù)學語言，發(fā)現(xiàn)并靈活掌握各種數(shù)學語言所描述的條件及其相互轉化，以加深對數(shù)學概念的理解和應用，增強提問的指向性、目的性?！而澇矄栴}》課標分析一、課標要求《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第二學段”中提出：“會獨立思考，體會一些數(shù)學的基本思想”“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”“經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程”?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“課程內容”的“第二學段”中提出：“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢”“結合實際情境，體驗發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程”“通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學活動經驗”。二、課標解讀（一）讓學生初步經歷“數(shù)學證明”的過程在數(shù)學上，一般是用反證法對“抽屜原理”進行