平面與平面平行課件

8.5.3

平面與平面平行課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.探究并理解平面與平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.3.能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表達(dá)平面與平面平行的判定定理及性質(zhì)定理,并能運(yùn)用這些定理進(jìn)行邏輯推理.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、平面與平面平行的判定定理【問(wèn)題思考】1.(1)三角板的一條邊所在直線與平面α平行,這個(gè)三角板所在平面與平面α平行嗎?(2)三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個(gè)三角板所在平面與平面α平行嗎?提示:(1)不一定平行.(2)平行.2.平面與平面平行的判定定理

3.做一做:若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是(

)A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.以上判斷都不對(duì)答案:C二、平面與平面平行的性質(zhì)定理【問(wèn)題思考】1.教室天花板所在平面與地面所在平面平行,黑板所在平面與兩平面分別相交,它們的交線是什么位置關(guān)系?提示:平行.2.平面與平面平行的性質(zhì)定理

3.做一做:過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A1,C1,B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l,則l與A1C1的位置關(guān)系是

.

解析:因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以l∥A1C1.答案:平行三、直線與平面、平面與平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化【問(wèn)題思考】1.證明兩個(gè)平面平行,一般先從什么證起?提示:要證明兩個(gè)平面平行,先證明線線平行,再證明線面平行,最后證明面面平行.2.由直線與直線平行可以判定直線與平面平行;由直線與平面平行的性質(zhì)可以得到直線與直線平行;由直線與平面平行可以判定平面與平面平行;由平面與平面平行的定義及性質(zhì)可以得到直線與平面平行、直線與直線平行.這種直線、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是立體幾何中的重要思想方法.3.做一做:如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分別是BC,C1D1,AD1,BD的中點(diǎn).

(1)求證:PQ∥平面DCC1D1;(2)求PQ的長(zhǎng);(3)求證:EF∥平面BB1D1D.(1)證明:如圖所示,連接AC,CD1,由題意知AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,且Q為AC的中點(diǎn).∵P,Q分別是AD1,AC的中點(diǎn),∴PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1,CD1?平面DCC1D1,∴PQ∥平面DCC1D1.(3)證明:取B1C1的中點(diǎn)E1,連接EE1,FE1,則FE1∥B1D1,EE1∥BB1.∵FE1?平面BB1D1D,B1D1?平面BB1D1D,∴FE1∥平面BB1D1D.同理可證EE1∥平面BB1D1D.∵FE1,EE1是平面EE1F內(nèi)兩條相交直線,∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF?平面EE1F,∴EF∥平面BB1D1D.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.(

×

)(2)若兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面平行,則這三個(gè)平面平行.(

√

)(3)若兩個(gè)平面α,β平行,則α內(nèi)的直線與平面β內(nèi)所有直線要么異面,要么平行.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

平面與平面平行的判定定理【例1】

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為平行四邊形,點(diǎn)M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.證明:∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.∵BP?平面PBC,NQ?平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵底面ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC.∵BC?平面PBC,MQ?平面PBC,∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ=Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.1.利用平面與平面平行的判定定理證明兩個(gè)平面平行的步驟2.面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行.【變式訓(xùn)練1】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點(diǎn),E,F,G分別是BC,DC,SC的中點(diǎn).求證:(1)直線EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明:(1)如圖,連接SB,∵E,G分別是BC,SC的中點(diǎn),∴EG∥SB.又SB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1,∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD,∵F,G分別是DC,SC的中點(diǎn),∴FG∥SD.又SD?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1,且EG?平面EFG,FG?平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.探究二

平面與平面平行的判定定理的運(yùn)用【例2】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問(wèn):當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?并說(shuō)明理由.解:當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.理由如下:如圖,連接PQ.∵Q為CC1的中點(diǎn),P為DD1的中點(diǎn),∴PQDC.又DCAB,∴PQAB.∴四邊形ABQP為平行四邊形,∴QB∥PA.又PA?平面PAO,QB?平面PAO,∴BQ∥平面PAO.連接BD,則BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且O為BD的中點(diǎn),又P為D1D的中點(diǎn),∴PO∥D1B.又PO?平面PAO,D1B?平面PAO,∴D1B∥平面PAO.又D1B∩BQ=B,D1B,BQ?平面D1BQ,∴平面D1BQ∥平面PAO.若將本例改為“在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則當(dāng)點(diǎn)M滿足

時(shí),有MN∥平面B1BDD1.”請(qǐng)?zhí)羁?

解析:取B1C1的中點(diǎn)P,連接PF,PN(圖略),易證平面FHNP∥平面B1BDD1,故只要M∈FH,即可保證MN∥平面B1BDD1.答案:M∈FH平面與平面平行的判定定理的綜合運(yùn)用,注意運(yùn)用“線在面中,面中有線”;有中點(diǎn)條件時(shí),常構(gòu)造平行四邊形、三角形中位線等找平行;或先猜想、嘗試線面平行,線線平行,再來(lái)論證結(jié)論正確.探究三

平面與平面平行的性質(zhì)定理【例3】

正方體ABCD-A1B1C1D1如圖所示.

(1)求證:平面AB1D1∥平面C1BD;(2)試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E,F,并證明:A1E=EF=FC.(1)證明:因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中,ADB1C1,所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1∥C1D.又因?yàn)镃1D?平面C1BD,AB1?平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.因?yàn)锳B1∩B1D1=B1,AB1?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)解:如圖,連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O1,連接AO1,則AO1是平面AB1D1與平面ACC1A1的交線.所以A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)E在AO1上,故A1C與AO1相交于點(diǎn)E.同理,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接C1O與A1C交于點(diǎn)F,則F就是A1C與平面C1BD的交點(diǎn).下面證明A1E=EF=FC.因?yàn)槠矫鍭1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中點(diǎn),所以E是A1F的中點(diǎn),即A1E=EF;同理可證OF∥AE,所以F是CE的中點(diǎn),即CF=FE,所以A1E=EF=FC.1.面面平行的性質(zhì)定理的注意事項(xiàng)(1)定理的條件:兩平面平行,第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面均相交.(2)定理的實(shí)質(zhì):面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.2.面面平行的性質(zhì)定理的幾個(gè)推論(1)兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩平行平面間的平行線段相等.(3)經(jīng)過(guò)平面外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.【變式訓(xùn)練2】

如圖,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于點(diǎn)A',B',C'.解:∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,∴A'B'∥AB.同理可證B'C'∥BC,A'C'∥AC.∴∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∴△A'B'C'∽△ABC.∵PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5,∴A'B'∶AB=2∶5.思想方法轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決立體幾何平行關(guān)系中的應(yīng)用【典例】

如圖所示,兩條異面直線AB,CD與三個(gè)平行平面α,β,γ分別相交于點(diǎn)A,E,B及C,F,D,又AD,BC與平面β的交點(diǎn)分別為H,G.求證:四邊形EHFG為平行四邊形.審題視角:用面面平行的性質(zhì)推線線平行.立體幾何中常見(jiàn)的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行,這三種平行關(guān)系不是孤立的,而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的.證明:∵平面ABC∩平面α=AC,平面ABC∩平面β=EG,α∥β,∴AC∥EG.同理可證AC∥HF.∴EG∥HF.同理可證EH∥FG.∴四邊形EHFG為平行四邊形.【變式訓(xùn)練】

已知平面α,β,γ,且α∥β,β∥γ,求證:α∥γ.證明:在平面α內(nèi)取兩條相交直線a,b,分別過(guò)a,b作平面φ,δ,使它們與平面β分別交于兩相交直線a',b'.∵α∥β,∴a∥a',b∥b'.又β∥γ,同理在平面γ內(nèi)存在兩相交直線a″,b″,使得a'∥a″,b'∥b″,∴a∥a″,b∥b″,∴α∥γ.隨

堂

練

習(xí)1.平面α∥平面β,點(diǎn)A,C∈α,B,D∈β,則直線AC∥直線BD的充要條件是(

)

A.AB∥CD B.AD∥CBC.AB與CD相交 D.A,B,C,D四點(diǎn)共面答案:D2.下列說(shuō)法正確的是(

)A.經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線平行B.經(jīng)過(guò)兩條平行線中一條有且只有一個(gè)平面與另一條直線平行C.經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行D.經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行答案:D3.已知長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面AC=EF,平面α∩平面A'C'=E'F',則EF與E'F'的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.相交

C.異面 D.不確定