初中中考沖刺數(shù)學總復習《多邊形與平行四邊形》（基礎(chǔ)、提高）鞏固練習、知識講解

中考總復習：多邊形與平行四邊形-鞏固練習（基礎(chǔ)）

【鞏固練習】

一、選擇題

1.任意三角形兩邊中點的連線與第三邊上的中線（）.

A.互相平分B.互相垂直C.相等D.互相垂直平分

2.（2015春?平頂山期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,E、F是對角線AC

上的兩點，給出下列四個條件：①AE=CF；②DE=BF；③NADE=NCBF；@ZABE=ZCDF.其中不能判定四

邊形DEBF是平行四邊形的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

3.若一個多邊形的對角線的條數(shù)恰好為邊數(shù)的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)為（）.

A.6B.7C.8D.9

4.如圖，平行四邊形4%力中，N/I8C=6O°,E、b分別在以8c的延長線上，AE//BD,EFVBC,DF=2,

則的長為（）A.2B.2咫＞C.41）.

5.下列說法正確的是（）.

A.平行四邊形的對角線相等

B.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C.平行四邊形的對角線交點到一組對邊的距離相等

D.沿平行四邊形的一條對角線對折，這條對角線兩旁的圖形能夠重合

6.如圖，在D\BCD中，對角線AC,BD相交于點0,E,F是對角線AC上的兩點，當E,F滿足下列哪個

條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（）.

（A）AE=CF（B）DE=BF（C）ZADE=ZCBF（D）NAED=NCFB

D

二、填空題

7.已知：A、B、C、I）四點在同一平面內(nèi)，從①AB〃CD②AB=CD③BC〃AD@BC=AD這四個條件中任

選兩個，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法共有種.

8.平行四邊形兩鄰邊上的高分別是2抬和34，高的夾角是60°,則這個平行四邊形的周長為

面積為.

9.如圖，已知直線m〃n,A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點，

（1）請寫出圖中面積相等的三角形.

（2）如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么，無論點P移動到什么位置，總有與4

ABC的面積相等，理由是.

10.如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形

需要黑色棋子的個數(shù)是.

11.（2012?茂名）從一個n邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形

分割成6個三角形，則n的值是

12.（2014春?深圳期末）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,過點0作PFLBC于

點F,交AD于點E,交BA的延長線于點P.若PE=EO=2,PA=3,則△OBC的面積等于.

三、解答題

13.如圖，已知AABC,以BC為邊在點A的同側(cè)作正△DBC,以AC、AB為邊在AABC的外部作正4EAC

和正AFAB.求證：四邊形AEDF是平行四邊形.

14.（2015?棗莊）如圖,QABCD中,BD1AD,NA=45°,E、F分別是AB,CD上的點,且BE=DF,連接

EF交BD于0.

（1）求證：B0=D0；

（2）若EFJ_AB,延長EF交AD的延長線于G,當FG=」L求AD的長.

15.（2011?瀘州）如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點，CE〃AB,DE交AC于點0,且0A=0C,猜想線

段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

16（2011?貴陽）［閱讀］

在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x“y1、Q（xz,y?）為端點的線段中點坐標為（立三，五絲）.

22

［運用］(D如圖，矩形ONEF的對角線相交于點M,ON、OF分別在x軸和y軸上，0為坐標原點，點E

的坐標為(4,3),則點M的坐標為.

(2)在直角坐標系中，有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三點，另有一點D與點A、B、C構(gòu)成平行

四邊形的頂點，求點D的坐標.

【答案與解析】

選擇題

1.【答案】A.

2.【答案】B.

【解析】由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四

邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B.

3.【答案】D.

【解析】設邊數(shù)為〃，則，片亂

2

4【答案】B.

【解析】在。力版中，CD且AB=CD.又：仞/BD,：.四邊形ABDE為平行四邊形，；,DE=AB.；EF

LBC,DF=2,:.CE=2DF=4.?：/ECF=/ABC=6Q°,:.EF=CENn4ECF=A*3=2收

2

5.【答案】C.

6.【答案】B.

二.填空題

7.【答案】4.

8.【答案】20：］2石.

9.【答案】(1)△ABC與△ABP;^ACP與△BCP;Z\AOC與△BOP；

(2)AABP；同底等高.

10.【答案】n2+2n.

【解析】第1個圖形是2X3-3,第2個圖形是3X4-4,第3個圖形是4X5-5,按照這樣的規(guī)律擺下

去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是(n+1)(n+2)-(n+2)=/+2n.

11.【答案】8.

【解析】設多邊形有n條邊，則n-2=6,解得n=8.

12.【答案】4泥.

【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形，

ADIIBC,AO=CO,BO=DO,

在△AOE和ACOF中，

fZEA0=ZFC0

-AO=CO，

ZAOE=ZCOF

:&AOE2ACOF(ASA),

EO=FO,AE=FC,

PE=EO=2,

FO=2,

???AEIIBF,PF_LBC,

.?.APAE-APBF,ZPEA=90°,

.PE_AE

"PF"BF'

AE=2

?1-7PA

.2=近,

"6BP'_

解得：BF=3泥，

貝i]BC=4&,

故4OBC的面積為：1FOXBC=1X2X4A/5=4V5.

22

故答案為：

三.綜合題

13.【解析】證明：?.?△ABF為正三角形，

AB=FB,Zl+Z2=60°.

,/△EAC和ABCD是正三角形，

；.AE=AC,BC=BD,N3+N2=60°,

Z.Z1=Z3.

在△BDF和ABCA中，

BF=BA

<Zl=Z3

BD=BC

ABDF^ABCA(SAS),

FD=AC.

又?.,AE=AC,

FD=AE,

同理可證ACAB絲ZXCED,可得AB=ED=AF

...四邊形AEDF是平行四邊形.

14.【解析】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.DC=AB,DC〃AB,

二Z0DF=Z0BE,

在aODF與AOBE中

，ZODF=ZOBE

<ZDOF=ZBOE

,DF=BE

.,.△ODF^AOBE(AAS)

，BO=DO；

⑵解:VBD1AD,

AZADB=90°,

VZA=45°,

二NDBA=NA=45°,

VEF±AB,

AZG=ZA=45°,

.?.△ODG是等腰直角三角形，

VAB/7CD,EF1AB,

ADFIOG,

，OF=FG,是等腰直角三角形，

VAODF^AOBE(AAS)

/.OE=OF,

.-.GF=OF=OE,

即2FG=EF,

???△DFG是等腰直角三角形，

.,.DF=FG=1,；.DG=V^DO,

在等腰RTaADB中，DB=2DO=2后AD

，AD=2近，

15.【解析】

解：猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是:平行且相等.

證明:VCE/7AB,

；.NDAO=/ECO,

VOA=OC,

.,?△ADO^AECO,

；.AD=CE,

...四邊形ADCE是平行四邊形，

；.CD平行且等于AE.

16.【解析】

解：(1)M),即M(2,1.5).

22

(2)根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得：

設D點的坐標為(x,y),

；ABCD是平行四邊形，

①當AB為對角線時，

VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),

.*.BC=V13,

.\AD=V13,

；T+3T=1,2+l-4=-l,

AD點坐標為(1,-1),

②當BC為對角線時，

VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),

；.AC=2&,BD=2&,

D點坐標為(5,3).

③當AC為對角線時，

VA(-h2),B(3,1),C(1,4),

.*.AB=V17,CD;后,

D點坐標為：(-3,5),

綜上所述，符合要求的點有：(1,-1),(-3,5),(5,3).

中考總復習：多邊形與平行四邊形-鞏固練習（提高）

【鞏固練習】

一、選擇題

1.如圖，四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，AF和DE相交成直角，AG=3cm,DG=4cm,OBED

的面積是36c,/1，則四邊形ABCD的周長為（）

A.49cmB.43cmC.41cm1）.46cm

2.如圖，在aABC中，已知AB=AC=5,BC=4,點E、F是中線AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積

是：（）山歷；B.2后；C.3而；口.4歷?

3.已知點A（2,0）、點B（-1,0）、點C（0,1）,以A、B、C三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點

2

不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2011?安徽）如圖，在四邊形46（力中，/BAD=NADC=90°,AB=AD=2yf2,切=0,點/在四

邊形四切的邊上，若一到劭的距離為2,則點夕的個數(shù)為（）

2

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，分別以Rt^ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊4ABD和AACE,F為AB的中點，DE,AB

相交于點G,若NBAC=30°,下列結(jié)論：①EFLAC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD=4AG；

?ADBF^AEFA.其中正確結(jié)論的是（）.

A.①②③?B.①③④C.②?④D.①②④

6.（2014?杭州模擬）如圖，在△ABC中，/ACB=90°,1）是BC的中點，DE_LBC,CE〃AD,若AC=2,ZADC=30°,

①四邊形ACED是平行四邊形；

②ABCE是等腰三角形；_

③四邊形ACEB的周長是10+2^/13；

④四邊形ACEB的面積是16.

二、填空題

7.如圖，ZJABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將aABE向上翻折，點A正好落在CD上的點F,

若aFDE的周長為8,4FCB的周長為22,則FC的長為.

8.（2015春?淅川縣期末）若工人師傅用正三角形、正十邊形與正n邊形這三種正多邊形能夠鋪成平整

的地面，則n的值為一.

9.如圖，平行四邊形ABCD中，ZABC=60°,AB=4,AD=8,點E、F分別是邊BC、AD邊的中點，點M是

AE與BF的交點，點N是CF與DE的交點，則四邊形ENFM的周長是.

10.（2011?梅州）凸n邊形的對角線的條數(shù)記作a“（n》4）,例如：a1=2,那么：①as=；②as-as=

@a?.-an=—.（n>4,用n含的代數(shù)式表示）

11.①如圖（1）,四邊形ABCD中，AB〃ER〃Q）,AD〃BC,則圖中共有個平行四邊形；

4

DAEiDA

②如圖（2）,四邊形ABCD中，AB〃ER〃EZF2〃CD,AD/7BC,則圖中共有個平行四邊形；

③如圖（3）,四邊形ABCD中，AB〃EE〃E2F2〃E3F3〃CD,AD/7BC,則圖中共有個平行四邊形;

一般地，若四邊形ABCD中，Ei,E2,E3,紇都是AD上的點，R,F2,F3,鳥都是BC上的點,

且AB〃EF1〃E?F2〃E3F3〃…〃鳥巴//CD,AD〃BC,則圖中共有平行四邊形.

12.如圖所示，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴展”

而來的，…,依此類推，則由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為

④

三、解答題

13.問題再現(xiàn)：現(xiàn)實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設計中隨處可見.在八年級課題學

習“平面圖形的鑲嵌”中，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題、

今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中幾個問題，共同來探究.

我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面.如圖中，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)

在一個頂點0周圍圍繞著4個正方形的內(nèi)角.試想：如果用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應該

圍繞著3個正六邊形的內(nèi)角.

問題提出：如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設計出幾種不同的組合方案？

問題解決：

猜想1：是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

分析：我們可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決、從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵在于

分析能同時用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點.具體地說，就是在鑲嵌平面時，一個頂點周

圍圍繞的各個正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角.

驗證1：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有x個正方形和y個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角.根據(jù)題

意，可得方程：

90x+（8-2*180geo,整理得：2x+3y=8,

8

x=1

我們可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為4

y=2

結(jié)論1：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形和2個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所

以同時用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌.

猜想2：是否可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？若能，請按照上述方法

進行驗證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由.

驗證2：；結(jié)論2：.

上面，我們探究了同時用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，

相信同學們用同樣的方法，一定會找到其它可能的組合方案.

問題拓廣：請你仿照上面的研究方式，探索出一個同時用三種不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌的方案,

并寫出驗證過程.

猜想3：；

驗證3：；

結(jié)論3：

14.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,/ABC與NADC互補.

(1)求NC的度數(shù)；

(2)若BOCD且AB=AD,請在圖上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新

拼成一個正方形，并說明理由；

(3)若CD=6,BC=8,S酸彩MO=49,求AB的值.

15.(2015春?蘇州校級期末)如圖，正方形ABCD中，點P是直線BC上一點，連接PA,將線段PA繞

點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,在直線BA上取點F,使BF=BP,且點F與點E在BC同側(cè)，連接EF、

CF.

(1)如圖①，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形.

(2)如圖②，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由.

16.(2012?廣州)如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,F為AD的中點,CEJ_AB于E,設NABC=

a(60°Wa<90°).

(1)當a=60°時，求CE的長；

(2)當60°<a<90°時，

①是否存在正整數(shù)k,使得NEFD=kNAEF?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

②連接CF,當CE'-CF，取最大值時，求tan/DCF的值.

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】D.

2.【答案】A.

3.【答案】C.

4.【答案】B.

【解析】如圖所示，作AELBD于E,CF1BD于凡由題意得心^劭=*{6=2>|,...在邊四和力〃

3

上各存在一個點尸到物的距離為木???四=力〃，N為2=90°,；?/4加=45°.又N49C~90°,

二/如'=45°.乎但乎X$=l〈|,.?.在邊比和切上不存在符合題意的點P.綜上所述.

5.【答案】A.

【解析】先證AADF@AABC,可得DF=AC=AE.：DF〃AE且DF=AE,四邊形ADFE為平行四邊形，即①

②③④是正確的.

6.【答案】D.

【解析】①：NACB=9O。，DE_LBC,

ZACD=ZCDE=9O°,

ACIIDE,

CEIIAD,

.??四邊形ACED是平行四邊形，故①正確；

②是BC的中點，DEJ_BC,

EC=EB,

??.△BCE是等腰三角形，故②正確；

③：AC=2,NADC=30。，

AD=4,CD=2。

???四邊形ACED是平行四邊形，

CE=AD=4,

CE=EB,

EB=4,DB=2。

CB=4?,

AB=VAC2+BC2=2^,

四邊形ACEB的周長是10+2丁故③正確；

④四邊形ACEB的面積：』x2x4?+2x4?x2=8jW故④錯誤,

22

二.填空題

7.【答案】7.

【解析】由題意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22,所以a=7.

8.【答案】十五.

【解析】正三邊形和正十邊形內(nèi)角分別為60。、144。，正門邊形的內(nèi)角應為360。-60。-144。=156。,

所以正n邊形為正十五邊形.故答案為：十五.

9.【答案】4+473.

10.【答案】5；4；n-1.

【解析】①五邊形有5條對角線；②六邊形有9條對角線，9-5=4；

〃(〃一3)(/+1)(“-2)

③n邊形有條對角線，n+1邊形有條對角線,

22

(〃+1)(〃一2)n(n-3)

an+「a產(chǎn)------------~-------=n~1.

22

11.【答案】①3;②6:③1。，1(?+1)(?+2).

12.【答案】n(n+1).

【解析】：①正三邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是12=3X4,

②正四邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是20=4X5,

③正五邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為30=5X6,

④正六邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為42=6X7,

...正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為n(n+1).

三.綜合題

13.【解析】

用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應該圍繞著3個正六邊形的內(nèi)角.

驗證2：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有a個正三角形和b個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，

根據(jù)題意，可得方程：60a+l20b=360.

整理得：a+2b=6,

可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為1一和《一

b=2匠1

結(jié)論2：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著4個正三

角形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以

進行平面鑲嵌.

猜想3：是否可以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

驗證3：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有m個正三角形、n個正方形和c個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一

個周角.

根據(jù)題意，可得方程：60m+90n+120c=360,

整理得：2m+3n+4c=12,

m-\

可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為＜〃=2

c=1

結(jié)論3：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正三角形、2個正方形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼

成一個周角，所以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌.(說明：

本題答案不惟一，符合要求即可.)

14.【解析】

(1)?.?NABC與NADC互補,

AZABC+ZADC=180°.

,/ZA=90",

/.ZC=360°-90°-180°=90°；

(2)過點A作AELBC,垂足為E.

則線段AE把四邊形ABCD分成AABE和四邊形AECD兩部分，把AABE以A點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)

90°,則被分成的兩部分重新拼成一個正方形.

過點A作AF〃BC交CD的延長線于F,

BEC

(2)

VZABC+ZADC=180°,又NADF+NADC=180°,

AZABC=ZADF.

VAD=AB,NAEC=NAFD=90°,.-.AABE^AADF.

???AE二AF.???四邊形AECF是正方形；

(3)解法1：連接BD,

VZC=90°,CD=6,BC=8,RtZ\BCD中，BD=j824-62=10

又S四邊形ABCD=49,SAABD=49—24-25.

過點A作AM_LBD垂足為M,

...SaB產(chǎn)-XBDXAM=25.；.AM=5.

2

又?.?/BAD=90°,.,.△ABM^ADAM.

BMAM

設BM=x,則MD=10-x,

...2.解得x=5.；.AB=5夜.

x5

解法2：連接BD,ZA=90°.

設AB=x,AD=y,則①

丁—xy=25,/.xy=50.②

2

由①，②得：(x-y)2=0.

/.x=y.2X2=100.x=5y/2.

15?【解析】

(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形,

AB=BC,ZABC=ZPBA=9O°

在4PBA和^FBC中，

fAB=BC

'ZPBA=ZABC>

BP=BF

△PBA空△FBC(SAS),

PA=FC,ZPAB=ZFCB.

*/PA=PE,

..PE=FC.

???ZPAB+ZAPB=90°,

ZFCB+ZAPB=90°.

??,ZEPA=90°,

ZAPB+ZEPA+ZFCP=180°,

即NEPC+zPCF=180°,

EPIIFC,

???四邊形EPCF是平行四邊形；

(2)解：結(jié)論：四邊形EPCF是平行四邊形，

理由是：???四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZABC=ZCBF=90°

在APBA和4FBC中，

rAB=BC

,ZPBA=ZABC，

BP二BF

...△PBA”△FBC(SAS),

PA=FC,ZPAB=NFCB.

,/PA=PE,

PE=FC.

???ZFCB+ZBFC=90°,

ZEPB+ZAPB=90°,

ZBPE=ZFCB,

EPIIFC,

四邊形EPCF是平行四邊形.

16.【解析】(1)Va=60°,BC=10,

,CEan.oCEV3

??sina=-----,Bpsin60二----二---，

BC102

解得CE=5V3；

(2)①存在k=3,使得NEFD=k/AEF.

理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G,

在平行四邊形ABCD中，AB〃CD,

???NG=NDCF,

ZG=ZDCF

在aAFG和△CFD中,《ZAFG=ZDFC,

AF=FD

：.AAFG^ADFC(AAS),

ACF=GF,AG二CD,

VCE±AB,

???EF二GF(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，

???ZAEF=ZG,

VAB=5,BC=10,點F是AD的中點,

；.AG=5,AF=-AD=-BC=5,

22

.\AG=AF,AZAFG=ZG,

在4EFG中，ZEFC=ZAEF+ZG=2ZAEF,

XVZCFD=ZAFG(對頂角相等)，

:.ZCFD=ZAEF,

，ZEFD=ZEFC+ZCFD=2ZAEF+ZAEF=3ZAEF,

因此，存在正整數(shù)k=3,使得NEFD=3NAEF；

②設BE=x,VAG=CD=AB=5,

:.EG=AE+AG=5-x+5=10-x,

在RtZ\BCE中，CE2=BC2-BE2=100-X2,

在RSCEG中,CG=EG2+CE=(10-X)2+100-X2=200-20X,

VCF=GF(①中已證)，

.?.CF，=(-CG)2=-CG2=-(200-20x)=50-5x,

244

525

.".CE2-CF2=100-X2-50+5X=-X2+5X+50=-(X--)2+50+—,

24

...當x=2,即點E是AB的中點時，CE^CF取最大值，

2

此時，EG=10-x=10--=—,

22

CE=JlOO—。=^100-y=,

5V15

CE-o-J15

所以?tanNDCF-tanNG------—————-------.

EG153

2

中考總復習：多邊形與平行四邊形一知識講解(基礎(chǔ))

責編：常春芳

【考綱要求】

【高清課堂：多邊形與平行四邊形考綱要求】

1.多邊形

A：了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個正三角形、

正方形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性；了解特殊四邊形之間的關(guān)系.

B：會用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計算問題；能用正三角形、正方形、正六邊形進行簡單

的鑲嵌設計；能依據(jù)條件分解與拼接簡單圖形.

(2)平行四邊形

A：會識別平行四邊形.

B：掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡單問題.

C：會運用平行四邊形的知識解決有關(guān)問題.

【知識網(wǎng)絡】

【考點梳理】

考點一、多邊形

1.多邊形：

在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.

多邊形的對角線是連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段.

2.多邊形的對角線：

從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引出(n-3)條對角線，共有n(n-3)/2條對角線，把多邊形分成了(n

一2)個三角形.

3.多邊形的角：

n邊形的內(nèi)角和是(n—2)?180°,外角和是360°.

【要點詮釋】

(1)多邊形包括三角形、四邊形、五邊形……，等邊三角形是邊數(shù)最少的正多邊形.

(2)多邊形中最多有3個內(nèi)角是銳角(如銳角三角形)，也可以沒有銳角(如矩形).

(3)解決n邊形的有關(guān)問題時，往往連接其對角線轉(zhuǎn)化成三角形的相關(guān)知識，研究n邊形的外角問題

時，也往往轉(zhuǎn)化為n邊形的內(nèi)角問題.

考點二、平面圖形的鑲嵌

1.鑲嵌的定義

用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，

這就是平面圖形的鑲嵌.

2.平面圖形的鑲嵌

(1)一個多邊形鑲嵌的圖形有：三角形，四邊形和正六邊形；

(2)兩個多邊形鑲嵌的圖形有：正三角形和正方形，正三角形和正六邊形，正方形和正八邊形，正三角

形和正十二邊形；

(3)三個多邊形鑲嵌的圖形一般有：正三角形、正方形和正六邊形，正方形、正六邊形和正十二邊形，

正三角形、正方形和正十二邊形.

【要點詮釋】能鑲嵌的圖形在一個拼接點處的特點：幾個圖形的內(nèi)角拼接在一起時，其和等于360°,

并使相等的邊互相重合.

考點三、三角形中位線定理

1.連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2.定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.

考點四、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定

1.定義：

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

2.性質(zhì)：

(1)平行四邊形的對邊平行且相等；

(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補；

(3)平行四邊形的對角線互相平分；

(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.

3.判定：

(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

4.兩條平行線間的距離：

定義：夾在兩條平行線間最短的線段的長度叫做兩條平行線間的距離.

性質(zhì)：夾在兩條平行線間的平行線段相等.

【要點詮釋】

1.平行四邊形的面積=底乂高；

2.同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

【典型例題】

類型一、多邊形與平面圖形的鑲嵌

C1.(2015?葫蘆島)如圖，在五邊形ABCDE中，ZA+ZB+ZE=300°,DP、CP分別平分/EDC、ZBCD,

則/P的度數(shù)是()

27

A.60°B.65°C.55°D.50°

【思路點撥】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°,由/A+/B+NE=300°,可求NBCD+NCDE的度數(shù)，再根

據(jù)角平分線的定義可得/PDC與NPCD的角度和，進一步求得NP的度數(shù).

【答案】A

【解析】

解：?五邊形的內(nèi)角和等于540°,ZA+ZB+ZE=300°,

/.ZBCD+ZCDE=540°-300°=240°,

???/BCD、ZCDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點0,

AZPDC+ZPCD=1（ZBCD+ZCDE）=120°，

2

,ZP=180°-120°=60°.

故選：A.

【總結(jié)升華】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義，熟記公式是解題的關(guān)鍵.注意整

體思想的運用.

舉一反三：

【變式】如圖，小林從P點向西直走12米后，向左轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動的角度為a,再走12米，如此重復，小林

共走了108米回到點P,則a=.

【答案】40°.

C2.（2011?十堰）現(xiàn)有邊長相同的正三角形、正方形和正六邊形紙片若干張，下列拼法中不能鑲嵌

成一個平面圖案的是（）

A.正方形和正六邊形B.正三角形和正方形

C.正三角形和正六邊形D.正三角形、正方形和正六邊形

【思路點撥】注意各正多邊形的內(nèi)角度數(shù).

【答案】A.

【解析】正方形和正六邊形的每個內(nèi)角分別為90°和120。，要鑲嵌則需要滿足90°m+120°n=

360°,但是m、n沒有正整數(shù)解，故選A.

【總結(jié)升華】能鑲嵌的圖形在一個拼接點處的特點：幾個圖形的內(nèi)角拼接在一起時，其和等于360。，

并使相等的邊互相重合.

舉一反三：

【變式】現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊

長都相等.同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

【答案】B.

類型二：平行四邊形及其他知識的綜合運用

▼3.(2014春?章丘市校級月考)如圖，已知在OABCD中，對角線AC、BD相交于點0,AE1B1),BM1

AC、DN±AC,CFJ_BD垂足分別是E、M、N,F,求證：EN/7MF.

【思路點撥】連接ME,FN,由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對角線互相平分，利用AAS得到三角形

A0E與三角形C0F全等，利用全等三角形對應邊相等得到0E=0F,同理得到三角形B0M與三角形DON全

等，得到0M=0N,進而確定出四邊形MEFN為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行即可得證.

【答案與解析】

證明：連接ME,FN,

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

.\0A=0C,0B=0D,

VAE1BD,CF1BD,

在AAOE和△COF中，

fZAEO=ZCFO=90°

<ZAOE=ZCOF

0A=0C

.,.△AOE^ACOF(AAS),

，OE=OF,

同理△BOM絲ZWON,得到OM=ON,

...四邊形EMFN為平行四邊形，

，EN〃MF.

【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

AD^-AB

4.如圖所示，ZSABC中，ZBAC=90°,延長BA到D,使2，點E、F分別為邊BC、AC

的中點.

(1)求證：DF=BE；

(2)過點A作AG〃BC,交DF于G,求證：AG=DG.

EF—1AB

【思路點撥】（1）E、F分別為BC、AC中點，則EF為AABC的中位線，所以EF〃AB,2.而

AD--AB

.則EF=AD.從而易證ADAF絲△EFC,則DF=CE=BE.（2）AG與DG在同一個三角形中，只需證/

D=ZDAG即可.

【答案與解析】（1）???點E、F分別為BC、AC的中點，

EF是AABC的中位線.

EF=-AB

EF〃AB,2.

AD^-AB

又：2,

EF=AD.

EF/7AB,AZEFC=ZBAC=90°,ZBAC=90°,ZDAF=90.

XVF是AC的中點，；.AF=CF,.?.△DAF絲△EFC.；.DF=EC=BE.

（2）由（1）知；金除由aAZD=ZFEC.

又EF〃AB,AZB=ZFEC.

XVAG〃BC,ZDAG=ZB,

AZDAG=ZFEC

.\ZD=ZDAG.

.\AG=DG.

【總結(jié)升華】三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系一一可以證明兩條直線平行；數(shù)量關(guān)系一一可以證明

線段的相等或倍分.此外應注意三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形.

舉一反三：

【變式】如圖，已知P、R分別是長方形ABCD的邊BC、CD上的點，E、F分別是PA、PR的中點，點P在

BC上從B向C移動，點R不動，那么下列結(jié)論成立的是（）

A,線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸變小

C.線段EF的長不變D.無法確定

【答案】C.

@'5.如圖：六邊形ABCDEF中，AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,BC平行且等于FE,對角線FD

_LBD.已知FD=4cm,BD=3cm.則六邊形ABCDEF的面積是cm'.

【思路點撥】連接AC交BD于G,AE交DF于H.根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得平

行四邊形AEDB和AFDC.易得AC=FD,EH=BG.計算該六邊形的面積可以分成3部分計算，即平行四邊形

AFDC的面積+三角形ABC的面積+三角形EFD的面積.

【答案與解析】

連接AC交BD于G,AE交DF于H.

：AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,

四邊形AEDB是平行四邊形，四邊形AFDC是平行四邊形，

；.AE=BD,AC=FD,

VFD1BD,

AZGDH=90°,

，四邊形AHDG是矩形，

.*.AH=DG

VEH=AE-AH,BG=BD-DG

/.EH=BG.

六邊形ABCDEF的面積=平行四邊形AFDC的面積+三角形ABC的面積+三角形EFD的面積=FD?BD=3義

4=12cm2.

故答案為：12.

【總結(jié)升華】注意求不規(guī)則圖形的面積可以分割成規(guī)則圖形，根據(jù)面積公式進行計算.

Ce.(2012?廈門)已知平行四邊形ABCD,對角線AC和BD相交于點0,點P在邊AD上，過點P

作PEJ_AC,PF_LBD,垂足分別為E、F,PE=PF.

(1)如圖，若PE=6，E0=l,求/EPF的度數(shù)；

(2)若點P是AD的中點，點F是D0的中點，BF=BC+3夜-4,求BC的長.

【思路點撥】(1)連接P0,利用解直角三角形求出NEP0=30°,再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等,

根據(jù)全等三角形對應角相等可得NFPO=NEPO,從而得解；

(2)根據(jù)三角形中位線定理可得PF/7A0,且PF=-AO,然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得

2

ZAOD=ZPFD=90°,再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得PE〃OD,所以PE也是△AOD的中位線，然后

證明四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解.

【答案與解析】

(1)如圖,連接PO,VPE±AC,PE=V3，E0=l,

EOG

??tanNEPO=------,

PE3

/.ZEP0=30°,

VPE1AC,PF±BD,

ZPE0=ZPF0=90°,

(PO=PO

在Rtz^PEO和Rt/XPFO中，4

PE=PF

ARtAPEO^RtAPFO(HL),

AZFP0=ZEP0=30°,

：.ZEPF=ZFP0+ZEP0=30°+30°=60°；

VPF1BD,

AZPFD=90°,

???NAOD=NPFD=90°,

XVPEXAC,

AZAEP=90°,

???ZA0D=ZAEP,

???PE〃OD,

?.,點P是AD的中點,

APE>AAOD的中位線,

.-.PE=-OD,

2

VPE=PF,

；.AO=OD,且AO_LOD,

平行四邊形ABCD是正方形,

設BC=x,

nInr,x/21723V2

則BF=---x+—X---x=----x,

2224

?.,BF=BC+30-4=x+3及-4,

x+3V2-4=x

34"

解得x=4,即BC=4.

【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，正方形的判定與性質(zhì)，（2）中判

定出平行四邊形ABCD是正方形是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖1,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（—2,—1）,且P（-1,-2）是雙

曲線上的一點，Q為坐標平面上的一動點，PALx軸，QB，y軸，垂足分別為A、B.

（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）當點Q在直線M0上運動時，是否可以使與△OAP面積相等？

（3）如圖2,點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、0Q為鄰邊的平行四邊形OPCQ,求平

行四邊形OPCQ周長的最小值.

12

【答案】（1）正比例函數(shù)解析式為尸=上丁，反比例函數(shù)解析式為y=上.

2x

（2）當點Q在直線M0上運動時，

設點Q的坐標為0（?。ㄨ欤?；加'=1，解得卅=±2.

所以點Q的坐標為2］（2,D和。式-2,-1）.

（3）因為p（-l，-2），由勾股定理得OP=J5，

平行四邊形OPCQ周長=2（。?+00）.

因為點Q在第一象限中的雙曲線上，所以可設點Q的坐標為,

n

由勾股定理可得0。2-/+十，通過圖形分析可得：

0Q有最小值2,即當Q為第一象限中的雙曲線與直線y二X的交點時，線段0Q的

長度最小.

所以平行四邊形OPCQ周長的最小值：2（8+0。）=2（書+2）-2rj5+4-

中考總復習：多邊形與平行四邊形一知識講解(提高)

責編：常春芳

【考綱要求】

【高清課堂：多邊形與平行四邊形考綱要求】

1.多邊形

A：了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個正三角形、

正方形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性；了解特殊四邊形之間的關(guān)系.

B：會用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計算問題；能用正三角形、正方形、正六邊形進行簡單

的鑲嵌設計；能依據(jù)條件分解與拼接簡單圖形.

(2)平行四邊形

A：會識別平行四邊形.

B：掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡單問題.

C：會運用平行四邊形的知識解決有關(guān)問題.

【知識網(wǎng)絡】

【考點梳理】

考點一、多邊形

1.多邊形：

在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.

多邊形的對角線是連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段.

2.多邊形的對角線：

從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引出(n—3)條對角線，共有n(n-3)/2條對角線，把多邊形分成了(n

一2)個三角形.

3.多邊形的角：

n邊形的內(nèi)角和是(n—2)?180°,外角和是形的.

【要點詮釋】

(1)多邊形包括三角形、四邊形、五邊形……，等邊三角形是邊數(shù)最少的正多邊形.

(2)多邊形中最多有3個內(nèi)角是銳角(如銳角三角形)，也可