基本不等式“百校聯(lián)賽”一等獎

基本不等式

這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)．會標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。思考：這會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1一、探究ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S>S′即問：那么它們有相等的情況嗎？>(a≠b)ADBCEFGHba猜想：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R重要不等式問題一替換后得到：即：即：

①

②

③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號成立.分析法問題二證明不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式

文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0知新益能(2)成立的前提條件：a__0，b__0.(3)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)等號成立．(4)結(jié)論：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)________它們的幾何平均數(shù)．>>a＝b不小于問題探究為什么基本不等式中，a，b均為正數(shù)？我們可以通過弦圖給以幾何解釋，那么也能有它合理的幾何解釋嗎？探究：圓的半弦不大于它的半徑。直角三角形斜邊上的高線不大于它的中線。ABCDEo.a2+b2≥2ab適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識基本不等式基礎(chǔ)自測×√√×Ca＝1

基本不等式與最值已知x，y都為正數(shù)，則(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值______.(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值_______.=(x

+1)+

-11x+1

f(x)=x

+

1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號.∴當(dāng)

x=0

時(shí),函數(shù)

f(x)

的最小值是

1.x+1=

,即

x=0

時(shí),1x+1解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴例1.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1例2.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值.12配湊系數(shù)分析:

x+(1-2x)

不是

常數(shù).2=1為

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“=”號.2x=(1-2x),即

x=

14∴當(dāng)

x=時(shí),

函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值是.1418例2.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值.12例3：面積為36的矩形中，哪個矩形周長最小？周長為36的矩形中，哪個矩形面積最大？總結(jié)利用基本不等式（均值不等式）求最值的方法：已知x,y是正數(shù)，（1）若積是定值，和有最小值（2）若和是定值，積有最大值

一正二定三相等積定和最小和定積最大

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并說明此時(shí)x,y的值．3已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．練習(xí)題：當(dāng)x=6,y=4時(shí),最小值為482.已知x<0，求函數(shù)的最大值.小結(jié)：求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號).142.利用基本不等式求最值1.兩個重要的不等式

課堂互動講練考點(diǎn)突破利用基本不等式比較大小考點(diǎn)一(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積)，同時(shí)要注意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性)．(2)利用基本不等式時(shí)，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.例1【思路點(diǎn)撥】由已知a，b均為正數(shù)，且四個式子均為基本不等式中的式子或其變形，可用基本不等式來解決．【名師點(diǎn)評】運(yùn)用基本不等式比較大小應(yīng)注意等號成立的條件．特殊值法是解決不等式問題的一個有效方法，但要使特殊值具有一般性．利用基本不等式證明不等式考點(diǎn)二利用基本不等式證明不等式時(shí)，要充分利用基本不等式及其變形，同時(shí)注意利用基本不等式成立的條件．對要證明的不等式作適當(dāng)變形，變出基本不等式的形式，然后利用基本不等式進(jìn)行證明．例2【思路點(diǎn)撥】解答本題可先把左邊拆開，再重新組合以后連續(xù)使用基本不等式證明即可．自我挑戰(zhàn)1求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．證明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．具有限制條件的不等式證明問題考點(diǎn)三含有限