第15講圓與扇形完整版

第1講圓與扇形內(nèi)容概述掌握圓與扇形的基本概念和性質(zhì)以及它們的周長和面積計算公式并能熟練運(yùn)用公式處理相關(guān)的幾何問題學(xué)習(xí)如何利用割補(bǔ)法和包含排除的思想計算圖形中特定部分的面積學(xué)會分析幾何圖形的運(yùn)動過程并由此得出點(diǎn)的軌跡和圖形掃過的區(qū)域。興趣篇．已知一個扇形的圓心角為120，半徑為，這個扇形的面積和周長各是多少？(取3.14)答案：面積4，周長8解析：扇形的面積= ==4周長=2r+=8．已知一個圓的面積是28厘米，那么這個圓的半徑和周長分別是多少（取3.14答案：半徑厘米，周長184解析：由SΠr，得r2方厘米，因此r米。Πr=18.84．已知一個圓的周長是25，那么這個圓的半徑和面積分別是多少？(取3.14)答案：半徑厘米，面積50厘米解析：由C，得r米因此SΠr2=5平方厘米。(據(jù)圖15給的數(shù)值求這個圖形的外周長和面積（取3.14(215-2個半徑為厘米的小圓，用它們圓周的一部分連成一個花瓣圖形，圖中的黑點(diǎn)是這些圓的圓心，如果圓周率取3.14么花瓣圖形的周長和面積分別是多少？答案（）周長14積15.（）周長31米，面積17.14解析（）如圖所示：在組成外周長的個部分中，有個部分是半徑為圓心角為90的圓弧，它們恰好可以拼成一個整圓周，于是這段弧長之和就等于圓周長Π×1；另外4部分是4段長為的直線段．因此圓角矩形的外周長就是Πr+X26.28+8=14.28.接下來求組成圓角矩形各個部分的面積．由于4個圓心角為9°的扇形拼成一個整圓，于是這個扇形面積之和是Π××≈3.1為寬為的長方形的面積之和是××1個邊長為的正方形的面積是×2因此圓角矩形的總面積是3.18+8+4=15.14.(圖所示：花瓣圖形在正方形之外的部分是個半徑為圓心角為20的扇形，每個扇形的弧長是相同半徑的圓周長的，那么它們的弧長之和是3個圓周長，即×Π≈××3.14=18厘每個扇形的面積也是圓面積的鬈導(dǎo)則它們的面積之和也是圓面積的倍，即×Πr2×3.142=9.4平方厘米。花瓣圖形的周長在正方形內(nèi)的部分是個半圓它們的周長之和是圓周長的倍，即×2≈××3.14=12.56這個半圓的面積之和也是圓面積的倍，即×Πr2×3.142=因此花瓣圖形的周長就是個扇形的弧長與個半圓的周長之和，即：18.84+12.是個扇形的面積與正方形面積之和，再減去挖掉的個半圓的面積，即9.42+46.28=16+平方厘米．17.14．如圖15，求各圖形中陰影部分的面積．圖中長度單位為厘米，取3.14)答案（）4方厘米（）平方厘米（）平方厘米解析：(1)用割補(bǔ)的方法， 把右邊弓形部分“切害”下來，補(bǔ)在左邊相應(yīng)的位置這樣整個陰影部分的面積正好是正方形面積的一半正方形的面積是×3方厘米，那么陰影部分的面積就是÷2=厘米．(2)用平移的方法把圖形 內(nèi)的陰影部分平移到右邊正方形內(nèi)這樣整個陰影部分正好是一個進(jìn)長為厘米的正方形．正方形的面積是×1方厘米，那么陰影部分的面積也是平方厘米．(第問類似，沿中間切開，可以把邊長為厘米的大正方形分成個邊長為厘米的小正方形并把右上方小正方形內(nèi)的陰影部分平移到左下方的小正方形中把右下小正方內(nèi)的陰部分也移到左上的小正形中．這樣一來，整個 陰影部分就是兩個邊長為厘米的小正方形了．每個小正方形的面積是×1方厘米，那么陰影部分的面積就是×1方厘米，6.圖15各圖中陰影部分的面積圖中長度單位為厘米，取314)答案：(1)2.28米(2)4.56米,(3)1平方厘米65解析(影部分被兩段圓弧所包圍，把圓弧的兩端連接起來，把陰影部分分成兩個弓形其中每個弓形都是從半徑為的直角扇形中挖掉一個直角邊長為的等腰直角三角形半徑為的直角扇形的面積是×Π××2=3平方厘米，直角邊長為的等腰直角三角形面積是是3.14-2=1.14的面積為2.方厘米。

××2方厘米，那么弓形的面積就陰影部分為兩個弓形所以陰影部分（）把圖形沿斜線切開，分成對稱的兩部分，由此不難看出，整個陰影部分是由個面積相等的弓形組成每個弓形的面積都是扇形與等腰直角三角形面積之差，其中扇形半徑為圓心角為90，等腰直角三角形直角邊長為2.半徑為圓心角為90的扇形的面積為 =3.14厘米。直角邊長為2的等腰直角三角形面積為××2=2方厘米，因此一個弓形的面積就是3.14-2=1.14 陰影部分為兩個弓形，所以陰影部分的面積為1.14=4.56 平方厘米。(圖所示在每段圓弧內(nèi)的陰影部分是由兩個弓形旋轉(zhuǎn)，填補(bǔ)到兩個空白的弓就等于等腰直角三角形之外角形面積之差．

的兩端連一條線，容易看出，三角形組成，我們可以將這兩個弓形通過形區(qū)域中．此時，陰影部分的面積的大弓形的面積，即扇形面積與三扇形半徑為厘米圓心角為9那么扇形的面積就是=3465方厘米，等腰直角三角形的邊長是厘米，那么它的面積就是××7=2平方厘米.由分陰影分的積于直扇形積等腰角角形積之于是陰影部分的面積就是38.465-2平方厘米．3.965．圖15甲區(qū)域比乙區(qū)域的面積大5平方厘米，且半圓的半徑是10厘米，其中直角三角形豎直的直角邊的長度是多少？(取3.14)答案：10米解析區(qū)域陰組成一個圓乙域陰影成一個角形由甲區(qū)域比乙區(qū)域的面積大5平方厘米可知半圓面積比三角形面積大5平方厘米．半圓面積是 =5≈157方厘米；三角形面積是15– 57=100米；豎直直角是 =1米．．求圖15陰影部分的面積．(取3.14)答案：1方厘米解析陰影部分為兩個半徑為1厘米的直角扇形減去兩個斜邊為1厘米的等腰直角三角形．這兩個直角扇形可組成一個半徑為1厘米的半圓面積是 =5≈157平方厘米；這兩個三角形可組成一個直角邊為1的等腰直角三角形，面積是 =50平方厘米．因此陰影部分的面積是1–50=厘米．．圖15，在×的方格表中，分別以，為圓心，，為半徑，畫出圓心角 都是0的兩段圓弧．圖 中陰影部分的面積是多少？ (取3.14)答案：1.075解析在圖中以為圓心的扇形加上左邊和上邊個小正方形再減去以為圓心的扇形，即得陰影部分．因此陰影部分的面積是+5-=5-1.25≈1.．75．10直線上放著一個長和寬分別厘米和厘米的長方形（圖15-讓這個長方形繞頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90做三次，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，求點(diǎn)經(jīng)過的總路程的長度（?。┐鸢福?厘米解析題意該長方形旋轉(zhuǎn)了三次，則需要知道每次旋轉(zhuǎn)走過的路程，第一次旋轉(zhuǎn)：點(diǎn)由走到，實(shí)際上走了一個以圓心角為9°的圓弧．第二次旋轉(zhuǎn)：點(diǎn)由A走到A，走了一個以為圓心．為半徑，

為圓心，A為半徑，實(shí)際上圓心角為9的圓弧容易得A1這 里∠A1CA2角．第三次旋轉(zhuǎn)點(diǎn) 由A走到實(shí)際上走了一個以為圓心，D為半徑，圓心角為90的圓弧。分別求解出三次第一次旋轉(zhuǎn)：

旋轉(zhuǎn)所走過的路程長：Sl=×Π×A≈6厘米．第二次旋轉(zhuǎn)S2=××Π×A7米．第三次旋轉(zhuǎn)S3×Π×DE4米．因此A點(diǎn)走過的路程的長為S=Sl+S2+S3.5+4.5=18拓展篇．(知一個扇形的半徑為厘米，弧長為3.14個扇形的面積是多少？(知一個半圓形的面積是56厘米求這個半圓形的周長(取3.14)答案：(1)3.14米(2)30.84解析：(形面積等于弧長乘以半徑再除以，=3.1厘米．為厘米，由 562r6半圓的周長為半圓弧加上直徑，×3.14+6342.知一個扇形的面積為18厘米，圓心角為60徑和周長各是多少？(取3.14)答案：半徑厘米，周長188解析：設(shè)扇形的半徑為厘米由 =18，8r半徑是6厘米．是 +×2=18.28如圖15各圖積圖中長度單位為厘米，

中陰影部分的面取3.14)答案（l)25厘米(2)2.28米解析（）如圖，用割補(bǔ)法把三角形的弓形填補(bǔ)到三角形內(nèi)的空白弓形中，這樣陰影部分的面積就等于由虛線所分割出的小等腰直角三角形的面積了。大等腰直角三角形的直角邊長是1厘米則它的面積是10102=方厘米，把它分成相等的兩個等腰直角三角形，每個小三角形的面積就是502=平方厘米。因此，陰影部分的面積為2平方厘米。（）陰影部分中每一塊都是兩個半圓的重疊部分，這個半圓兩兩重疊的部分正好就是本題中的陰影部分于是可以根據(jù)容斥原理來計算重疊部分的面積正方形的邊長是厘米，它的面積就是×2方厘米，每個半圓的直徑是匣米，則半徑是厘米，半圓的面積是×Ⅱ××≈×3.14=1.57，那么這個半圓的面積和就是1.57=6厘米．個半圓的重疊部分就是陰影部分，由容斥原理，陰影部分的面積就是6.28-平方厘米．8．如圖15角三角形A面積是4，分別以，為圓心，為半徑畫圓已知圖中陰影部分的面積是35.請問角是多少度（取31）答案：6°解析：直角三角形A面積是4，陰影部分的面積是35.，那么三角是45-35.5空白部分由兩個半徑為的扇形組是×Π××3=7以B為圓心的扇形面積就是9.42-7.065=2.355.由于半徑為的圓的面積是Π××3≈28以以為圓心的扇形面積的 ，則形的心也是周角的，即×3=．在三角形A，∠B=°，∠C=°，那么l∠A=0°-°=。．15-11個直徑是厘米的半圓，A是直徑，如圖15，讓點(diǎn)不動，把整個半圓逆時針轉(zhuǎn)60，此時點(diǎn)移動到點(diǎn)，請問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？(取3.14)答案：4.方厘米解析陰影部分與扇形C是從整個圖形中挖掉個半圓得到那么陰影部分的面積就等于扇形的面積．扇形C半徑是半圓的直徑，即厘米圓心角是6°，是同半徑的圓面積的，那么扇形C面積就是×Π××3=1≈4.方厘米，是4.方厘米，．圖15一塊面積為3平方厘米的圓形鋁板中，裁出了個同樣？答案：平方厘米的的為3×=平方厘米，掉是36×7=8方厘米。．圖15-14個圓的圓心是正方形的個頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心如果每個圓的半徑都是厘米那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？答案：平方厘米解析如左上陰部分挖兩個形補(bǔ)相應(yīng)的空白的上部這一左上陰部分積等于方形的面中正形對角就圓的徑由于方的積等于對角線長度平方的一半，因此左上的陰影部分面積就是}××2方厘米，那么整個陰影部分的面積就是左上部分的4倍，即×4方厘米．．圖15-15一個等腰直角三角形A一個以A為直徑的半圓和一個以B為半徑的扇形．已知AB=B那么圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？(取3.14)答案：28方厘米得 |S陰影=扇形OBE+SADB?ABC×Π×l×10+Π××5×l×10≈28.5所以陰影部分的面積應(yīng)該是28方厘米．．圖15一個圓與一個直角扇形重疊組成的，其中圓的直徑與扇形的半徑都是．圖中陰影部分的面積是多少？(取3.14)答案：4.方厘米解析圖把下右下陰部分到上兩陰影分的邊這樣合成兩大陰面積好是形積減正方的積。注意：正方形的邊長并不知道，但是我們知道它的對角線長度為4.因此陰影=扇形-方形=×Π×4一××4Π4-84.56方厘米．．1圖15知外面大圓的半徑是，求正方形以及里面小圓的面積（答案用表示）15-方形的邊長為，分別以其四個頂點(diǎn)為圓心的直角扇形恰好交于正方形中心，求圖中陰影部分的面積（答案用表示）答案：(方形面積32小圓面積Π (-2解析（）如圖，通過添加輔助線把大圓直徑，正方形對角線，小圓直徑聯(lián)，方。由于大圓的半徑是，那么大圓的直徑就是×2正方形對角線長也是，又為×÷2=32.由圓面積公式：Π×rΠ ，而小圓的直徑就是正方形的邊長，于是d2此小圓的面積就是Π×32=8正方形個頂點(diǎn)為圓心的扇形面積求和時，空白部分每個區(qū)域都被計算了一次而陰影部分每個區(qū)域都被計算了兩次根據(jù)容斥原理陰影部分面積等于個扇形的面積之和減去正方形面積，由題意，正方形的邊長是，則面積是×24于是正方形對角線長的平方就是面積的兩倍，即×2從圖中看出，康形的圓心角是90，那么個扇形的面積之和正好是一個圓的面積．而扇形的半徑是正方形對角線長度的一半那么半徑的平方就等于正方形對角線長度平方的，即×=2于是個扇形組成的圓的面積就是Πr×2.陰影部分面積等于個扇形面積之和與正方形面積之差，即Π-4115一個矩形和兩個半徑分別為和的直角扇形請問兩個陰影部分的面積之差是多少？（?。┐鸢福?.485解析較小的陰影部分與空白部分之和是長方形與小直角扇形較大的陰影部分與空白部分之和是大直角扇形把兩個陰影部分同時加上空臼部分它們的面積差不變此時問題轉(zhuǎn)化為計算小直角扇形和長方形面積之和與大直角扇形的面積相差多少．大直角扇形的半徑為，它的面積是小直角扇形的半徑為．它的面積是

≈19.625.≈3.14.長方形的長就是大直角扇形的半徑，為，寬就是兩個直角扇形的半徑差，即5-么長方形的面積是×3=15.由分析可知，兩個陰影部分的面積相差：19.625-(3.14+15)=1.485.．(據(jù)圖15-中給出的數(shù)值，求這個圖形的外周長和面積．(取3.14)(圖15七根直徑為厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們扎成一捆，此時橡皮筋的長度是多少厘米(取3.14)答案：(長18積23.14 厘米)45.7解析(圓角矩形的周長分成段，其中段是直角扇形的圓弧，另外4段直線段；而把圓角矩形的面積，分成部分，個直角扇形和個小長方形。個徑的長度是，那么圓的半徑就是．半徑為的圓的周長是Π×1而面積是Π××1=.由于個直角扇形恰好組成一個圓所以個直角扇形的弧長之和就是圓周長Π，面積也是圓面積Π．組成圓角矩形周長的條直線段中有兩條的長度是，另兩條長度是．那么這條直線段的長就是2×(4+2，圓角矩形的周長是12Π≈1828圓角矩形由個直角扇形和個小長方形組成在這個小長方形中長為寬為的有兩個，長為寬為的有兩個，長為寬為的有一個，它化的面積之和是××2×2×1=4+8．4個直角扇形的面積之和是Π，因此整個圓角矩形的面積就是2≈23.14.(右圖所示，把圓角六邊形的周長分為1個部分，由6條直線段和段圓弧組成．條直線段中，每段的長度都是厘米，它們的長度和是×6=米．段圓弧中，每段所對應(yīng)的圓心角都是6°，每段的弧長都是圓周長的，段圓弧恰好能拼成一個完整的圓周，它們的弧長之和就是圓周長，即Π×≈15.7厘米．圓角六邊形的周長就是這兩部分長度之和，即30+15.5.73.5只小狗被拴在一個邊長為4米的正五邊形的建筑物的一個頂處周都空繩剛夠小走建筑外墻的一位小狗的活動范圍是多少平方米？建筑外墻不可逾越小狗身長忽略不計，取3.）4答案：2方米解析：根據(jù)題意，繩子的長度應(yīng)該恰好是半周長1米．那么小狗就恰好能走到建筑物外墻的任一位置。因?yàn)槔K子被拴在一個固定點(diǎn)，所以小狗的活動范圍應(yīng)該是以繩長為半徑的圓形區(qū)域，但是由于墻面的限制，所以運(yùn)動范圍并不是完整的圓形，應(yīng)該如下圖所示：小狗的活動范圍是，，，，五個部分都是扇形其中和e-和一樣．五邊形的內(nèi)角和是1×(5-2540所以每個內(nèi)角為5÷5=8其中a的半徑是1米，圓心角為3-1=2°．扇形，的半徑是1-4，圓心角為1-．扇形，的半徑是6-圓心角也為7°．：Sa+Sb+Sc+Sd+Se=×Π×102×Π×6×2+×Π×2×2=6≈20小狗活動的范圍是2方米．．(15方形的邊長是厘米，圓形的半徑是厘米，當(dāng)圓形繞正方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？(取3.14)邊三角形的邊長是厘米，圓形的半徑是厘米，當(dāng)圓形繞等邊三角形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？(取3.14)答案：(1)44.56(2)30.56解析(形繞正方形無滑動地滾動一周得到的圖形可以分成個部分：個直角扇形與個長方形。與正方形相鄰的是個長方形．長是，寬是，它們的面積之和是××4=厘米．個直角扇形恰好可以拼成一個圓，半徑等于圓形的直徑，即厘米，那么圓的面積就是Π××2平方厘米，這個直角扇形面積之和也是Π平方厘米．因此圓形掃過的面積就是32+432+12.54.56米．(形繞等邊三角形無滑動地滾動一周得到的圖形可以分成個部分3個圓心角為1的扇形和個長方形。長方形的長等于等邊三角形的邊長，即厘米，長方形的寬等于圓形的直徑，即厘米．則長方形的面積是×2方厘米．個心角為1的扇形恰好拼成一個圓半徑是2厘米，圓的面積就是Π××2平方厘米。因此圓形掃過的部分面積為個扇形與個長方形面積之和，即×6≈18×3.14=平方厘米。超越篇．圖15長為的正方形中依次挖去了四個半圓．陰影部分的面積是多少？（答案用表示）答案：16-4解析大正方形被分成個等腰直角三角形每個三角形中空白部分都是一個半圓，其余都是陰影部分。來。如上圖所示等腰直角三角形直角邊長為，它的面積是×÷2它內(nèi)部的半圓的半徑是直即÷2那么半圓的面積就是Π××÷2因此半圓面積與三角形面積之比為Π：4.對于大小不同但形狀相同的等腰直角三角形它內(nèi)部的半圓面積與三角形面積之比也是Π。題目中的圖形就是由個這樣的三角形組合而成，那么在題目的圖形中，個半圓的面積之和也是個三角形面積之和的。個三形正好拼成一個邊長為的正方形那么它們的面積之和就是正方形的面積，即×4=1圓的面積之和就是16=4。因此陰影部分的面積是16-4．如圖15角三角形的三條邊長分別為，，10它的內(nèi)部放了一個半圓．圖中陰影部分的面積是多少？（答案用表示）答案：24-4.5解析在大三角形A兩條直角邊長為和那么它的面積就是×8÷2=24三角形A成AOA部分，在三角形A，以A為底，對應(yīng)的高是半圓的半徑，那么它的面積是×高÷；在三角形A，以A為是1×高÷。由于?ABAOC24個三角形的底邊和是（6+0是2×÷（6+）=，那么半圓的面積就是×Π××3=陰影部分正是從三角形A挖掉半圓的余下部分，因此陰影部分的面積就是24-4.5．315-27一個半徑為1厘米、中心角為1的扇形，，E是弧B的三等分點(diǎn)，那么陰影部分的面積為多少平方厘米？(取3.14)答案：78方厘米解析：連結(jié)A，A，AB=AD=∠BACDAE°，這兩個角互補(bǔ)，將三角形AE點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)9°得到三角形A則B,A,F一條直線上，?AB?ACF=SA兩個空白部分的面積之和等于扇形D面積。陰影部分的面積為扇形B去空白部分的面積，即扇形B去D面積：S陰影=扇形ABC-SADE=×Π×1×10-×Π×1×10=5≈78.5陰影部分的面積是78方厘米．如圖15，有個大小相同的圓疊放在一起，如果每個圓的面積都是1，那么陰影部分的面積是多少？答案：20形這個圖形可以割補(bǔ)成一個頂角6。的扇形，因此六個這樣的圖形面積和正好等于一個圓．陰影部分的面積等于兩個圓的面積，為20.圖15影部分為一個空心零件的設(shè)計圖該零件由三個半圓套成，其中最大半圓的直徑為1厘米．該零件的面積為多少平方厘米？(取3.14)答案：42厘米解析：如圖，，作出直線G其中是大半圓的圓心，是中半圓的圓心，是小半圓的圓心．是，，．先找和的關(guān)系，如圖，連結(jié)CI這樣△C兩條直角邊長度為，斜邊長度為以，那么2b2=a2再找和的關(guān)系，如圖，連結(jié)G，這樣△G兩條直角邊長度