2023學(xué)年完整公開課版奇偶性

奇偶性1.偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)

一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).2.奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)

一個x,都有

,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).3.奇偶性：那么，就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.4.奇函數(shù)的圖象關(guān)于

對稱,反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是

；偶函數(shù)的圖象關(guān)于

對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是

.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)原點任意任意奇函數(shù)y軸偶函數(shù)5.若奇函數(shù)f(x)在［a,b］上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在［-b,-a］上是

函數(shù)，且有

.6.若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)=

.7.若y=f(x)是偶函數(shù)，則f(x)與f(|x|)的大小關(guān)系是

.8.若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則其定義域關(guān)于

對稱.增最小值-M0f(x)=f(|x|)原點學(xué)點一奇偶性的判定判斷下列函數(shù)的奇偶性:（1）f(x)=(x-1)·;（2）f(x)=.【分析】先觀察定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.若f(x)本身能化簡，應(yīng)先化簡，再進行判斷，可避免失誤.【解析】（1）先確定函數(shù)的定義域，由≥0得-1≤x<1，其定義域不關(guān)于原點對稱，∴f(x)=(x-1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).（2）函數(shù)f(x)的定義域為［-1,0)∪(0,1］,關(guān)于原點對稱，∵f(x)==∴f(-x)===-f(x)即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).【評析】（1）判斷函數(shù)奇偶性分兩步：一是定義域是否關(guān)于原點對稱；二是判斷f(-x)=f(x)還是f(-x)=-f(x).（2）如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱，那么這個函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（3）定義域關(guān)于原點對稱，滿足f(-x)=-f(x)=f(x)的函數(shù)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，如f(x)=0,x∈R.判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)=x+;（2）f(x)=x2+;（3）f(x)=x+;（4）f(x)=.(1)定義域為{x|x≠0}.∵f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).(2)定義域為{x|x≠0}.f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x).∴函數(shù)f(x)=x2+為偶函數(shù).（3）函數(shù)的定義域為{x|x>0}，關(guān)于原點不對稱，∴函數(shù)f(x)=為非奇非偶函數(shù).（4）由1-x2≥0x2-1≥0∴x=±1.∴函數(shù)的定義域為{-1,1},

于是f(x)=0,x∈{-1,1}.滿足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).學(xué)點二奇偶性的證明函數(shù)f(x),x∈R,若對于任意實數(shù)a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，求證：f(x)為奇函數(shù).【分析】因為對于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可以令a,b為某些特殊值，得出f(-x)=-f(x).【證明】令a=0，b=0,則f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x，

f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).【評析】證明函數(shù)的奇偶性，即證明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.這需要對給定函數(shù)方程中的a,b賦值，使其變成含f(x),f(-x)的式子，然后判定.證明:由于對任意的x∈，必有-x∈.可見f(-x)的定義域也是.若設(shè)F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).則F(x)與G(x)的定義域也是，顯然是關(guān)于原點對稱的區(qū)間,而且F(-x)=f(-x)+f［-(-x)］=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f［-(-x)］=f(-x)-f(x)=-［f(x)-f(-x)］=-G(x).所以F（x）為偶函數(shù)，而G（x）為奇函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)定義在上.證明：f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，f(x)-f(-x)是奇函數(shù).學(xué)點三

由奇偶性求函數(shù)解析式設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2+x+1,求函數(shù)解析式.【分析】由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，找x≥0和x<0時解析式間的聯(lián)系.【解析】當(dāng)x<0時，-x>0，由已知得f(-x)=x2-x+1,∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1,又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.

x2+x+1，x>0∴

0，x=0

-x2+x-1，x<0【評析】（1）求f(x)在什么范圍上的解析式，則取x為這一范圍上的任一值，再轉(zhuǎn)化為條件.（2）在求函數(shù)的解析式時，應(yīng)緊扣題目中的已知條件，當(dāng)求自變量在不同區(qū)間上的不同表達式時，要用分段函數(shù)的形式表示出來.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)=x|x-2|，求當(dāng)x<0時，f(x)的表達式.解析:設(shè)x<0，則-x>0，∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.故當(dāng)x<0時，f(x)的表達式為f(x)=x|x+2|.學(xué)點四奇偶性在求變量范圍中的應(yīng)用設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞,0)上遞增，且有f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3)，求a的取值范圍.【分析】要求a的取值范圍，就要列關(guān)于a的不等式（組），因而利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)不等式”是關(guān)鍵.【解析】由f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞,0)上遞增知f(x)在(0,+∞)上遞減.∵2a2+a+1=2a2-2a+3=且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),∴2a2+a+1>2a2-2a+3,即3a-2>0,解之得

∴a的取值范圍是【注】奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.解析:因為函數(shù)g(x)在［-2,2］上是偶函數(shù)，則由g(1-m)<g(m)，可得g(|1-m|)<g(|m|),又當(dāng)x≥0時，g(x)為減函數(shù)，得到-2≤1-m≤2-2≤m≤2|1-m|>|m|

解之得-1≤m<

定義在［-2,2］上的偶函數(shù)g(x)，當(dāng)x≥0時，g(x)為減函數(shù)，若g(1-m)<g(m)成立，求m的取值范圍.學(xué)點五奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)，且f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，且f(x)<0，試判斷函數(shù)F(x)=在(-∞,0)上的單調(diào)性，并給出證明.【分析】F（x）的單調(diào)性的判定與f(x1),f(x2)的大小有關(guān)，而f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，可由此建立關(guān)系.【解析】F(x)在(-∞,0)上是增函數(shù)，以下進行證明：設(shè)x1,x2∈(-∞,0)，x1<x2,則x2-x1>0，且-x1,-x2∈(0,+∞),且-x1>-x2,∴(-x2)-(-x1)=x1-x2<0,∵f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),∴f(-x2)-f(-x1)>0①又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函數(shù)，∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),由①式得-f(x2)+f(x1)>0,F(x2)-F(x1)=又∵f(x)在(0,+∞)上總小于0，∴f(x1)=-f(-x1)>0,f(x2)=-f(-x2)>0,f(x1)·f(x2)>0,又∵f(x1)-f(x2)>0,∴F(x2)-F(x1)>0，且x2-x1>0,故F(x)=在(-∞,0)上是增函數(shù).【評析】解決綜合性問題，關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義，f（）=-1，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時，f(x)<0，且對任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f（），試證明：（1）f(x)為奇函數(shù)；（2）f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.證明:（1）由f(x)+f(y)=f（）,令x=y=0，得f(0)=0.令y=-x，得f(x)+f(-x)=f（）=f(0)=0,∴f(x)=-f(-x)，∴f(x)為奇函數(shù).（2）先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，令0<x1<x2<1，即x2-x1>0,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f（）,∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴0<x2-x1<1-x1x2,∴0<<1,由題意知<0，即f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù).又∵f(x)為奇函數(shù)，且f(0)=0,∴f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.1.如果已知函數(shù)具有奇偶性，只要畫出它在y軸一側(cè)的圖象，則另一側(cè)的圖象可對稱畫出.