量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換

量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換前已述及，一個量子態(tài)可以采用以坐標為變量的波函數(shù)ψ(r,t)來描述，也可用以動量為變量的波函數(shù)

來描述。前者稱為坐標表象，后者稱為動量表象。量子力學中態(tài)和力學量的具體表示方式叫做表象。可見，一個量子態(tài)可以采用不同的表象來描述。作為對態(tài)進行運算的算符，當然隨之有不同的表象問題。本章討論態(tài)和力學量的表象及表象變換問題，并介紹常用的狄拉克(Dirce)符號。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換§量子態(tài)的不同表象幺正變換下面我們用與平面解析幾何中的坐標及坐標變換類比的方法引進量子力學中的表象及表象變換這一概念。1坐標及坐標變換平面直角坐標系x1x2的基矢e1和e2長度為1，彼此正交，即這一組基矢是完備的，平面上任一個矢量A均可用它們展開，即量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換

A1,A2代表矢量A與兩個基矢的標積。即A在兩個坐標軸上的分量(投影)。當A1,A2確定后，就確定了平面上的矢量A，因此可以認為(A1,A2)就是矢量A在坐標系x1x2中的表示。在另一直角坐標系假設它是原來x1x2坐標系順時針轉θ角所得，在此坐標系中矢量A表示成

量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換下面進一步討論矢量A在不同坐標系中表示之間的關系據上有在上式中分別點乘其矩陣形式為量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換或記為變換矩陣在x1x2中的表示量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換它具有如下性質這種矩陣稱為幺正矩陣?？梢?，一個矢量在兩個坐標系中的表示是通過一個幺正變換相聯(lián)系的。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換2量子態(tài)的表象希爾伯特空間與平面幾何類似。在量子力學中，任何一個量子態(tài)ψ，可看成是一個抽象的態(tài)矢量，所有態(tài)矢量構成的空間稱為希爾伯特(Hilbert)空間，即量子態(tài)ψ可看成是希爾伯特空間中的一個“矢量”。體系的任何一個力學量完全集的共同本征態(tài)un(n代表一組完備的量子數(shù)，并先考慮分立譜情況)可以用來構成此態(tài)空間的一組正交歸一完備基矢，稱為Q表象。基矢滿足正交歸一性量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換按態(tài)疊加原理，體系的任何一個態(tài)ψ可以用它們展開這組數(shù)(a1,a2,…an,…)就是態(tài)ψ在Q表象中的表示?？捎昧芯仃嚤硎尽ＴOψ是歸一化的，那么就有量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換由此可見，|an|2是ψ所描述的態(tài)中測量力學量Q所得結果為Qn的幾率。對于除分立譜外還有連續(xù)譜(設本征值為q,本征函數(shù)uq連續(xù)變化)時有歸一化式為這里有兩點與平面解析幾何不同：1）這里的“矢量”(態(tài)矢量)一般是復數(shù)；量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換2）空間維數(shù)可以是無窮，有時甚至是不可數(shù)的(對應于連續(xù)譜情況)。不同的基矢對應不同的表象。量子態(tài)ψ同樣可用體系的另一組力學量完備集的共同本征函數(shù)作為基矢進行展開，即可采用不同的表象。在Q'表象(以Q'為力學量完全集的共同本征函數(shù)um'作為基矢)中，量子態(tài)ψ可展開為這組數(shù)(a1',a2',…am',…)就是態(tài)ψ在Q'表象中的表示。一般用列矩陣表示。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換3態(tài)在不同表象中表示間的關系幺正變換態(tài)ψ既可在Q表象中表示，也可在Q'表象中表示，下面討論這兩種表示(a1',a2',…am',…)與(a1,a2,…an,…)間的關系。據上顯然有上式兩邊用um'左標積得上面式中m=1,2,…，所以上方程是一組方程，這組方程可用矩陣形式表示為量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換標記為a'=Sa這就是同一個量子態(tài)ψ在Q表象中的表示與在Q'表象中的表示間的關系。它通過一個幺正矩陣S相聯(lián)系量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換與之相應的變換叫做幺正變換。所以由一個表象到另一個表象的變換是幺正變換。幺正性的證明：量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換§力學量(算符)的矩陣表示1力學量(算符)的矩陣表示設量子態(tài)ψ經過算符運算后變成另一個態(tài)Ф，即在以上節(jié)所提力學量完全集Q的本征態(tài)un為基矢的表象中(即Q表象)，上式表為兩邊左標積um得量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換其矩陣形式為可標記為在Q表象中的矩陣表示它完全描述了基矢un在作用下的變化，因此(Fmn)矩陣一但確定，則所有的基矢，因而任何矢量(表示成各基矢的線性疊加)，在作用下的變化也就完全量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換2力學量的表象變換在Q'表象中(基矢為uα')，F(xiàn)表成(F'αβ)，下面我們推導Q'表象與Q表象中表示力學量的關系，由于確定。所以上矩陣就是在Q表象中的矩陣形式。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換所以有分別是力學量F在Q表象和Q'表象中的矩陣表示，而S=

(Sαn)則是從Q→Q'表象的幺正變換矩陣。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換可證幺正變換有如下兩個重要性質1）幺正變換不改變算符的本征值設在A表象中的本征值方程為Fa=λa。λ為本征值，a為本征矢。通過幺正變換將F和a從A表象變換到B表象，則有在B表象中有量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換如果F'是對角矩陣，即B表象是自身的表象，那么F'的對角元素就是的本征值。于是求算符本征值的問題歸結為尋找一個幺正變換把算符從原來的表象變換到自身的表象，使的矩陣表示對角化。解定態(tài)薛定諤方程求定態(tài)能級的問題也就是把坐標表象中的哈密頓算符對角化，即由x表象變換到能量表象。這個本征值方程說明算符在B表象中的本征值仍為λ?？梢?，幺正變換不改變算符的本征值。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換2）幺正變換不改變矩陣F的跡矩陣對角元素之和稱為矩陣的跡。設經過幺正變換后，矩陣F變?yōu)镕'，則即F'的跡等于F的跡，也就是說矩陣的跡不因幺正變換而改變?？偨Y和比較量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換Q表象Q'表象量子態(tài)ψ力學量F幺正變換量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換例子求一維諧振子的坐標在能量表象中的矩陣表示。解：在坐標表象中，力學量完全集H的本征函數(shù)為按定義通過積分可解得在能量表象中的力學量矩陣元量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換還可利用厄米多項式的遞推關系量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換那么在諧振子能量表象中x和p的矩陣表示量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換任何力學量在其自身表象都是對角化的。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換§7.3量子力學的矩陣形式在前兩節(jié)中我們已經看出，在任一力學量完備集Q的本征態(tài)（假設是分立）un為基矢的表象中，力學量F和任意量子態(tài)ψ均可表成矩陣形式(Fmn)

a(列矩陣)這樣，量子力學的理論表述均可表示成矩陣形式如1）Schr?dinger方程量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換2）平均值量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換3）本征值方程算符的本征值方程為在Q表象中，用得特例：，也就是在Q表象下求力學量Q的平均值，這時Lmn=Lmδmn是對角矩陣，則在態(tài)ψ下量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換上式兩邊左標積un得這就是的本征值方程在Q表象中的表示(矩陣形式)，它是am(m=1,2,)滿足的線性齊次方程組，有非0解的條件為量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換如果所討論的相空間是N維，則上式就是F'的N次冪代數(shù)方程。對于可測物理量，是厄米算符，相應的矩陣為厄米矩陣(F*mn=Fnm)，對此可以證明，上方程必有N個實根，記為Fn'，分別代入am的方程組，就可求出相應的解量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換它就是與本征值Fn'相應的本征態(tài)在Q表象中的表示。若F'有重根，則出現(xiàn)簡并，此時簡并態(tài)不能唯一確定。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換§7.4狄拉克(Dirce)符號前面我們已提到，量子力學可用Dirac符號表示，而且Dirac符號具有如下兩大優(yōu)點：1）運算簡捷，特別是對于表象變換；2）可以不需考慮具體表象。下面就來簡單介紹Dirac符號1左矢(bra)和右矢(ket)量子體系的一切狀態(tài)構成一希爾伯特空間，空間中的一個矢量(一般為復量)用以標記一個量子態(tài)，可用一個右矢︱＞表示，右矢也叫刃矢。若要標記某個特殊的態(tài)，則在右矢內標上某種記號。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換如|ψ＞表示用波函數(shù)ψ描述的態(tài)分別表示坐標和動量本征態(tài)表示能量本征態(tài)(用本征值或量子數(shù)來標記)在此大家應清楚，態(tài)的這種表示，都只是一種抽象的態(tài)矢量，并未涉及任何具體表象。表示角動量的共同本征態(tài)量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換與右矢︱＞相應，可用<︱表示共軛空間中的一個抽象態(tài)矢，稱為左矢，也稱為刁矢。如|<ψ︱是|ψ＞的共軛態(tài)矢。注意：左矢與右矢是兩種性質不同的態(tài)矢，不能相加。它們在同一表象中的相應分量互為共軛復數(shù)。2標積量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換設力學量完全集Q的本征態(tài)(設為分立)記為，其正交歸一性表為連續(xù)譜的“正交歸一性”則表示成δ函數(shù)形式，如動量本征態(tài)坐標本征態(tài)3態(tài)矢量在具體表象中的表示投影算符在Q表象中(基矢記為︱n>)，任意態(tài)ψ可表為量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換給定后，態(tài)矢|ψ＞就完全確定。所以這組數(shù)就是態(tài)|ψ＞在Q表象中的表示.另外我們從中可以引入投影算符和恒等算符，從而可使在具體表象中的求解，特別是在表象變換時更為方便。常用列矢量形式表示為上的投影，當所有an都量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換它對任意態(tài)|ψ＞運算后，就得到態(tài)|ψ＞在基矢|n＞方向上的投影(分量)投影算符也可說Pn的作用是把任何態(tài)矢在|n＞方向上的分量挑選出來。再者由于|ψ＞是任意的，因此有量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換稱為恒等算符。這正是一組基矢|n＞的完備性的表現(xiàn)。在連續(xù)譜情況下求和變?yōu)榉e分，如有了恒等算符，求在具體表象中的形式就變得很方便。如在Q表象中求的具體形式。量子力學中涉及的矩陣形式與表象變換在坐標表象中表成