高二數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)學(xué)案：課程整合《數(shù)列求和》（第2課時(shí)）

第二章數(shù)列

課程整合1數(shù)列求和18

**學(xué)習(xí)目標(biāo)**

1.掌握數(shù)列求和的方法；

2.能根據(jù)和式的特征選用相應(yīng)的方法求和.

**要點(diǎn)精講**

1.公式法：等差、等比數(shù)列求和公式；

/1

公式：2-=仔+22+32+???+〃2=++

M6

L

n1

Z公=「+23+…+〃3=_〃(〃+1)等.

k=\_2_

2.錯(cuò)位相減法：若｛4｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列，則求數(shù)列｛4/“｝的前〃項(xiàng)和S,,

常用錯(cuò)位相減法。

3.裂.項(xiàng)相消法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，

只剩有限項(xiàng)。

4,分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列。

5.并項(xiàng)求和法：特點(diǎn)是數(shù)列的前后兩項(xiàng)和或差可以組成一個(gè)我們熟悉的數(shù)列形式

6.倒序相加法：類(lèi)似于等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

**范例分析**

例1.求和：S“=l+(l+g)+(l+q+q2)+…+(1+[+夕2+…+/).

]_________

例2.(1)已知數(shù)列｛q｝滿足a.求s,,0

VMVM+1(VM+1+Vn)

(2)已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式a“=/—，求S,,。

〃+2〃

4〃2

(3)己知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式an=--------------,求S”。

(2/7-1)(2M+1)

(4)求和：5=1+---H--------+???+--------------

1+21+2+31+2+3+…+〃

例3.(L)求和：Sn=1X2+2X3+3X4+---+M(M+1)

(2)求和：S,=—1+3—5+7—9+…+(—1)"(2〃—1)

(3)已知函數(shù)對(duì)一切xeH,/(x)+/(l-x)=l?

12n—277—1

求和：S=/(0)+/(-)+/(-)+-??+/(-)+/(-)+/(1)?

nnnn

例4.在等差數(shù)列｛為｝中，首項(xiàng)4=1,數(shù)列｛a｝滿足〃=(3"''，且6回4=」-。

264

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：+a2b2+…+。也<2。

**規(guī)律總結(jié)**

1.在例1中，把和式看成是某個(gè)數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和S,,,把每一項(xiàng)按通項(xiàng)形式分開(kāi)，然

后分組求和。

2.常用結(jié)論：,————j=-/,lg(lH—)—lg(M+1)—1grt,

+l7n+ln

11111/1、

---------=-----------，.-----------=-(------------)，

+nn+1〃(〃+2)2n及+2

1111111l、

----------7~~—(z-------------------(z-------)x(/p<q)，

%(/+")danan+dpqq-ppq

-------------=一(---------------------)O

/2(?+1)(?+2)2M(M+1)("+1)(”+2)

2.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)最好列出前3項(xiàng)和末3項(xiàng)；

3.對(duì)和式中通項(xiàng)作結(jié)構(gòu)分析，確定選用哪個(gè)方法.

**基礎(chǔ)訓(xùn)練**

一、選擇題

1.已知數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和S,=1-5+9-13+17-21+…+(-1廣(4”一3),

則$+S22-S3I等于()

A.13B.-76c.46D.76

2.數(shù)列1x4,2x5,3x6,—,〃(〃+3),…則它的前〃項(xiàng)和=()

A.；〃(〃+1)(〃+2)B.；〃(〃+1)(〃+3)

C.g〃(〃+l)(〃+4)D?g"(〃+l)(〃+5)

3.和式l+(l+2)+(l+2+22)+…+(l+2+22+...+2"T)=0

A.2,,+'-M-2B.2H+1-M-1C.2),-M-2D.T-n-\

4X1299100

4.已知/(x)=^—,貝iJ/X-i-l+ZX三)+…+/(工)+/(以)=()

4x+2101101101101

A.100B.51.C.50.5D.50

5.和式lx—F4x—F7x—+(3/2—2)x—=()

2482〃

.3〃+4)〃+4.3w+4...[

A.4---------B.3--------C.4----------D.2〃一九一1

2"2"2"

二、填空題

11

6.求和:--------1-----------J-…H-----------------------------

1x44x7(3〃-2)x(3〃+l)

7.設(shè)S“=—『+2?-32+42+--(2〃-1)2+(2〃)2,則S“=

8.已知a“=f+2?+3?+…+〃2,2=*+1貝+8+4+…+〃=____。

a”

三、解答題

9.已知點(diǎn)列￡(%,“,)在直線/:歹=2x+l上，片為直線/與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列｛%｝

的公差為1(〃wN*)

(I)球｛4｝、也J的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)6=;^[(〃22)，求G+G+…+c,i+G。

10.已知函數(shù)/(X)滿足對(duì)于任意的實(shí)數(shù)XJ,都有/(x+y)=/(x)/G),且/(1)=；。

(1)求/(2),/(3)的值；

(2)求證數(shù)列｛/(〃)｝為等比數(shù)列：

(3)設(shè)a〃=(〃+1)?/(〃)，〃EN",求證：6+生+…+%<3.

**能力提高**

q+s*+…+s

11.有限數(shù)列〃=｛%,%「??,%｝,S,,為其前〃項(xiàng)和，定義烏一^----乙為/的，，凱森

n

和“；如有99項(xiàng)的數(shù)列｛6,/，…，縱｝的“凱森和”為1000，則有100項(xiàng)的數(shù)列

｛1嗎,。2,…的“凱森和'’為（）

A.1001B.999C.991D.990

2"-1（〃為奇數(shù)）

12.（1）已知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式4=4,求數(shù)列｛4｝