圓錐曲線存在性問題

1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點,線,圖形并用代數(shù)形式進行表示.再結(jié)合題目條件進行分析,若能求出相應的要素,則假設成立；否則2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替(2)直線：斜截式或點斜式（通常以斜率為未知量)（3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標準方程3、解決存在性問題的一些技巧:（1）特殊值(點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。（2）核心變量的選取:因為解決存在性問題的核心在于求出未知要素,所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量,必要的時候消去。（3）核心變量的求法:②間接法:若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中,列出關于該變量與輔助變量)的離心率為-2于A,B兩點,當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為.2(2)C上是否存在點P,使得當l繞F旋轉(zhuǎn)到某一位置時,有OP=OA+OB成立?若存在,=22(c,0)22:d-:橢圓方程為:x2橢圓方程為:2:ly02222-622(6k24k)22:P|22:2.2+32:72k422)2)2)2:24k22(2,0)不在橢圓上3:3x2例2:過橢圓Γ:+a2y2焦點，已知AFB的周長為8，橢圓的離心率為1332（1）求橢圓Γ的方程（2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個交點P,Q，且c1:ax24橢圓Γ:x24橢圓Γ:（2）假設滿足條件的圓為x2+y2=r2，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應含在橢圓內(nèi):0<r<1:O-l:O-lk2+12)x22-4lx222-4:x+x=-,xx=124k2+1124k2+12:224k24=4k2將m2：r2=：r2=-5)4552524=5F(c,0)和F(c,0)（1）求橢圓C的方程（2）設橢圓C與x軸負半軸交點為A,過點M(一4,0)作斜率為k(k產(chǎn)0)的直線l，交橢圓C于B,D兩點（B在M,D之間)，N為BD中點，并設直線ON的斜率為k11②是否存在實數(shù)k，使得FN1c-a」AD？如果存在，求直線l的方程；如果不存在，請說明1=2=2:x2──+y2(2,:橢圓方程為:x2)，聯(lián)立方程:221-42x-32k24k2xx=124k2+3:x02=12=-004k2+3:k=0=-0:②假設存在實數(shù)k,使得FN」AD，則k1AD:22222=2ADx4k2x24k2x22-2常x因為D在橢圓上,所以xe[-2,2]，矛盾2所以不存在符合條件的直線l02222（2)過點F的直線l與橢圓相交于A,B兩點,過點P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點Q，問是否存在直線l，使得四邊形PABQ的對角線互相平分？若存在，求出l的方程;若不存在,說明理由解:（1）l與圓相切0::O-l5(3)x2y2x2y2:(2)由橢圓方程可得:F(1,0)2聯(lián)立直線l與橢圓方程：:Δ14k22)(2:2x-x聯(lián)立直線PQ與橢圓方程:2.ΔΔ12222(2-)Δ:)23-4（1）求橢圓C的離心率e的取值范圍1(2)設雙曲線C以橢圓C的焦點為頂點,頂點為焦點，B是雙曲線C在第一象限上任意一點，當e取得最小值時,試問是否存在常數(shù)λ(λ>0)，使得經(jīng)BAF=λ經(jīng)BFA恒成立?若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由解1)設P(x,y),F(-c,0),F(c,0)x2y2由-+=1可得:y2=b2-x2代入可得:a2(b2)2-c22-c2=x22-c2xe[-a,a]22222常222-12x2雙曲線方程為 y2-42所以2,下面證明2對任意B點均使得BAFBFA成立考慮tanBAF1 yyx0cx2y22y202022結(jié)論得證例6：如圖，橢圓E:x2y21ab-圓相交于A,B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為22(1)求橢圓E的方程2y-00常0(2）在平面直角坐標系xOy2y-00常0恒成立?若存在,求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由ca222x2y2:2b2由直線l被橢圓E截得的線段長為22及橢圓的對稱性可得:2x244:a2=4y22(2)當l與x::Q在AB的中垂線上，即Q位于y軸上，設Q(0,y)0當l與x軸垂直時，則A(0,2B(0,-2)::0::000:y=20:Q(0,2)下面判斷Q(0,2)能否對任意直線均成立22y-2y-2①Q(mào)AQBxxxx22222直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點F（2）動直線l與橢圓C有且只有一個公共點，問：在x軸上是否存在兩個定點,它們到直線l的距離之積等于1?若存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在,請說明理由AP為直徑的圓經(jīng)過F::—.+.222x2:橢圓方程為22所以依題意:M1lk2M1l22=12k2MlMMlMl①:22lx2222)2::2例8:已知橢圓C:x2+4y2=1的左右焦點分別為F,F，點P是C上任意一點，O是坐(1）求點Q的軌跡C的方程2,其中M,N是C上的點，且直線OM,ON2的斜率之積等于__-4坐標；若不存在，請說明理由(3)(3)|,_y0,_y0::2:x242=+=+2 :1,離心率為,離心率為=21=一2)2)+4xx+16yyM,N是C上的點22221222x2y2x2+y2所以存在定點A,B25,拋物線G:y2=2px(p>0)的焦點與橢圓E的焦點重合，斜率為k的直線l過G的5焦點與E交于A,B,與G交于C,D（1)求橢圓E及拋物線G的方程(2)是否存在常數(shù)λ,使得1+λ為常數(shù)？若存在求出λ的值；若不存在，請說明Flx252:y2=8x20k2-52220k220k2-52:)2:x+x1:+14k24k2CD:CD:k2λ22λ22λ:λ=-1655x2y2—3直線l與x軸交于點E，與橢圓C交于A,B兩點，當直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的3（1）求橢圓C的方程(2)是否存在點E,使得+為定值?若存在，EA2EB2請求出點E的坐標,并求出該定值；若不存在，請說明理由c-a663當l與x軸垂直且E為右焦點時,AB為通徑00:AB=2a3x2:+y2y2(2)思路：本題若直接用用字母表示A,E,B坐標并表示EA,EB，則所求式子較為復雜,不易于計算定值與E的坐標。因為E要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出E點及定值，再取判定(或證明）該點在其它直線中能否使得──+為定值.解:(2)假設存在點E,設E(x,0)直線AB與x軸重合，則A-6,0,直線AB與x軸重合，則A-6,0,B6,0::若直線AB與x軸垂直，則A,B關于x軸對稱y2xy2 0+63x2:3x2:+=EA2EB22x2x2366-x200:)()06-x2:22222-：+：+2y2EA2EB22() )2() )1+=1EB122)1+2212為定值,定值為212為定值2+若E(12為定值2+2為定值2,使得為定值2,使得+I22三、歷年好題精選(3)1l:x=4上一點M引橢圓E的兩條切線,切點分別是（1）求橢圓E的方程2(3）是否存在實數(shù)λ,使得AC+BC=λAC.BC恒成立?(點C為直線AB恒過的定點)，若存在,求出λ的值;若不存在，請說明理由(1）求橢圓C的方程(2）設A,B分別是橢圓C的左右頂點，P,Q是橢圓C上異于A,B的兩個動點，直線1λ(λeR)，使得S=λS恒成立？若存在，求出λ的值,若不存在，請說明理由F(c,0)和F(c,0)(1）求橢圓C的方程(2)設橢圓C與x軸負半軸交點為A，過點M(一4,0)作斜率為k(k子0)的直線l,交橢圓C于B,D兩點（B在M,D之間）,N為BD中點,并設直線ON的斜率為k11②是否存在實數(shù)k，使得FN」AD？如果存在,求直線l的方程；如果不存在,請說明理由1=36，定點N(5,0)，點P為圓M上的動點，點Q在（1)求點G的軌跡C的方程）？l的方程;若不存在,試說明理由y22:y+y2:y+y（1）求雙曲線E的離心率(2)如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l,l于A,B兩點（A,B分別在第一、四象限），且OAB的面積恒為8，試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在請說明理由習題答案:(3)2x2y2:（2）設切點坐標為A(x,y),B(x,y)，直線上一點M(4,t)，依題意可得:(xxyy(yt:3因為兩點唯一確定一條直線:3聯(lián)立方程:聯(lián)立方程:++(y-y)323++(y-y)3232(6t)22+22+21(21(t2：+12x-yx-y222（y1y2（y1y2)2--27232、解析：(1)拋物線y2=4x的焦點為(1,0)：c=1222-b2x2y2─+x2y2─+(2)由(1)可得:A(-2,0),B(2,0)，若直線PQ斜率存在2B到直線PQ的距離d22S：1=S21112d=1=d2聯(lián)立方程:〈22-2-12=4k2--APAQx2-12k2y0012222,代入到（*)可得:y001222224k2)，交點與A重合，不符題意SS21=1=_____2 2c-a32,x2(2)①證明：設B(x,y),D(x,y),線段BD的中點N(x,y)