二次同余式和平方剩余

第五章二次同余式和平方剩余一般二次同余式為進而有(a,p)=1P=2時可直接驗證x=0，1是否是方程的解，對一般奇素數(shù)有(p,2)=1,同余式兩邊同乘4a有從而變成最簡形式下面我們討論這一類方程什么時侯有解，有多少解，如何求解等問題.

§1歐拉判別條件定義：m>0,(a,m)=1,若對于整數(shù)a,有解，則稱a是模m的平方乘余;否則，稱a是模m的平方非乘余。對于有下面的定理。證：先證(3),設(shè)是方程的解，則-也滿足方程，但不同余于-關(guān)于模p,否則有即因為(p,a)=1,所以有,不可能，所以方程至少有兩解，又因方程的數(shù)不超過次數(shù)，恰有兩解。定理：（歐拉判別定理）p>2,(a,p)=1,則有(1)a是模p的平方乘余的充要條件是(2)a是模P的平方非乘余充要條件是(3)a是模p的平方乘余,則有兩解(1)因為(a,p)=1,由歐拉定理知即有即或但上兩式不能同時成立，否則有又若a是模P的平方乘余，則有兩解，由定理知為p的倍數(shù),有反之若則由定理知有解.（2）若a是模P的平方非乘余，則不是P的倍數(shù)，即不成立，只有反之也對。例：用歐拉判別定理判別是否有解。解：由歐拉判別定理所以無解。從上可知用歐拉判別定理判別當(dāng)模比較大時，就比較麻煩，從理論上說a是否為平方乘余，只要在P的簡化系中去找即可，且若a是平方數(shù)則一定為平方乘余，那么在P的簡化系中有多少個是平方乘余呢？我們有定理：在模P的簡化系中，平方剩余和平方非剩余余各為個且個平方乘余分別與之一同余，而且僅與一數(shù)一同余。證明如下:證：由歐拉判別定理知平方剩余的個數(shù)是的解數(shù)。但其余式為0，由定理知有個解，即平方乘余的個數(shù)為從而平方非剩余的個數(shù)為p-1-=個。又中每一個數(shù)都是平方剩余，

所以有解，(i=1，2…),且兩兩不同余，因為若

則有

這是不可能的，所以中兩兩不同余。

注：洋上述咸定理犁給出背了找鹿平方物剩余拾的比親比較車簡單偷的辦侍法。例1：求綠素數(shù)7的平增方剩問余和斑平方講非剩呢余解：棒因為1，4是平柄方數(shù)跳，所關(guān)以是刊平方蜓剩余溫，又9關(guān)于7同余湊于2，所幫以2也是7的平健方剩針余，食則在7的簡燒化系褲中已旅經(jīng)找雷到了3個平故方剩徹余，灑則另影外3個數(shù)3，5，6是7的平舍方非駝剩余角。常見判素數(shù)粘的平時方剩濤余和贈平方勵非剩像余如帶下：占素嶼數(shù)泊平方豈剩余喇平方策非剩精余P=芬3，1套2P=憶5痕1，4恐2，3P=待7炕1，2，4蔑3，5，6P=俊11腹1，4，9，5，3迎2，6，7，8，10P=峽13棄1，4，9，3，12，10吐2，5，6，7，8，11歐拉甩判別卷定理研從理效論上須這對攤判別壓一般州的a是否纏有解排已經(jīng)王是完飄善了皺，但拒缺點鮮是計日算量謝比較垮大。打為了室彌補眉計算堅量大叔的不談足，摔我們答要引估進了艷勤讓稍德符兵號，偶使得桑判別覽更簡浩單?！?勒讓敘德符莖號定義：p是一職個給夕定的夢奇素捏數(shù)，培對于幟整數(shù)a定義績勒讓次德符諒號例：為了血更方孔便地羊計算焰勒讓紹德符吧號，哀我們溪給出萌其相趣關(guān)的票性質(zhì)鄙，即因有下籍面的桃定理寨。定理1：（1）（2）（3）（4）（5）證：筒（1）由惰定義屆可得.（2）若P|歡a，則P|鳳b，由定史義有又若惰（P，a）=1，則有由于軟兩邊什只能曠取1或-1，所魂以只珍能相原等。（3）由巧定義芬若款，則抽有郵則兩貓邊都闊為零蝦相等若蜜，反則糠有由于荷兩邊枝只能炒取1或-1，所范以只腰能相蜂等。（4）顯昌然。（5）由爐定義由于艦兩邊舌只能待取1或-1，所坑以有定理2：設(shè)p是奇孩素數(shù)揚，則鞏有證：塑因為把上煤述盆個既式子陪相乘據(jù)得因為從而窩證明械了結(jié)狠論。定理3：（獵兩次袖互反明律）方設(shè)p，q是兩背個不爭同的奇素澇數(shù)，則青有證：駐（略糕）注：利摸用兩薄次互致反律草可以飼使求摔勒讓園德符敢號變賭得更錘簡單。例1：設(shè)p=4n+3是素子質(zhì)，小試證閥當(dāng)q=2p+1也是矩素數(shù)納時，老梅素逮數(shù)Mp不是倡素數(shù)碑。證：∵q=8n+7鉗,∴q|24n+3-1，即q|Mp，∴Mp不是兩素數(shù)改。例2：證贊明形泄如4m+1的素綿數(shù)有筍無窮芝多個衰。證：悲假設(shè)暢形如4m+1的素眾數(shù)只山有有鏡限個出，設(shè)本為p1…pk，顯然(2p1…pk)2+1的最明小素氣因數(shù)p是奇展數(shù)，們且p與p1…pk不同設(shè)p為4m+3形的特素數(shù)法，但p整除(2p1…pk)2+1，表明(2p1…pk)2+1跳≡0（mo尚d稈p）即x2≡(踐-1摔)(忍mo長dp)有解簽，即碎，但涂矛繡盾，∴p為4m+1形，討這與4m+1的素但數(shù)只撲有k個矛斑盾。例3：證比明不量定方幟程x2+2文3y=1久7無解貴。證：悉只要篇證x2≡1雹7(坐mo洽d稠23潮)無解獸即可許，∵啊17適≡1環(huán)(m腹od納4煙)∴∴x2≡1銳7(腳mo尊d漸23游)無解番，即朽原方字程無蜘解。例4：若3是素爹數(shù)p平方京剩余號，問p是什候么形斜式的見素數(shù)車？解：∵由反明轉(zhuǎn)定院律得，注意塊到p>3，p只能弟為且∴只能限下列杏情況孤或∴或§3雅可比符號對于掃勒讓壁德符衰號景可以昨判別犬是兄否有怨解，蝦但對屆于搖判膚別是哄否有京解，衫理論晨上可逝化為然后剪進行死綜合誤判別獵，但后這是葛不容斤易的疲，為陷此介否紹一律個更劇為實務(wù)用的扔符號定義稠：給捷定正失奇數(shù)m=對任撐意的惹整數(shù)a定義稱傳為雅景可比謝符號注：1、雅敬可比隙符號溝是勒渴讓德灰符號臣的愧推廣揉。2、雅撇可比洗符號奔為1時，澡不媽一定則有解踢。例,但作無解擴。3、雅秧可比在符號勺為-1時，值則一定贏無解碼。因為躍若=-閉1，則鄙至少悲有一繞個i使得=-線1,即爪無解蔬，則從無均解.下面豈給出磁雅可稅比符水號的捕類似墊于勒揉讓德歸符號隆性質(zhì)赤，定理1:(1夕)(2蕩)(3和)(4碼)定理2：設(shè)p是正潔奇數(shù)鉆，則鎮(zhèn)有定理3：（喉兩次誼互反皇律）液設(shè)p，q是兩判個不祖同的開正奇勺數(shù)，字則有關(guān)于胸雅可賀比符邪號這常一些恨性質(zhì)慮在此該就不語一一癢證明際了，叼關(guān)鍵門是要搶用雅們可比跨符號悄的性扒質(zhì)為悔計算蝕勒讓此德符繳號福提供艇方便爽，即積我們?nèi)梢詫O在計決算勒塘讓德煤符號扛時把畢其當(dāng)宋成是豆雅可冊比符德號，團這樣窩就不響要求怖是奇堤素數(shù)論的條年件了艱。來判攏別下足面的骨方程脂是否淋有解銜。例1：仔判別慨是快否有持解？解：微因為56飲3=辱7*蔽80腿+3咐,又所以推原方貍程無投解。注：涂在計遇算勒姜讓德須符號疊時，此可以囑不要婦管14錦3是否均為素稈數(shù)而高直接疫用二樹次互查反律蝕，為丑計算市提供徐了方留便。例2：若位則p不能峽寫成號的運形式證：荒若p=另,則有辰若P|援x,則有p|窮y于是互可設(shè)于是驗有菠，不冬可能珠。所以吸有(p接,x荒)=緣瑞1,則有矛盾睬，所暴以假壓設(shè)錯胃誤，p不能大寫成東的形超式。例3：證昌明：位形如8k霸+7的素泡數(shù)有扯無窮速多個綱。證：政假設(shè)悲形如8k架+7的素本數(shù)只裂有有僵限多鞏個，害設(shè)為孫共k個，查記設(shè)q是N的素嫁因數(shù)沸，則包有則q=更8k窮+1或8k表+7遞.若N的所毫有素放因數(shù)債都是8k賽+1的形盟式，妖則N也是8k略+1的形侮式，潔但任田何數(shù)柱的平脊方用8模同輛余1，有窗有盟矛盾注，輕說撫明N至少椒有一筍個8k格+7的素改因數(shù)q,顯然q不同深于(i向=1留,2汪,.蟲.k臭),這與8k頑+7的素餡因數(shù)口只有k個矛黎盾，懸所以登假設(shè)盯錯誤違，即具形如8k抱+7的素驢數(shù)有射無窮偏多個蜘?！?合數(shù)罪模兩些次同梁余方鼻程下面唱討論羨有解告的條她件和叼解數(shù)設(shè)剛，匙為歷奇素禾數(shù)。首先似上述悲方程晶等價模于方您程組（*捷）定理1：設(shè)P是奇淡素數(shù)久，（a，p）=1，則有（1）若=-飾1，則鼓無解啞。（2）若=1，則稀有兩事解。證（1）顯床然（2）若今有解免，則協(xié)有解微，所轉(zhuǎn)以有=1。反之砌，若=1，則堡恰悟有兩繭解，尖記為陣，辟由于狀（p，a）=1針,所以紹又因p為奇家素數(shù)踏，所喇以有(p，2）=1則柄，趙所以躁有孟由上芬一章汪的定姻理知樓有抄解，蠢并由都此可得夜到得的兩迎解。定理2：若(a脅,2法)=負(fù)1，則（1）=1時，畜有戒一解（2）=2時，遙有解每的充嬸要條異件是a=筑4k吧+1，且若盞有解素，則齒有兩觸解。（3）尼時，腥則般有解序的充湊要條通件是a=煤8k抹+1，且若合有解機，則歲有四角解。證：冶若錢有糟解，豆則x為奇贈數(shù)，吸設(shè)x=傳1+訊2t代入柳得當(dāng)=2時，挎則有當(dāng)糠時，饅則當(dāng)=1時，叉顯然折是方俘程的腔解反之悶若上柳述條嗓件成