2023-2024學(xué)年上海外國語大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海外國語大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．3．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)6．展開式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12807．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面8．已知，其中是虛數(shù)單位，則對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．已知集合．為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．10．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，則△ABC的面積是（）A． B． C．3 D．11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．8412．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．1095二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價，則___，___.14．若函數(shù)為偶函數(shù)，則________.15．從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為__________.16．如圖，是圓的直徑，弦的延長線相交于點(diǎn)垂直的延長線于點(diǎn)．求證：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，過的直線與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）若的斜率為2，求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）求的值.18．（12分）已知正實(shí)數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：19．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長.20．（12分）在中，角所對的邊分別為，，的面積.（1）求角C；（2）求周長的取值范圍.21．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.22．（10分）已知橢圓的短軸的兩個端點(diǎn)分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)、，設(shè)為直線上一點(diǎn)，且直線、的斜率的積為．證明：點(diǎn)在軸上．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：由題意知，當(dāng)時，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號是成立，所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因?yàn)?，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)的綜合問題．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點(diǎn)的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵．2、C【解析】因?yàn)?，所以的虛部是，故選C.3、C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計算，意在考查學(xué)生的計算能力.5、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可知在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為：化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個括號里出項(xiàng)，第二個括號里出項(xiàng)，或者第一個括號里出，第二個括號里出，具體為：化簡得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).7、B【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．8、C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．9、D【解析】

集合．為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：集合．為自然數(shù)集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、A【解析】

由余弦定理求出角，再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得：，又，所以得，故△ABC的面積.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.11、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12、D【解析】

確定中前35項(xiàng)里兩個數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，數(shù)列中第35項(xiàng)為70，這時可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得，然后可求和．【詳解】時，，所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中，有三項(xiàng)3，9，27，有32項(xiàng)，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ)．解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的，又有多少項(xiàng)是中的．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10900【解析】

由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說明一次項(xiàng)系數(shù)為0，求得參數(shù)，將代入表達(dá)式即可求解【詳解】由為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0，所以，，所以，故答案為：-5【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.16、證明見解析．【解析】試題分析：四點(diǎn)共圓，所以，又△∽△，所以，即，得證．試題解析：A．連接，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又，則四點(diǎn)共圓，所以．又△∽△，所以，即，∴．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：，：；（2）【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用，將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得的值.【詳解】（1）的直角坐標(biāo)方程為，即，則的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為的傾斜角），代入曲線的普通方程，得.設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，所以，在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），所以（2）證明：因?yàn)?，所以故（?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設(shè)，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，由是中點(diǎn)，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為到平面的距離，因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由可得到，代入，結(jié)合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）由，并結(jié)合正弦定理可得到，利用，，可得到，進(jìn)而可求出周長的范圍．【詳解】解：（Ⅰ）由可知，∴.由正弦定理得.由余弦定理得，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，.的周長為.∵，∴，∴,∴的周長的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查了三角形的面積公式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進(jìn)而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.22、（1