一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題探討

參賽隊伍編號：0400017參賽隊伍編號：0400017論文標題：一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題探討論文標題：一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題探討一組擺桿滑塊機構(gòu)的

相關(guān)問題探討華東師范大學王萌趙亞男王慧參賽隊伍編號：0400017參賽隊伍編號：0400017論文標題：一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題探討 論文標題：一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題探討 #摘要本文通過對一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題進行分析，探討在不同假設情況下擺動機構(gòu)中各個構(gòu)件的運動學特性，通過建立數(shù)學模型，主要解決以下幾個問題:1、 滑塊P的位移x與曲柄搖桿OQ的擺角1的函數(shù)關(guān)系；2、 曲柄搖桿OQ的擺角1的變化范圍；3、 滑塊P的行程（即滑動的最大距離）；4、 討論滑塊P的運動學特性。在前三個問題中，我們推導出了三種假設情況下對應的不同的結(jié)果， 在模型的求解過程中，我們運用C++語言進行編程調(diào)試（見附錄〈一〉）；在第四個問題中，在前三個問題的基礎(chǔ)之上，我們探討了影響滑塊P的運動速度的關(guān)鍵因素，并推導出具體的數(shù)學公式。在模型的求解過程中，通過數(shù)學軟件MATLAB?計算工具，編寫相應的程序（見附錄〈二〉），并用幾何畫板描繪圖像，對建立的模型進行求解，得出了符合實際的結(jié)果。論文的最后引申推廣到現(xiàn)實生活中存在的物理機械模型一一“牛頭刨床” ，因為本文中的模型實際上是通過曲柄搖桿的轉(zhuǎn)動，帶動滑塊的滑動的過程，這在實際生活中，很類似于牛頭刨床的工作原理。曲柄搖桿滑塊機構(gòu)關(guān)鍵詞曲柄搖桿滑塊機構(gòu)關(guān)鍵詞位移極值點 擺角變化范圍 運動學特性正文部分一、問題的重述及簡要分析問題的重述：某種平面連桿擺動機構(gòu)的結(jié)構(gòu)和某時刻的位置如圖1所示，擺桿OQ繞O點擺動，通過連桿PQ帶動滑塊P水平往復運動，設擺桿長O3r，連桿長PQ-1,擺角中心O到滑軌O'P的距離為h，且r<hv|+r.根據(jù)這個擺動機構(gòu)使用的一般要求，作出適當?shù)募僭O，解決以下問題：）P的位移x與擺角一：的函數(shù)關(guān)系；）擺角1的變化范圍；）滑塊P的行程（即滑動的最大距離）；）討論滑塊P運動速度的均勻性。簡要分析：上述模型是典型的曲柄搖桿擺動機構(gòu)的模型，主要是通過兩桿（曲柄搖桿）的轉(zhuǎn)動帶動滑塊的水平移動，而我們就是要在一定的假設條件下，研究該機構(gòu)中各個構(gòu)件的運動學特性。我們下面對此模型作出必要的假設，從而對此進行分析求解。二、問題的假設與模型的建立求解提出假設在建立模型求解之前，為了方便問題的討論，我們做出下述假設：1：滑塊在運動過程中不受摩擦力作用；2:系統(tǒng)在轉(zhuǎn)軸點和曲柄連接處無摩擦；3:不考慮OC和QP兩桿的重力；4：兩桿OQ與QP在運動過程中不會阻礙彼此相互運動 （如：當l-r>h時，兩桿運動到同一直線上時不會發(fā)生摩擦。）建立模型并求解（1） P的位移x與擺角1的函數(shù)關(guān)系;如圖（1）所示，規(guī)定滑塊P的位移x向左為正，并設O點處的位移x=0,OP二x機構(gòu)的約束方程為：rsinlsinJ-hrcos：x=Icos’.消去參數(shù)二可得x關(guān)于1的函數(shù)關(guān)系為：x()=\'12_(h_rsin)2_rcos

（2） 擺角一：的變化范圍；（3） 滑塊P的行程（即滑動的最大距離）;（為了求解的需要，上述兩題放在一起求解）/////:O'P P廠如圖（2）所示，當PQ垂直于x軸時，滑塊P運動至最右端，此時的擺角應為最小值Fn，由幾何關(guān)系可得:h-1二arcsin而滑塊p的最小位移出現(xiàn)在PQ與OQ在一條直線上時:xmin…\/(lr)2-h2由擺桿的擺動關(guān)于法線OO'對稱，如圖（3），則由對稱性，最大擺角應為:P=n-maxh-IP=n-max- ■-arcsinminr而滑塊P的最大位移出現(xiàn)在PQ與OQ在一條直線上時:Xmax=J(l r)2-『所以擺角的變化范圍為:己［arcsin^—arcsi己［arcsin^—arcsi- r r一JI滑塊P的行程區(qū)間為:「J(l「J(l+「2所以滑塊P的行程為：r)2-h2*(l r)2-『.x二Xmax-Xmin二2\/(l -『對模型的近一步探討1、 當Irh時：桿OC與OP會運動至最低點，此時兩桿重合，滑塊在慣性的作用下會向右運動，從而OQ會轉(zhuǎn)動360度。這時擺角1可以取任意值，P的行程區(qū)間為x-\'(lr)2-h2,\'(lr)2-h2備注：如轉(zhuǎn)動至最低點后又沿原路返回，或者在最低點靜止不動了，則滑塊P只會在坐標軸OO的左平面內(nèi)運動。但這兩種情況在理想化模型應該不會出現(xiàn)，因為我們假設在沒有摩擦力的情況下，慣性會使滑塊向右運動。2、 當lrh時：此時滑塊只能在負半軸或正半軸部分做往復運動。下面我們以負半軸為例討論(正半軸情況同理)桿OC與QP在向右轉(zhuǎn)動的過程中，當轉(zhuǎn)動到圖示位置(見下圖)時，滑塊在A處達到最小位移為J2-(hr)2然后在桿的作用下，滑塊會反向運動，從而到達B點，即桿02QP成一條直線處，此處對應于滑塊的最大位移\'(1 r)2-h2xx（4）討論滑塊P運動速度的均勻性在前面第（1）問中，我們已經(jīng)討論得出x（：）=j2-（h-rsin：）2-rcos-因此，我們對x（■）關(guān)于1求導，可得dx一xr、一rsin：rcos（rsin「h）

--x（）一rsin卜 =dP Jl2-（h-rsin卩）2（這里，為了便于后面的討論，我們設此結(jié)果為k,顯然k不是常數(shù)），從而dxdxd.dv k-dtddtdt〈一〉、首先，我們從最簡單的情況考慮：dp假設桿OQ勻速轉(zhuǎn)動，則有——二c（即角速度?二c）,其中c為常數(shù)，此dt時，［與t是線性函數(shù)關(guān)系，我們假設v=kc從上述解析式可以看出，V的變化完全依賴于1的變化而變化，我們利用幾何畫板軟件，可以模擬出以下圖像

當hJ-r時，arcsinl^1，禦「arcsinl^11 r r」（假設h=4,l=3,r=2,c=1）＜二〉假設桿OC非勻速轉(zhuǎn)動時，即轉(zhuǎn)動的角速度?■為變量當＜二〉假設桿OC非勻速轉(zhuǎn)動時，即轉(zhuǎn)動的角速度?■為變量（假設h=4,l=5,r=2,c=1）我們給出下面幾種［關(guān)于t的特殊函數(shù)關(guān)系:①如果，tadtatadd:~dtdxdt「kJ：d：dtdx0-屯.A2-q1—1— i11'■1' I*il5■12ir叱rJl利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像:當hJ-r時,（假設h=4,l=3,r=2,a=2）-arcsin口，二-arcsin

r圖（7）h-lr3nu■L"M, JL |_LLLe| -T■-I15■12ir dL_l 當h^l-r時，1可取任意值（假設h=4,l=5,r=2,a=2）圖（8）②如果］=at,則通過求導得到v=k上lna利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像:2-丄 11*1-11|■'*113?12ir一衛(wèi)一圖（9）

當h.丨—r時，h-1 .h-1arcsin ，黛一arcsin1 「 r」（假設h=4,l=3,r=2,a=2）當h^l-r時，1可取任意值（假設h=4,l=5,r=2,a=2）k③如果［二lOgat,則通過求導得到八：a5a那么利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像:當hJ-r時，h-1 .h-1arcsin，二-arcsin[ r' r」（假設h=4,l=3,r=2,a=2）當h叩—r時，1可取任意值（假設h=4,l=5,r=2,a=2）備注：⑴［關(guān)于t可以有各種函數(shù)關(guān)系，以上我們只給出幾種較為常見的情況。⑵上述函數(shù)圖像我們利用幾何畫圖版工具模擬而得，也可以運用數(shù)學軟件MATLA模擬，我們在附錄〈二〉中給出了源程序三、模型的評價與改進我們在討論過程中，假設了滑塊P沒有重力，與滑軌之間沒有摩擦，且不計兩桿的重力。但有時這些假設不會成立，這時我們得到的結(jié)果就會完全不同。這里我們考慮滑塊P與滑軌之間沒有摩擦，此時也分為幾種情況：若此滑軌十分粗糙，兩桿重力可以小到忽略不計，那么滑塊P很可能就會靜止不動；若滑軌表面的粗糙程度是均勻的，則可以設摩擦系數(shù)是□，通過受力分析來求解；若滑軌表面的粗糙程度是不均勻的，那么就很難把握其受力大小以及加速度大小等。但是一般在實際情況下，連桿擺動機構(gòu)中O處的質(zhì)量很大，而滑塊P重力、兩桿重力以及摩擦力均可以忽略不計，即可得到我們前面的分析結(jié)果。此外，在第四問的討論中，由于不能確定B與t的確切關(guān)系，所以我們只假設了幾種情況，還有許多種情況例如正弦函數(shù)關(guān)系、余弦函數(shù)關(guān)系等等。這里只要給出［與t的一種關(guān)系，均可用上述討論的方法得到相應的x與t的關(guān)系。即-的關(guān)系。即-二f(t)t二ddtt二ddtf'C)二f(t)dxdxv二dtddi

dtdxdxv二dtddi

dt二kf(t)二kf(「())若要使P勻速運動，即dxv二dtdxd-rsinrcos：(rsin：dxv二dtdxd-rsinrcos：(rsin：-h)dtJl2_(h_rsinP)2」dcdtddtrsinrcos(rsin-h)I2-(h-rsin)2II2-(h-rsin)2f(t)=.rcos?(rsin卩-h)dtrsin-f(t)=四、模型在實際生活中的運用該模型實際上是通過曲柄搖桿的轉(zhuǎn)動，帶動滑塊的滑動的過程，這在實際的模型中，很類似于牛頭刨床的工作原理。牛頭刨床牛頭刨床，刨床的一種，利用住復運動的刀具切割已固定在機床工作平臺上的工件〔一般用來加工較小工件）。機床的刀架似牛頭，故名。滑枕帶著刨刀，作直線住復運動的刨床，因滑枕前端的刀架形似牛頭而得名。牛頭刨床主要用于單件小批生產(chǎn)中刨削中小型工件上的平面、成形面和溝槽。中小型牛頭刨床的主運動（見機床）大多采用曲柄搖桿機構(gòu)（見曲柄滑塊機構(gòu)）傳動，故滑枕的移動速度是不均勻的。大型牛頭刨床多采用液壓傳動，滑枕基本上是勻速運動?；淼姆祷匦谐趟俣却笥诠ぷ餍谐趟俣?。由于采用單刃刨刀加工，且在滑枕回程時不切削，牛頭刨床的生產(chǎn)率較低。機床的主參數(shù)是最大刨削長度。牛頭刨床主要有普通牛頭刨床、仿形牛頭刨床和移動式牛頭刨床等。普通牛頭刨床（見圖）由滑枕帶著刨刀頭刨床和移動式牛頭刨床等。普通牛頭刨床（見圖）由滑枕帶著刨刀作水平直線住復運動，刀架可在垂直面內(nèi)回轉(zhuǎn)一個角度，并可手動進給，工作臺帶著工件作間歇的橫向或垂直進給運動，常用于加工平面、溝槽和燕尾面等。仿形牛頭刨床是在普通牛頭刨床上增加一仿形機構(gòu)，用于加工成形表面，如透平葉片。移動式牛頭刨床的滑枕與滑座還能在床身（臥式）或立柱（立式）上移動，適用于刨削特大型工件的局部平面。牛頭刨床主要由床身、滑枕、刀架、工作臺、橫梁、底座等組成。主要組成部分的名稱和作用如下：?床身它用來支承刨床各部件。其頂面燕尾形導軌供滑枕作往復運動用，垂直面導軌供工作臺升降用，床身內(nèi)內(nèi)部安裝有傳動機構(gòu)。?滑枕主要用來帶動刨刀作直線往復運動。前端安裝刀架。3?刀架用于夾持刨刀。搖動上端刀架手柄，可使刨刀上下移動；松開轉(zhuǎn)盤上的螺母，將轉(zhuǎn)盤扳轉(zhuǎn)一定角度，可實現(xiàn)斜向進給。滑板上還安裝有可偏轉(zhuǎn)的刀座。抬刀板可以繞刀座橫軸向上抬起，刨刀在返回行程時，抬刀板抬起，減少刨刀與工件的摩擦。4.工作臺用來安裝工件。它可以隨橫梁作上下調(diào)整運動，也可沿橫梁作水平方向的移動和進給運動。牛頭刨床的傳動機構(gòu)搖臂機構(gòu)搖臂機構(gòu)安裝在刨床內(nèi)部，其作用是把電機傳來的旋轉(zhuǎn)運動變成滑枕的往復直線運動。搖臂機構(gòu)是由搖臂齒輪和搖臂等組成，如圖。搖臂的下端與支架相連；上端與滑枕的螺母相連。搖臂的滑槽與搖臂齒輪上的偏心滑塊相連。當搖臂齒輪由小齒輪帶動旋轉(zhuǎn)時，偏心滑塊帶動搖臂繞支架中心左右擺動，使滑枕作往復直線運動。圖8/39搖臂機構(gòu)、刨削前，要調(diào)整滑枕的行程大小，使之略大于工件刨削表面長度。調(diào)整滑枕行程長度的方法是改變搖臂齒輪上滑塊的偏心位置，轉(zhuǎn)動方頭便可使滑塊在搖臂齒輪的導向槽內(nèi)移動，從而改變其偏心距。偏心距越大，滑枕的行程越長。刨削前，還要根據(jù)工件的左右位置來調(diào)節(jié)滑枕的行程位置。方法是先使搖臂停留在極右位置，松開鎖緊手柄，用扳手轉(zhuǎn)動滑枕內(nèi)的圓錐齒輪使絲桿旋轉(zhuǎn)，從而使滑枕右移至合適位置，然后擰緊手柄。棘輪機構(gòu)，棘爪架空套在絲桿軸上，棘輪由鍵和絲桿相聯(lián)。搖臂軸旋轉(zhuǎn)時，通過齒輪轉(zhuǎn)動，帶動偏心銷，使連桿拉動棘爪架往復擺動。搖臂齒輪軸每轉(zhuǎn)動一周，刨刀往返一次，棘爪架即往復擺動一次。棘爪架上裝有棘爪，借彈簧壓力使棘爪與棘輪保持接觸。搖桿向前擺動時，棘爪的垂直面推動棘輪；搖桿向后擺動時，棘爪的斜面從棘輪上滑過，而棘輪不動。因此棘爪架每往復擺動一次，即推動棘輪向前轉(zhuǎn)動若干齒，從而使工作臺沿水平方向移動一定距離，實現(xiàn)自動進給。改變棘爪的前后方向，即可改變工作臺的進給方向。若將棘爪提起，則棘爪與棘輪分離，自動進給停止，此時，可用手動進給。工作臺進給量的大小，可通過調(diào)整棘輪罩的位置，即使棘輪罩遮住棘爪擺動范圍內(nèi)的部分棘齒，改變棘爪每次撥動的有效齒數(shù)進行改變。調(diào)節(jié)進給量的另一種方法是改變偏心銷的偏心距離，偏心距小，則每次棘爪每次撥動的齒數(shù)少，進給量就?。环粗M給量就大。刨削加工的主運動為刨刀的直線運動，刨削為單向加工，向前為加工行程，返回為空程。刨刀每次返回后，工件作橫向的間歇移動是進給運動。五、參考文獻:李海濤，鄧櫻，MATLABS序設計教程，北京：高等教育出版社，2002趙靜，但琦，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，北京：高等教育出版社， 2004。朱龍根主編，機械設計，北京：機械工業(yè)出版社， 2006。附錄：程序清單〈一〉前三題我們所運用的C++程序如下：//Prol.cpp#inelude<iostream>#include<cmath>usingnamespacestd;voidmain(){doubler,l,h;cout<<"請輸入擺桿OQ的長度r："<<endl;cin?r;cout<<"請輸入連桿PQ的長度I:"<<e