自動(dòng)控制理論chapt

第七章離散系統(tǒng)分析與校正本科生專業(yè)課程主講：張英杰第七章

線性離散系統(tǒng)分析與校正第五節(jié) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，可以從s平面和z平面之間的關(guān)系中，找出分析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。一、z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件二、z平面和s平面的關(guān)系三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)四、穩(wěn)態(tài)誤差一、z平面和s平面的關(guān)系第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差z變量和s變量的關(guān)系為:

z=eTs其中s是復(fù)變量:

S=σ+jωz=eTs=eTσejωT

=

z

ejθ

︱z︱=eTσ︱︱θ=ωTZ平面和S平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：系統(tǒng)穩(wěn)定

臨界穩(wěn)定

系統(tǒng)不穩(wěn)定σ<0σ=0σ>0︱z︱<1︱z︱=1︱z︱>10σ穩(wěn)定區(qū)s平面和z平面的穩(wěn)定域jω

ImS平面Rez平面穩(wěn)定區(qū)0第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差二、z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。即︱zi︱<1若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓外的極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例

采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。G(s)=

1

r(t)

e(t)

c(t)S(S+4)

R(s)

–

T

G(s)

C(s)T=0.25

s1

1

1

1解：

G(z)=Z[

S(S+4)]

=Z[

4

(

S

-

S+4

)]1

(

z

-

z

)

(1-e-4T)z/4=

4

z-1

z-e-4T

=

(z-1)(1-e-4T)G(z) (1-e-4T)z/4Φ(z)=

1+G(z)

=

(z-1)(1-e-4T)+(1-e-4T)z/4特征方程式為(z-1)(1-e-4T)+

1

(1-e-4T)z=0即4z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605±j0.044441︱z1︱=︱z2︱<1所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因?yàn)榈谖骞?jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)是判斷線性連續(xù)系統(tǒng)是否

穩(wěn)定的一種簡(jiǎn)捷的方法。在采樣系統(tǒng)中，由于穩(wěn)定的邊界是單位圓而不是虛軸，

所以不能直接引用勞斯判據(jù)，必須把Z平面上的單位圓內(nèi)部映射為另一W左半平

面，單位圓的外部映射為W右半平面，然后再應(yīng)用勞斯判據(jù)。第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)復(fù)變函數(shù)雙線性變換公式:令

z=w+1

或

w=

z+1w-1

z-1設(shè)

z=x+jy

w=u+jv(x2+y2)-1

-j

2yw=

(x-1)2+y2

(x-1)2+y2

=u+jv可得：W平面內(nèi)

u=0u<0u>0Z平面內(nèi)︱z︱=x2+y2

=1︱z︱=x2+y2

<1︱z︱=x2+y2

>1將Z平面上的特征方程式經(jīng)過Z→W變換，就可應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例

已知采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式D(z)=45z3-117z2+119z-39=0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：將Z→W變換代入特征方程式：45(

w+1

3

w+1

2

w+1w-1)-117(

w-1

)

+119(

w-1

)-39=045(w+1)3-117(w+1)2(w-1)+119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0經(jīng)整理得w3+2w2+2w+40=0列勞斯表w3w2w1w01

22

40-18

040

0有二個(gè)根在w右半平面,即有兩個(gè)根在Z

平面上的單位圓外，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差四 穩(wěn)態(tài)誤差的分析穩(wěn)態(tài)誤差是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要性能指標(biāo)，通過對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的分析可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的大小和形式、系統(tǒng)的型別以及開環(huán)增益有關(guān)。這一結(jié)論同樣也適用于采樣系統(tǒng)。第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差單位反饋采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

c*(t)r(t)

e(t)

e*(t)

T

C(z)-

T

E(z)

G(s)

c(t)E(z)=R(z)-C(z)=

R(z)1+G(z)閉環(huán)穩(wěn)定的采樣控制系統(tǒng)，由終值定理可求得其穩(wěn)態(tài)誤差。R(z)e*(∞)=lim(z-1)E(z)=lim(z-1)

1+G(z)z→1

z→1采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與輸入R(z)有關(guān)，又與系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)及T有關(guān)。KrΠ(z-zi)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一般表達(dá)式：mG(z)=

i=1

n-vv(z-1)

Π(z-pj)j=1下面分別討論不同輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1、單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差z設(shè)系統(tǒng)的輸入為

R(z)=

z-11

z

=

1e*(∞)=lim(z-1)

1+G(z)

·

z-1

1+limG(z)z→1

z→1定義系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)：Kp=limG(z)z→11+Kp則有

e*(∞)=

1

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不同，分幾種情況討論。

KrΠ(z-zi)mlim

n

i=1(1)

v=0

Kp=z→1

Π(z-p)

=常數(shù)j1

j=1e*(∞)=

1+KpmKrΠ(z-zi)(2)

v=1

Kp=lim

i=1n-1

=∞z→1

(z-1)Π(z-pj)j=1e*(∞)=0e*(∞)=0(3)

v=2KrΠ(z-zi)mz→1

(z-1)2Π(z-pj)j=1n-2Kp=

lim

i=1

=∞第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差2、單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)系統(tǒng)的輸入為

R(z)=

Tz(z-1)21

Tz

1e*(∞)=lim(z-1)

1+G(z)

·

=z→1

(z-1)2

1

lim(z-1)G(z)Tz→1定義系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)：則有Kve*(∞)=

Tz→1Kv=

lim(z-1)G(z)下面按系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分成幾種情況討論。

m(z-1)KrΠ(z-zi)(1)

v=0

K

=

lim

i=1

=0v

nz→1

Π(z-pj)j=1e*(∞)=∞(2)

v=1

K

Π(z-z

)mr

i=1

iKv=lim

(z-1)

n-1

=常數(shù)z→1

(z-1)Π(z-pj)j=1Te*(∞)=

Kve*(∞)=0(3)

v=2z→1Kv=

limKrΠ(z-zi)m2(z-1)

Π(jz-p

)j=1n-2(z-1)

i=1

=∞第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差3、單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差=

1

1T2

lim(z-1)2G(z)z→1R(z)=

T2z(z+1)2(z-1)31

T2z(z+1)e*(∞)=lim(z-1)

1+G(z)

·z→1

2(z-1)3定義系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：e*(∞)=T2Ka(1)

v=0

mKrΠ(z-zi)K

=

lim(z-1)2

i=1

=0

e*(∞)=∞a

nz→1

Π(z-pj)j=1z→1aK

=

lim(z-1)2G(z)(2)

v=1

K

Π(z-z

)mlim

2

r

i=1

iKa=

z→1

(z-1)

n-1

=0

e*(∞)=∞(z-1)Π(z-pj)j=1(3)

v=2=常數(shù)e*(∞)=z→1T2KaKrΠ(z-zi)m(z-1)

Π(z-pj)j=12

n-2Ka=

lim(z-1)2

i=1

第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差不同型別單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別位置誤差r(t

)

=

1(t

)速度誤差r(t

)

=

t加速度誤差r(t

)

=

1

t

220型

1

1+

K

p￥￥I型0TKv￥II型00T

2KaIII型000第五節(jié)

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差C(z)c(t)r(t)

e(t)–e*(t)E(z)例：設(shè)某閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知采樣周期T為0.1(s)，當(dāng)輸入r(t)=1(t)和t時(shí)，求離散系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。c*(t)

1

s(0.1s+1)解：10G(z)

=

Z[G(s)]

=

Z[ ]

=s(s

+

10)