初中中考沖刺數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《觀察、歸納型問(wèn)題》（基礎(chǔ)、提高）鞏固練習(xí)、知識(shí)講解

中考沖刺：觀察、歸納型問(wèn)題一鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.用邊長(zhǎng)為1的正方形覆蓋3X3的正方形網(wǎng)格，最多覆蓋邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格（覆蓋一部分就算覆

蓋）的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.4C.5D.6

2.求1+2+22+2?+…+2232的值，可令$=1+2+22+23+...+2?。%則25=2+22+23+2“+…+22°”,

因此，2S—S=22°'3—1.仿照以上推理，計(jì)算出1+5+比+5'+…+52°時(shí)的值為()

520|3_|52012-1

A.52012-1B.520,3-1C.-——-D.-——-

44

3.（2016?冷水江市三模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓0卜0八0”…

組成一條平滑的曲線，點(diǎn)P從原點(diǎn)0出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒三個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2017

2

秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

A.(2016,0)B.(2017,1)C.(2017,-1)D.(2018,0)

二、填空題

4.（2015?盤錦四模）已知，如圖，△OBC中是直角三角形，0B與x軸正半軸重合，Z0BC=90°,且0B=l,

BC=?,將△（?（：繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，使0B尸0C,得到△0BG,將

△0BC繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍,使OBLOG,得到AOB2c2,…,如此繼

續(xù)下去，得到△OB2015c2015,則點(diǎn)C2015的坐標(biāo)是.

5.(2016?天門)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，AAIA2A3,AA3A4A5,AA5A6A7,AA7A8A9,…，都是等

邊三角形，且點(diǎn)Ai,A3,As，A7,A9的坐標(biāo)分別為AI(3,0),A3(1,0),A5(4,0),A7(0,0),

A9(5,0),依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則AM的坐標(biāo)為.

6.如圖，n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)如，M2,M3,…分別為邊BB,B2B3,

BB,…，BB”的中點(diǎn)，的面積為S”^B2c2M2的面積為S2,…△B.CM的面積為S“，則S產(chǎn).

(用含n的式子表示)

ClA\A2A3A4

三、解答題

7.觀察下列等式：

第1個(gè)等式：8!xxfl\

第2個(gè)等式一愛1乂;.

第3個(gè)等式…-5晨號(hào)(|3

第4個(gè)等式…一羨午K.

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a=______=_______;

(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：a尸_______=__(〃為正整數(shù));

(3)求科+/+4+4+…+句00的值.

8.如下表所示，是按一定規(guī)律排列的方程組和它的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，若方程組自左至右依次記作方程組1、

方程組2、方程組3、…、方程組〃.

（1）將方程組1的解填入表中.

x+y=1r+/=lx+『=l?

方程蛆???

x-/=1x-2y=4x一力=9

對(duì)應(yīng)方程組x=_____x=2x=3x=_____

???

的解y=____J=-l尸一2y=____

（2）請(qǐng)依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將方程組〃和它的解直接填入表中;

（3）若方程組［一緲=16的解是^=一9.求m的值,并判斷該方程組是否符合（力中的規(guī)律?

9.如圖所示，是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層

均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層.將圖①倒置后與原圖拼成圖②的形狀，這樣我們可以算出圖①

中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+〃="5+1）.

2

第1層藕萼蜉.

第2層

第九層oo-do笠（出二長(zhǎng)

①②

如果圖①中的圓圈共有12層，（1）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖③的方式填上一串連續(xù)的正

整數(shù)1,2,3,4,…，則最底層最左邊的這個(gè)圓圈中的數(shù)是一_；（2）我們自上往下，在每個(gè)圓圈

中都按圖④的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-21,求圖④中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和.

10.（余杭區(qū)期中）如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一個(gè)小

正方形再按同樣的方法剪成四個(gè)小正方形，再將其中的一個(gè)小正方形剪成四個(gè)小正方形，如此循環(huán)進(jìn)行

（3）能否經(jīng)過(guò)若干次分割后共得到2014片紙片？若能，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的次數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)若將所給的正方形紙片剪成若干個(gè)小正方形(其大小可以不一樣)，那么你認(rèn)為可以將它剪成六個(gè)

小正方形嗎？八個(gè)小正方形呢？如果可以，請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出剪割線的示意圖；如果不可以，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明

理由.

【答案與解析】

一、選擇題

［【答案】D；

【解析】6個(gè)，把邊長(zhǎng)為1的小正方形的對(duì)角線與3乘3網(wǎng)格中的中間正方形任意邊重合(其中小正

方形的對(duì)角線中點(diǎn)與3乘3網(wǎng)格中的中間正方形邊上的中點(diǎn)重合)，因?yàn)閷?duì)角線的長(zhǎng)為、歷＞

1,所以這時(shí)有6個(gè)正方形網(wǎng)格被覆蓋.

2.【答案】C；

【解析】設(shè)S=l+5+52+5,+…+5”12,則5s=5+52+5』5U---卜5?嗎

520|3.1

因此，55-5=52013-1,S=------.

4

3.【答案】B；

【解析】以時(shí)間為點(diǎn)P的下標(biāo).

觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Po(0,0),Pi(1,1),P2(2,0),P3(3,-1),P,(4,0),P5(5,1),…,

(n,0),P”田(4n+l,1),(4n+2,0),P*(4n+3,-1).

72017=504X4+1,

.?.第2017秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2017,1).

二、填空題

4.【答案】(22016,0).

【解析】???ZOBC=90°,OB=1,BC=?,

將4OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，使OBi=OC,

OC|=2OC=2x2=4=22,

OC2=2OC1=2x4=8=23,

4

OC3=2OC2=2X8=16=2,

…,

n+1

OCn=2,

???OC2015=22016.

???2015+6=335...5,

???點(diǎn)C2015與點(diǎn)C5在同一射線上，在X軸正半軸，坐標(biāo)為(2236,0).

故答案為：(22°叱0).

5.【答案】45.

【解析】觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A2(2,正)，A4芭，-2區(qū))，A6(2,2?),A8(1,-殳叵)，…,

2222

???A4n+2(2,V3n+V3)-A4n+4(5,-(2n+3)我)(n為自然數(shù)),

22

V100=4X24+4,

??.Aioo的坐標(biāo)為（區(qū)，一旦返）.

22

故答案為：（"，一旦甚）.

22

6.【答案】1

4(2n-l)

【解析】Vn個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點(diǎn)Mi,M2,M3,…M”分別為邊

B1B2,B2B3,BB1，…，BnBn+l的中點(diǎn),

.,.SplxBiCiXB^Flx1x1=2,

2224

SAB1C1M2-▲xBIGXB,M2=1XIX3=3,

2224

SAB1C1M3-JXBIGxBM；=3X1X_^=王，

2224

SABICIMI-』XBiGxBM=3X1xl=l,

2224

SABIC)M?=1XBICIXBM,=」X1X2n二1二2n二1,

2224

VBnCn^BlCi,

/.△BnCnMn^AB.CiMn,

_1

2、2

SABuCriMn：SABICIMIF(--------)?=(~，

BjMn2n-1

2

2n-1.1

BPS?：

-r-(2n-l)2

s=_____

4(2n-l)

故答案為:1

4(2n-l)

三、解答題

7.【答案與解析】

解：根據(jù)觀察知，答案分別為:

小1

19X11

(2n-1)(2zr+l)乂言-表)

(3)a+&+%+國(guó)+，??+甌o

1

彳+92199201

1111,1、1、,200100

--------=-(1------)=-X---

199201J22012201201,

8.【答案與解析】

r=lx+/=lr=n

解:(1)(2)

尸0x—?y=M2J=1-M

r=10

(3)因?yàn)榉匠探M的解是

x-my=\6y=-9

所以有10+9?5=16)解得m=|.

顯然該方程組不符合(2)中的規(guī)律.

9.【答案與解析】

解:(1)67.

(2)圖④中所有圓圈中共有1+2+3+…+12=12(2+1)=78個(gè)數(shù),

2

其中23個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)0,54個(gè)正數(shù)，

.?.圖④中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和

=|-23：+1-221+,，,+1-11+0+1+2+…+54

=(1+2+3+…+23)+(1+2+3+…+54)

=276+1485=1761.

10.【答案與解析】

解：(1)答案如下:

次數(shù)12345

個(gè)數(shù)47101316

(2)如果剪了n次，共剪出4+3(n-1)=3n+l個(gè)小正方形;

(3)3n+l=2014

解得n=671,

經(jīng)過(guò)671次分割后共得到2014片紙片；

(4)可以將它剪成六個(gè)小正方形，八個(gè)小正方形，如圖

中考沖刺：觀察、歸納型問(wèn)題一鞏固練習(xí)（提高）

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2015秋?揚(yáng)州校級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方

向跳1個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)落在表示數(shù)3的點(diǎn)上（允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn)），則質(zhì)點(diǎn)的不同運(yùn)動(dòng)方案

共有（）

-J--------------1--------------1-------------1-------------1--------------U

-3-2-1123

A.2種B.3種C.4種D.5種

2.在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）,延

長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A”作正方形ABGC,延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)Az,作正方形ABC2C1,…按這樣的規(guī)律進(jìn)

行下去，第2012個(gè)正方形的面積為（）

AAy

B.5,d)2010

4

D.5?T)4022

3.邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊

形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為

第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如

圖），…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為（）

二、填空題

4.如圖，線段AC=n+l(其中n為正整數(shù))，點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形

BCEF,連接AM、ME、EA得到△AME.當(dāng)AB=1時(shí)，Z\AME的面積記為Si；當(dāng)AB=2時(shí)，4AME的面積記為

S2；當(dāng)AB=3時(shí)，ZXAME的面積記為&；…；當(dāng)AB=n時(shí)，，Z\AME的面積記為S?.當(dāng)n22時(shí),S「S”產(chǎn).

5.如圖的平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正六邊形ABCDEF,其中C、D的坐標(biāo)分別為(1,0)和(2,0).若

在無(wú)滑動(dòng)的情況下，將這個(gè)六邊形沿著x軸向右滾動(dòng)，則在滾動(dòng)過(guò)程中，這個(gè)六邊形的頂點(diǎn)A、B、C、D、

E、F中，會(huì)過(guò)點(diǎn)(45,2)的是點(diǎn).

OCD

6.(2016春?固始縣期末)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將三角形0AB變換成三角形0AB,

第二次將三角形0AB變換成三角形0AB.第三次將三角形0AB變換成三角形OA'B”已知A(l,2),

A)(2,2),Az(4,2),A3(8,2),B(2,0),B)(4,0),B2(8,0),B3(16,0)..

心"\8,.\殳，，；

O?4681012141618r

(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化？找出規(guī)律再將三角形將△OA3B3變換成三角形OA4B4,則

A4的坐標(biāo)是，B4的坐標(biāo)是.

(2)若按第(1)題找到的規(guī)律將三角形0AB進(jìn)行n次變換，得到三角形OAnB“,推測(cè)An的坐標(biāo)是,

Bn的坐標(biāo)是.

三、解答題

7.在下圖中，每個(gè)正方形由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成：

n=ln=2n=3n=4n=5n=6

（1）觀察圖形，請(qǐng)?zhí)顚懴铝斜砀?

正方形邊長(zhǎng)1357???n（奇數(shù)）

藍(lán)色小正方形個(gè)數(shù)???

正方形邊長(zhǎng)2468???n（偶數(shù)）

藍(lán)色小正方形個(gè)數(shù)…

（2）在邊長(zhǎng)為〃（〃21）的正方形中，設(shè)藍(lán)色小正方形的個(gè)數(shù)為R,白色小正方形的個(gè)數(shù)為R,問(wèn)

是否存在偶數(shù)"，使R=5Pi?若存在，請(qǐng)寫出〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.

探究：一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結(jié)三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三角形分割為

四個(gè)都與它自己相似的小三角形.我們把4DEF（圖乙）第一次順次連結(jié)各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1

階分割（如圖1）;把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階

分割（如圖2）……依次規(guī)則操作下去.n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)）,

設(shè)此時(shí)小三角形的面積為

⑴若aDEF的面積為10000,當(dāng)n為何值時(shí)，2<S"V3?（請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次

的嘗試估算過(guò)程）

（2）當(dāng)〃>1時(shí)，請(qǐng)寫出一個(gè)反映S-,S?,S,,+I之間關(guān)系的等式（不必證明）.

9.（2016?臺(tái)州）定義：有三個(gè)內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

（1）三等角四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC,求NA的取值范圍；

（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點(diǎn)E,F分別落在邊BE,BF上的點(diǎn)A,C處，折痕分別為

DG,DH.求證：四邊形ABCD是三等角四邊形.

（3）三等角四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC,若CB=CD=4,則當(dāng)Al）的長(zhǎng)為何值時(shí)，AB的長(zhǎng)最大，其最大

值是多少？并求此時(shí)對(duì)角線AC的長(zhǎng).

10.據(jù)我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連

結(jié)得一個(gè)直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括為“勾三、股四、弦五”.

⑴觀察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；……,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒

有間斷過(guò).計(jì)算,（9—1）、-（9+1）與工（25—1）、-（25+1）,并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出

2222

能表示7,24,25的取和學(xué)的算式；

⑵根據(jù)⑴的規(guī)律，用〃"為奇藜耳〃23）的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、找、褻，合情猜

想他們之間二種相等關(guān)系并對(duì)其中一種猜想加以證明；

⑶繼續(xù)觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；……，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起

也沒有間斷過(guò).運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用仍（加為假蓼且加>4）的代數(shù)式來(lái)表示他們的眼和睦

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】D；

【解析】???數(shù)軸上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5

次跳動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)落在表示數(shù)3的點(diǎn)上（允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn)），

，質(zhì)點(diǎn)的不同運(yùn)動(dòng)方案為：方案一：Of-If2f3；

方案二：OfIf2f3；

方案三：0-*lf2->If2f3；

方案四：OfIf2f3f2f3；

方案五：0-If2f3f4f3.

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

故選D.

2.【答案】D；

【解析】I?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）,

AOA=1,0D=2,

設(shè)正方形的面積分別為SuS2…S2012,

根據(jù)題意，得：AD〃BC〃GA2〃GB2,

*??NBAAkNBiAiAz'NBzAzx,

??,NABA尸NABA2=90°,

:.ABAAI^ABIAIA2,

在直角aADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD寸0A2+0口2二遍,

，AB=AD=BC=&,

.?5=5,

VZDA0+ZAD0=90°,NDA0+NBAAi=90°,

'ZADO=ZBAAi,

/.tanZBAAFA1^=P^=1,

_ABOD2

.?.AiB=立，

2

...AIB=AC=BC+AB=3娓,

2

.,.S2=^X5=5X(.?)2,

42

3f-

.A2B1AtBtgv5_3

AjBABV52

...A2BI=9X恒盟5,

224_

A2cl=B1C1+A2B1二返回后1(3)2,

2442

4

.,.S3=^1X5=5X(J),

162

由此可得：S?=5X(J)"2,

2

...SW5X(3)ZXg=5x(3)4022.

22

故選D.

3.【答案】A；

【解析】連接AD、DF、DB,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

.\ZABC=ZBAF=ZZAFE,AB=AF,/E=NC=120°,EF=DE=BC=CD,

ZEFD=ZEDF=ZCBD=ZBDC=30°,

VZAFE=ZABC=120°,

：.ZAFD=ZABD=90°,

在RtAABD和RtAFD中

[AF=AB

1AD=AD

ARtAAABD^RtAAFD,

.?.ZBAD=ZFAD=lxi20°=60°,

2

AZFAD+ZAFE=60°+120°=180°,

，AD〃EF,

AG、I分別為AF、DE中點(diǎn),

，GI〃EF〃AD,

，NFGI=NFAD=60°,

?.?六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，

AZEDM=60°=NM,

；.ED=EM,

同理AF=QF,

即AF=QF=EF=EM,

:等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)是a,

.?.第一個(gè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是L,即等邊三角形QKM的邊長(zhǎng)的工,

過(guò)F作FZ1GI于Z,過(guò)E作EN1GI于N,

則FZ/7EN,

VEF/7GI,

...四邊形FZNE是平行四邊形，

.?.EF=ZN=la,

3

VGF=lAF=lxJ：a=la,ZFGI=600（已證），

2236

AZGFZ=30°,

.?.GZ=3GF=L,

212

同理IN=」a,

12

.?.GI=J^+la+Aa=la,即第一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是工a,與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法

1231222

類似，可求出第二個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是工X°a：

32

同理第二個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是工xla,與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的方法類似，可求出第三

22

個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是

322

同理第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是工X』x」a,第四個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是工xlxlxJia；

2223222

第四個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是工義工義工義當(dāng)，第五個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是。xlxlxJixLi；

222232222

第五個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是工xlxlxJixL,第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是工X1x3xJ：xJ：x3a,

22222322222

即第六個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是］x

二、填空題

4.【答案】生二1

2

【解析】連接BE,

；在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF,

，BE〃AM,

AAAME與aAMB同底等高，

.,.△AME的面積=4AMB的面積，

，當(dāng)AB=n時(shí)，4AME的面積記為S?=ln2,

2

S?i=A(n-1)2=—n2-n+-l,

222

.?.當(dāng)n22時(shí)，Sn-S?-F2n-

2

故答案為：紅二1.

2

5.【答案】B；

【解析】如圖所示：

當(dāng)滾動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)E、F、A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E'、F'、A',連接A'D,點(diǎn)F',E'作F'G，A'D,

E'H±A,D,

?.?六邊形ABCD是正六邊形，

AZA,F'G=30°,

，A'G=1A(F'=1，同理可得HD=3,

222

:.A'D=2,

VD(2,0)

：.k'(2,2),OD=2,

；正六邊形滾動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)正好滾動(dòng)一周，

...從點(diǎn)(2,2)開始到點(diǎn)(45,2)正好滾動(dòng)43個(gè)單位長(zhǎng)度,

6

.?.恰好滾動(dòng)7周多一個(gè)，

工會(huì)過(guò)點(diǎn)(45,2)的是點(diǎn)點(diǎn)

故答案為：B.

n+l

6.【答案】(1)A4(16,2),B4(32,0)；(2)(2%2),(2,0).

【解析】(1)根據(jù)題意，A,的橫坐標(biāo)是16,縱坐標(biāo)是3,B」的橫坐標(biāo)是32,縱坐標(biāo)是0.

所以4(16,2),B4(32,0),

(2)由上題規(guī)律可知A”的縱坐標(biāo)總為2,橫坐標(biāo)為2,Bn的縱坐標(biāo)總為0,橫坐標(biāo)為2向.

n+l

所以A?(2%2),Bn(2,0).

三、解答題

7.【答案與解析】

(1)1,5,9,13,奇數(shù)2〃一1；4,8,12,16,偶數(shù)2〃.

(2)由(1)可知，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)R=2〃，.寸2=4—2〃(用總個(gè)數(shù)滔成去藍(lán)色小正方形的個(gè)數(shù)2〃)，根據(jù)

題意得萬(wàn)一2爐5義2〃，即方'—12爐0,解得爐0(不合題意，舍去)，爐12....存在偶數(shù)/;=⑵使得pJ5Pi.

8.【答案與解析】

解：⑴ADEF經(jīng)〃階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為，‘'S產(chǎn)竿

當(dāng)n=5時(shí)，S-當(dāng)2-9.77；

當(dāng)心6時(shí)，%=儂-2.44；

S6

當(dāng)n=7時(shí)，S7=-----20.61；

邑

.?.當(dāng)n=6時(shí)，2<S6<3；

⑵SJ=S“TXS,M；

9.【答案與解析】

解：(1)VZA=ZB=ZC,

.\3ZA+ZADC=360o,

ZADC=360°-3ZA.

V0<ZADC<180°,

AO°<360°-3ZA<180°,

.*.60°<ZA<120°；

(2)證明：???四邊形DEBF為平行四邊形，

/.ZE=ZF,fiZE+ZEBF=180°.

VDE=DA,DF=DC,

???NE二NDAE=NF=NDCF,

VZDAE+ZDAB=180°,ZDCF+ZDCB=180°,ZE+ZEBF=180°,

???ZDAB=ZDCB=ZABC,

???四邊形ABCD是三等角四邊形.

(3)①當(dāng)60。<ZA<90°時(shí)，如圖1,

過(guò)點(diǎn)D作DF〃AB,DE〃BC,

???四邊形BEDF是平行四邊形，NDFC=NB=NDEA,

/.EB=DF,DE=FB,

VZA=ZB=ZC,ZDFC=ZB=ZDEA,

AADAE^ADCF,AD=DE,DC=DF=4,

設(shè)AD=x,AB=y,

AAE=y-4,CF=4-x,

VADAE^ADCF,

?.AEJD,

.FF

?y-4x

,?------zz—，

4-x4

；.y=-ly+x+4=-L(x-2)?+5,

44

.?.當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是5,

即：當(dāng)AD=2時(shí)，AB的最大值為5,

②當(dāng)NA=90°時(shí)，三等角四邊形是正方形，

/.AD=AB=CD=4,

③當(dāng)90°<ZA<120°時(shí)，ND為銳角，如圖2,

VAE=4-AB>0,

AAB<4,

綜上所述，當(dāng)人口=2時(shí);AB的長(zhǎng)最大，最大值是5；

此時(shí)，AE=1,如圖3,

過(guò)點(diǎn)C作CM±AB于M,DN±AB于N,

VDA=DE,DN1AB,

.?.ANJAE」，

22

VZDAN=ZCBM,ZDNA=ZCMB=90°,

.,.△DAN^ACBM,

.AD_AN

"BC^BM"

AM=4,CM=JBC2-BM2=*^"^

AC=VAM2+CM2=^16+15=^I-

10.【答案與解析】

解：⑴：上(9-1)=4,-(9+1)=5；-(25-1)=12,-(25+1)=13；

2222

.,.7,24,25的股的算式為：-(49-1)=-(72-1)

22

弦的算式為：-(49+1)=-(72+1)；

22

⑵當(dāng)〃為奇數(shù)且〃>3,勾、股、弦的代數(shù)式分別為：n,-(步一1),-5+1).

22

例如關(guān)系式①：弦一股=1；關(guān)系式②：勾2+股,二弦？；

證明關(guān)系式①：弦一股=—(/?2+1)一一—1)——L(/72+1)一(n一1)]-1；

222

或證明關(guān)系式②：勾，+股2=//+[1(P2-1)]^1^+1^+---(/+1)，=弦?；

24244

二猜想得證.

⑶例如探索得，當(dāng)m為偶數(shù)且m>4時(shí)，

YYI

股、弦的代數(shù)式分別為：(竺),-I，

2

中考沖刺：觀察、歸納型問(wèn)題一知識(shí)講解(基礎(chǔ))

責(zé)編：常春芳

【中考展望】

主要通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動(dòng)，探索事物的內(nèi)在規(guī)律，考查學(xué)生的邏輯推理能力，一般

以解答題為主.歸納猜想型問(wèn)題在中考中越來(lái)越被命題者所注重.

這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢(shì)，

據(jù)此去預(yù)測(cè)估計(jì)它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情況相吻合，必要時(shí)

可以進(jìn)行驗(yàn)證或者證明，以此體現(xiàn)出猜想的實(shí)際意義.

【方法點(diǎn)撥】

觀察、歸納猜想型問(wèn)題對(duì)考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善于從

所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律.其中蘊(yùn)含著“特

殊般一一特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識(shí)新生事物的一般過(guò)

程.相對(duì)而言，猜想結(jié)論型問(wèn)題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合,

解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類比、比較、測(cè)量、繪圖、移動(dòng)等等，都能用到.

考查知識(shí)分為兩類：①是數(shù)字或字母規(guī)律探索型問(wèn)題；②是幾何圖形中規(guī)律探索型問(wèn)題.

1.數(shù)式歸納

題型特點(diǎn)：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后觀察猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，歸納出用

某一字母表示的能揭示其規(guī)律的代數(shù)式或按某些規(guī)律寫出后面某一項(xiàng)的數(shù)或式子.

解題策略：一般是先寫出數(shù)或式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比(比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系)

或縱比(比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系)找出各部分的特征，改寫成要求的格式.

2.圖形變化歸納

題型特點(diǎn)：觀察給定圖形的擺放特點(diǎn)或變化規(guī)律，歸納出下一個(gè)圖形的擺放特點(diǎn)或變化規(guī)律，或者

能用某一字母的代數(shù)式揭示出圖形變化的個(gè)數(shù)、面積、周長(zhǎng)等規(guī)律特點(diǎn).

解題策略：多方面、多角度進(jìn)行觀察比較得出圖形個(gè)數(shù)、面積、周長(zhǎng)等的通項(xiàng)，再分別取n=l,2,

3…代入驗(yàn)證，都符合時(shí)即為正確結(jié)論.

【典型例題】

類型一、數(shù)式歸納

C1.試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空：

(x-l)(x+l)=x2-l；

(x-l)(x2+x+l)=x3-l;

(x-l)(x3+x2+X+1)=x4-1;

則(為一1)(寸°+/+…+x+l)=

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)前幾個(gè)等式的規(guī)律，不難得出(X—l)(x"+x"T+…+X+1)=xn+l-l.

【答案與解析】

答案：x"-l

【總結(jié)升華】

此題歸納方法很多，注意每行數(shù)字的變化規(guī)律和符號(hào)規(guī)律.

舉一反三：

【變式1】觀察下列各式：

(X—1)(x+1)=x2—1;

(X—1)(x'+x+l)=Xt—1；

(x—1)(xl+x2+x+l)=x"-l；

(1)根據(jù)規(guī)律填空(x-1)(x"+x"-'+-+x+l)=_

⑵根據(jù)規(guī)律計(jì)算2100+2"+298+2974---+22+2+1=

【答案】(1)xn+1-l；(2)210,-l.

【高清課堂：觀察、歸納型問(wèn)題例1】

149

【變式2】按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為3-5-7-，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第5個(gè)

數(shù)是，第n個(gè)數(shù)是

25n2

【答案】

7T'2n+l

類型二、圖形變化歸納

(招遠(yuǎn)市期末)如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2012次閃爍

呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是()

a網(wǎng)

第一次第二次第三次第四次

【思路點(diǎn)撥】從所給四個(gè)圖形中可以得出每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置的規(guī)律即可算出2012

次之后的圖形.

【答案與解析】

解：易得每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°,即每4次旋轉(zhuǎn)一周，

V2012-r4=503,

即第2012次與第4次的圖案相同.

故選B.

【總結(jié)升華】找到圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)

呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是（)

☆☆☆☆

A.B.C.D.

【答案】A.

▼3.（2015?海寧市模擬）操作：將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形（如圖1）的每一邊三等分，以居中

那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個(gè)六角星（如圖2）,稱

為第一次分形.接著對(duì)每個(gè)等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過(guò)程，即在每條邊三等分后的中段向外畫等

邊三角形，得到一個(gè)新的圖形（如圖3）,稱為第二次分形.不斷重復(fù)這樣的過(guò)程，就能得到雪花曲線.

圖1圖2圖3圖4

問(wèn)題：

（1）從圖形的對(duì)稱性觀察，圖4是圖形（軸對(duì)稱或中心對(duì)稱圖形）

（2）圖2的周長(zhǎng)為；

（3）試猜想第n次分形后所得圖形的周長(zhǎng)為.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)圖形變化規(guī)律，圖4仍然關(guān)于原三角形的對(duì)稱軸成軸對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱中心成中心對(duì)稱；

（2）分形后，三角形的邊長(zhǎng)增加工變?yōu)樵瓉?lái)的且再乘以3就是周長(zhǎng)；

33

（3）每一次分形后，邊長(zhǎng)都變?yōu)樵瓉?lái)的第n次分形后邊長(zhǎng)就變?yōu)樵瓉?lái)的（W）“倍，再乘以3就是周

33

長(zhǎng).

【答案與解析】

解：（1）圖4是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形.

（2）根據(jù)題意，邊長(zhǎng)為工X4=W,

33

周長(zhǎng)為Wx3=4；

3

（3）n次分形，邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的（&）“倍,

3

周長(zhǎng)為3X（W）nXl=3X（W）n.

33

故答案為：中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，4,3X（J）

3

【總結(jié)升華】

此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律解決問(wèn)題.

類型三、數(shù)值、數(shù)量結(jié)果歸納

C色在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).已知點(diǎn)A（0,4）,點(diǎn)B

是x軸正半軸上的整點(diǎn)，記AAOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m.當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所

有可能值是;當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m=（用含n的代數(shù)式表

示）.

OT12345678910II1213x

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)題意畫出圖形，再找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與AAOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系即可求出答

案.

【答案與解析】

當(dāng)點(diǎn)B在（3,0）點(diǎn)或（4,0）點(diǎn)時(shí)，Z\AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)為（1,1）（1,2）（2,1）,共

三個(gè)點(diǎn)，所以當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是3或4；

因?yàn)锳AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)=[（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)T）X（點(diǎn)A的縱坐標(biāo)T）-3]+2,

所以當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí),m=[（4n~l）X（4-1）-3]4-2=6n-3；

故答案為：3或4,6n-3.

【總結(jié)升華】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與AAOB內(nèi)部（不

包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

【高清課堂：觀察、歸納型問(wèn)題例2】

【變式】（2016秋?寶應(yīng)縣期中）我們常常用火柴棒搭幾何圖形探究其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，如圖是用火柴棒搭

幾何圖形的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，請(qǐng)根據(jù)幾何圖形思考并完成下列問(wèn)題：

圖1

(1)填表:

圖形編號(hào)

火柴棒根數(shù)…

(2)搭第n個(gè)這樣的圖形需要根火柴棒；

(3)如果小紅現(xiàn)有123根火柴棒，用它可搭出個(gè)圖1大小的梯形.

【答案】

(1)圖1有5根火柴棒，圖2有9根火柴棒，圖3有13根火柴棒；

(2)搭第n個(gè)這樣的圖形需要5n-(n-1)=l+4n根火柴棒，故答案為：l+4n；

(3)設(shè)小紅現(xiàn)有123根火柴棒可搭出n個(gè)圖1大小的梯形，則l+4n=123,解得：n=301,

即小紅現(xiàn)有123根火柴棒可搭出30個(gè)圖1大小的梯形，故答案為：30.

類型四、數(shù)形歸納

5.在一平直河岸/同側(cè)有A,B兩個(gè)村莊，A,B到/的距離分別是3km和2km,AB=akm(a>l).現(xiàn)

計(jì)劃在河岸/上建一抽水站P,用輸水管向兩個(gè)村莊供水.

方案設(shè)計(jì)

某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：如圖①所示是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度

為d,(km),且4=PB+BA(km)(其中BP，/于點(diǎn)P)；如圖②所示是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管

道長(zhǎng)度為dz,且d2=知+23(如)(其中點(diǎn)人‘與點(diǎn)A關(guān)于/對(duì)稱，A'B與/交于點(diǎn)P).

BKp

觀察計(jì)算

(1)在方案一中，&=km(用含a的式子表示)；

(2)在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算&的長(zhǎng)，作了如圖③所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)

算，&=km(用含a的式子表示).

探索歸納

(1)①當(dāng)a=4時(shí)，比較大?。篸>4(填”或)；

②當(dāng)a=6時(shí)，比較大?。篸>4(填“>”、"="或''<")；

(2)請(qǐng)你參考方框中的方法指導(dǎo)，就a(當(dāng)a>l時(shí))的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度

較短，應(yīng)選擇方案