二次函數(shù)的圖像及一元二次方程和二次函數(shù)的關系

./第十五講二次函數(shù)的圖像與性質二次函數(shù)圖象的畫法1、二次函數(shù)的表示方法：1.一般式：〔,,為常數(shù),；2.頂點式：〔,,為常數(shù),；五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式,=由此可見函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的形狀、開口方向均相同,只是位置不同,可以通過平移得到。2、二次函數(shù)的圖像特征〔1二次函數(shù)<a≠0>的圖象是一條拋物線；3、二次函數(shù)的性質1.當時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點坐標為．當時,隨的增大而減??；當時,隨的增大而增大；當時,有最小值．2.當時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點坐標為．當時,隨的增大而增大；當時,隨的增大而減??；當時,有最大值．3.常數(shù)項⑴當時,拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時,拋物線與軸的交點為坐標原點,即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來,決定了拋物線與軸交點的位置．例1已知函數(shù)y=x2-2x-3,〔1把它寫成的形式；并說明它是由怎樣的拋物線經(jīng)過怎樣平移得到的？〔2寫出函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值；〔3求出圖象與坐標軸的交點坐標；〔4畫出函數(shù)圖象的草圖；<5>設圖像交x軸于A、B兩點,交y軸于P點,求△APB的面積；根據(jù)圖象草圖,說出x取哪些值時,①y=0;②y<0;③y>0.例2、求拋物線的對稱軸和頂點坐標。變式：2、例3、已知關于x的二次函數(shù)的圖像的頂點坐標為〔-1,2,且圖像過點〔1,-3?！?求這個二次函數(shù)的解析式；〔2求這個二次函數(shù)的圖像與坐標軸的交點坐標。變式：二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系〔二次函數(shù)與軸交點情況：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)：①當時,圖象與軸交于兩點,其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.②當時,圖象與軸只有一個交點；③當時,圖象與軸沒有交點.當時,圖象落在軸的上方,無論為任何實數(shù),都有；當時,圖象落在軸的下方,無論為任何實數(shù),都有．2.拋物線的圖象與軸一定相交,交點坐標為,；3.二次函數(shù)常用解題方法總結：⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標,需轉化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大〔小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉化為頂點式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中,,的符號,或由二次函數(shù)中,,的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結合；⑷二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱,可利用這一性質,求和已知一點對稱的點坐標,或已知與軸的一個交點坐標,可由對稱性求出另一個交點坐標.⑸與二次函數(shù)有關的還有二次三項式,二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例,揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：〔,,為常數(shù),；2.頂點式：〔,,為常數(shù),；3.兩根式：〔,,是拋物線與軸兩交點的橫坐標.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點,選擇適當?shù)男问揭话銇碚f,有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點的坐標,一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大〔小值,一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標,一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點,常選用頂點式．例1、拋物線y=x2-8x+c的頂點在x軸上,則c等于<>A.－16B.－4C.8D.16例2、已知拋物線〔k為常數(shù),且k＞0．證明：此拋物線與x軸總有兩個交點；練習1、已知關于x的二次函數(shù)y=2x－〔3m+1x＋m〔m>1.證明使y=0的x的值有兩個；例3、已知關于x的二次函數(shù)y＝x2－〔2m－1x＋m2＋3m＋4.探究m滿足什么條件時,二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點的個數(shù).例4、已知：關于x的函數(shù)的圖象與x軸總有交點,的取值范圍是〔A、＞B、≥且≠0C、≥D、＞且≠0練習1、關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根,則拋物線的頂點在〔。A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例5、拋物線的部分圖象如圖所示,則方程的兩根為.練習：二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c〔a≠0的圖像如圖所示,根據(jù)圖像解答下列問題：寫出方程ax2＋bx＋c=0的兩個根；寫出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范值；若方程ax2＋bx＋c=k有兩個不