高二文科數(shù)學(xué)秋季講義第8講.直線與橢圓的位置關(guān)系

I第8講直線與橢圓的

位置關(guān)系

滿分晉級(jí)

解析幾何11級(jí)

雙曲線與拋物線的基

考點(diǎn)1.直線與橢圓的交點(diǎn)問題

暑假知識(shí)回顧

直線/：Ax+By+C=O(A、3不同時(shí)為0)與橢圓C：/(x,y)=0的位置關(guān)系：

直線與橢圓的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離.這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為:

設(shè)直線/：Ax+By+C=0,橢圓C：f(x,y)=0,由!Ax+')'+C=°

[f(x,y)=0

消去y(或消去x)得：ax2+bx+c=0.

此時(shí)一定有“NO,△=〃一4ac,AAOO相交；AcOo相離；A=

練習(xí)1若直線丫="-2和橢圓x2+9>2=9有兩個(gè)公共點(diǎn)，則后的取值范圍為

【解析】k<—2數(shù)k>B

33

'消去y整理得（9公+1*-36代+27=0,

x+9y-=9

則A=（-364）2_4x27（9公+1）=108（3公-1）,

當(dāng)△>（）,即/〈一班或苴時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)

33

經(jīng)典精講

【例1】⑴**若直線y="+l（hR）與橢圓二+其=1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

5m

⑵*★已知以6（-2,0），6（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+6y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A.3夜B.2>/6C.2x/7D.4夜

⑶*★已知一條直線/與橢圓三+亡=1相切于點(diǎn)31,求切線/的方程.

43I2）

【解析】⑴解法一：

y=kx+\

由V2可得(5二+切*+10自+5-5機(jī)=0,???A=20m(6+542—1)20

----F—=1

,5m

即相攵？2，機(jī)且機(jī)

2-5+1，V-5A:+1^1，21w5

解法二：直線恒過一定點(diǎn)（0,1）

當(dāng)“<5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長(zhǎng)Z?二,要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則4m21即

1Wm<5

當(dāng)機(jī)>5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)〃=，而可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即m>5

綜述：21且6w5

解法三：直線恒過一定點(diǎn)（0,1）

A2I2

要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)（0,1）在橢圓內(nèi)部匕+L41即

5m

/.機(jī)21且

⑵C

22

設(shè)橢圓方程為三+親■=1（4>/?>0）.

由,b~x~+ci~二y~—ci~b~=0,得年+3陽/+8回r~卜,+16從、一/加=。，

x+V3y+4=0,

直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

/.△=192Z/*-4（/+3H）（16廿-a2b2）=0

可得/=7,：.2a=2幣.

⑶設(shè)過點(diǎn)011,|卜勺直線/的方程為y—g=-1）,

r22

將其與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上+2v1=1聯(lián)立，

43

消去參數(shù)y可得方程（3+4攵2）^+（12左一8攵2）工+4/一12左一3二0,因?yàn)樵撝本€與橢圓相切，

所以其判別式A=（12一一弘2）2-4（3+4〉）（4人2一12:-3）=0=>>=-▲,

2

2

Q11

，該直線方程為,_二=_/(工_1),即y=-—x+2.

【點(diǎn)評(píng)⑶】我們知道當(dāng)點(diǎn)尸(工0,%)在圓f+V=/時(shí)，過該點(diǎn)p(%,%)的切線方程為

22

同樣可得，當(dāng)點(diǎn)尸(%，％)在橢圓二+馬=1時(shí)，過該點(diǎn)p(x°,%)的切線方程為

a~h~

更+紈=1

a2b2~

尖子班學(xué)案1

【拓2】直線y=2k與曲線9^/+丁=18公|x|(AeR,且女關(guān)0)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

1.1B.2C.3D.4

【解析】D

將y=2k代入"+/=18/|x|得9G+4k2=lSk2\x\,即9|x『-18|x|+4=0,顯然該

關(guān)于|x|的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè).

目標(biāo)班學(xué)案1

【拓3】若橢圓和連結(jié)他1),5(2,3)兩點(diǎn)的線段恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取

值范圍為()

A.M，+1B」也+/C.型，叵]D」也亙一

L6JL2JL22J[62]

【解析】C

線段45與橢圓有公共點(diǎn)，其等價(jià)條件是點(diǎn)A在橢圓內(nèi)或邊界上，點(diǎn)5在橢圓外或邊界上,

I2+—^C!2＞/T

由此得42解之得獨(dú)故選C.

0，3?＞222

2"+—

2

【錯(cuò)因分析】誤區(qū)：過點(diǎn)A(l,1),8(2,3)的直線方程為y=2x-l.橢圓Y+匕=42m＞。)與線段.

y=2x-l,

恒有公共點(diǎn)，方程組■,y2恒有解，消去y得6f-4*+1-2/=0.(*),方程(*)有實(shí)

x+—=a

2

數(shù)根，AN0,由此得逅，因此選A.

6

【例2】篇已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)尸(2,0)為其右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

⑵是否存在平行于。4的直線/,使得直線/與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線。4與/的距離等于

4?若存在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】⑴依題意，可設(shè)橢圓C的方程為三+1=1("＞人＞0),且可知左焦點(diǎn)為廣(—2,0),

ab

c=2

從而有

2a=|AF|+|AF'|=3+5=8'

22

又/=〃+/所以廿=12,故橢圓。的方程為工+X=i.

1612

3

⑵假設(shè)存在符合題意的直線/,其方程為y=+

3

y=—x+t

2

由,,,得31+3a+產(chǎn)-12=0.

---1---=1

1612

因?yàn)橹本€/與橢圓有公共點(diǎn)，所以有△=（3/）2-4x3（r72）^0,

解得T后

另一方面，由直線04與/的距離4可得：萼==4,從而1=±2了，

由于±2而仁[-4K,46],所以符合題意的直線/不存在.

【備選】己知橢圓上+《=1,/「4是過點(diǎn)（0,〃，），且相互垂直的兩條直線，問實(shí)數(shù)S在什么范圍

169

時(shí)，直線4都與橢圓有公共點(diǎn).

v+/??

【解析】設(shè)（：y=kx+m,則。：y=一~+《與橢圓有公共點(diǎn)＜=＞—+^^=j有實(shí)根

12k169

2八

o（16府）2—（9+16&2）（16，/-144）,0,即火?2氣二.同理與橢圓有公共點(diǎn)

、病一9

少--------,于是‘——-^1,即何陣5.由于網(wǎng)＞5時(shí),=1,而二與B

16161616

必有一個(gè)不超過1,這時(shí)4,4不可能都與橢圓有公共點(diǎn).綜上所述，制45.時(shí)，過點(diǎn)（0,m）

存在兩條相互垂直的直線4,4都與橢圓有公共點(diǎn)，又丫=兀+加與y=—x+%與與橢圓都有

公共點(diǎn).ine[-5,5].

考點(diǎn)2：橢圓中的弦長(zhǎng)問題

暑假知識(shí)回顧

1.兩根差公式：

如果王,工2滿足一元二次方程：公2+hx+c=O,

cylh2-4acVZ

?—~--------=(A>0).

5-a\a\同

連結(jié)橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦.

求弦長(zhǎng)的一種求法是將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公

式來求；

另外一種求法是如果直線的斜率為3被橢圓截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（不，%）,（々，為），則弦

長(zhǎng)公式為|A5|=川+A[3-X\=\l\+k2=

21X卜

2.涉及到直線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)問題時(shí)，常用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），這樣

可直接得到兩交點(diǎn)的坐標(biāo)之和，也可用作差方法（“點(diǎn)差法”）找到兩交點(diǎn)坐標(biāo)之和，直接與中點(diǎn)建

立聯(lián)系.

4

練習(xí)2|已知橢圓C:工+y」=l,

------4-

⑴若斜率為1的直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A,5兩點(diǎn)，求弦口的長(zhǎng)？

⑵若直線為y=2x+〃?，問當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，直線/被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)為2臺(tái)0？

22

【解析】⑴設(shè)A?,%),B(X2,y2),由橢圓方程得/=4,h=l,C=3,

.?.右焦點(diǎn)尸便，0),.?.直線方程為y=x-6,

代入/+42=4中整理得：5X2-8>/3X+8=0,

.*.△=64x3-20x8=32,

二|A8|=’1+.2當(dāng)=@叵=§

\a\55

y=2%+〃?，

⑵由方程組<12消去y得：17x2+16/nr+4/n2—4=0,

----Fy-=1,

14-

A=(16機(jī)產(chǎn)-4x17x(4/7?-4)=16(17一〃/).

當(dāng)A>0,即-&7<根<，萬時(shí)，方程組有兩個(gè)解，直線與橢圓相交;

；.|A8|=J1+A在一岳447-〃廣一型解之得加=±2百.

1'|a|1717

即當(dāng)機(jī)=±26時(shí)，直線/被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)為型.

17

所以直線/的傾斜角為工或變.

44

經(jīng)典精講

【例3】在已知橢圓C:二+9=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn).A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸(異于點(diǎn)A)為橢圓C

4

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作線段AP的垂線/交橢圓C于點(diǎn)瓦。，求陷的取值范圍.

\AP\

【解析】顯然直線M的斜率存在，可設(shè)直線轉(zhuǎn)：y=R(x-2),

①當(dāng)4w0時(shí)，直線。E:y=--x.

k

聯(lián)立直線AP與橢圓方程化簡(jiǎn)得：(4儲(chǔ)+1—16/工+16公一4=0,

4-16公）2-4（16/-4）（4公+1）451+/

/.\AP\=-Jl+k2-①

4F+14k2+\

聯(lián)立直線。E與橢圓方程，有X2-4=0,

?.ME?2串…②

于是由①、②得瑞"關(guān)空'設(shè)'=E’”2,

2

nl\DE\4r-15,15

則~[=-------=4z——e+00

\AP\tt2,

M=1

②當(dāng)k=0時(shí),\AP\=4,\DE\=2,：.

|AP|2

陷的取值范圍是1I,+00

綜上,

網(wǎng)[2

【備選】（2013北京朝陽二模）

v-22

已知橢圓C*+方v=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為*1,0）,短軸的端點(diǎn)分別為％與，且

FB、-FB2=-a.

⑴求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)F且斜率為人（人工0）的直線/交橢圓于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線與x軸

相交于點(diǎn)。.設(shè)弦的中點(diǎn)為P,試求￡口的取值范圍.

|MN|

,_（一1,0）?（-1,-b}=-aa=2

【解析】⑴八八）解得《

/=從+1h=xfi

22

?,?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+二=1.

43

⑵設(shè)yj,N（%，丫2），'比;%）,直線/:%=沖+1其中加=工，

k

則直線/的垂直平分線的方程為：x=—_L/y—2t±&]+S±a,

m\'2）2

則啥那詈,。

X=畋+1

由,丁）2消去x得Rm?+4）V+6nzy—9=0,

彳十丁一

…=，心+必）+2=高，

J（6〃z『+36（3川+4）[2（〃+]）

|MN|=J1+*

37??+43〃72+4

尸（高，肅〉3Vrn2+1

3帆*+4

.二飛府+1二]

4"+l）4A/"+I

1\DP\1

???加=上工0,A0<J~^<一，

k\MN\4

即口駕的取值范圍為（0,

|MN|14）

尖子班學(xué)案2

【拓2】已知橢圓；?+27=1（4>}>0）與直線x+y=l交于A、3兩點(diǎn)，|4例=生色，AB的中點(diǎn)M

a2廳3

與橢圓中心連線的斜率為L(zhǎng),求橢圓的方程.

2

【解析】設(shè)A（X[,y）,8（馬，必），M（x（）,%）,

Ef=[

由,消去y整理得32+/及2-242》+/-//=。，①

%+y=1

所以…田

的，玉+xa2b2

所以寸〒2=5'%=lf:市.

因?yàn)閗m=g，%=&=<，所以與=[即4=2匹

2%“a2

代入①化簡(jiǎn)整理，得3/_4犬+2-0=0.

AA=（-4）2-4x3x（2-2/?2）=24b2-8>0.②

.?.|倜=而，4=而也且三=逑

|a|33

解得。2=1,代入②檢驗(yàn)滿足條件，所以/=2.

故所求橢圓的方程為工+y2=i.

2

提高班學(xué)案1

0■>

【鋪1】已知橢圓]+匕=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，若過點(diǎn)尸（0,-2）及6的直線交橢圓于A,B

兩點(diǎn)，求AAB居的面積.

【解析】解法一：設(shè)4（%,%）,8（々，%）,則由題可知：直線3方程為2x+y+2=0,

y=-2x-2

由Ly2可得9y2+4）-4=0,

—+—=1

21

M一%|=J（X+%）2-4x%=,

S/、=；|KE||x?

解法二：F,到直線AB的距離力=迪

-5

y=-2x-2

2

由y2可得9d+16x+6=0,又|AB|=y/l+k,-x2|=

I21

?T=g|陰〃=乎.

【例4】由已知橢圓方程為三+工=1,射線y=2x（x這0）與橢圓的交點(diǎn)為M,過M作傾斜角互補(bǔ)的

28

兩條直線，分別與橢圓交于力、5兩點(diǎn)(異于M).

(1)求證：直線他的斜率心"=2；

⑵求面積的最大值.

【解析】⑴；斜率%存在，不妨設(shè)&>0,求出2).

直線M4方程為y+2=k(x+l),直線用8方程y+2=--x+1)

k2-4k-4k2+4k-4

分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出/=-/+4'%=-P74

以一力_/4+4+2)_,..

--乙，?,~8一乙

22

(2)設(shè)直線AB方程為y=2x+m,與工+二=1聯(lián)立,

28

消去y得8x2+4tn)c+(m2-8)=0.

由A=16/w2-32(m2-8)=16(16—加2)>0得"4<m<4,且mWO,

點(diǎn)M到AB的距離為"=g

\ABT=E喜二小亞五二好時(shí)前

問82

設(shè)NViAB的面積為S.

S2=-|/Afi|2J2=—w2(16-m2)^—-f—)=4.

41616I2J

當(dāng)ni=±2>/2時(shí)，得Smax=2.

尖子班學(xué)案3

【拓2】如圖，直線y=Ax+6與橢圓1+丫2=1交于A、8兩點(diǎn),記△AO8的面積為S.

⑴求在2=0,0<2<1的條件下，S的最大值；

⑵當(dāng)|A8|=2,S=1時(shí)，求直線AB的方程.

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，與，點(diǎn)3的坐標(biāo)為(々，b),

由?+y?=1,解得X]2=±2>/1-b2

所以S=g加入一々|=2by]\-h2^b2+\-h2=\

當(dāng)且僅當(dāng)人=、一時(shí)，S取到最大值1.

2

y=kx+b

(2)由,得(4二+1)Y+8次+4/一4=0

——+y-=1

14-

A=16(4jt2-/,2+l)①

同二百省二百呵五二2

②

\a\4k+1

又因?yàn)?。到A3的距離2=」"_=且-=1,所以〃=公+1③

ViTFIA例

③代入②并整理，得4犬一4犬+1=0

1Q

解得，/=上,/=3,代入①式檢驗(yàn)，a〉。，故直線4?的方程是

22

8

7276.0RH7276.7276

y=——x-\---Ay=——x-----雙y=----XH----雙y=-----x----.

22222222

目標(biāo)班學(xué)案2

22

【拓3】如圖，橢圓=+斗=1上的點(diǎn)M與橢圓右焦點(diǎn)工的連線M巴與x軸垂直，且OM(O是坐標(biāo)

ab

原點(diǎn))與橢圓長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)的連線45平行.

⑴求橢圓的離心率;

⑵過工且與45垂直的直線交橢圓于尸、。，若

的面積是2()6,求此時(shí)橢圓的方程及|尸。|的長(zhǎng).

【解析】⑴易得k=—,k=-

a)OMacABa

⑵設(shè)直線尸。的方程為y=--(x-C),即丫=-&(》-。).

b

代入橢圓方程消去x得:

整理得：5y2-27^7-2c2=0,

Sgt?=；?2c“X-=20g,02=25.

因此/=50,%?=25,所以橢圓方程為二+2-=1.

5025

(—2>/2c)"-4x5x(—2c2)_6-^2<、_6y

\pQ\=5

55

考點(diǎn)3：橢圓上存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題

1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,力對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2a-x,2b-y)

2.已知點(diǎn)4%,%),直線/:y=H+。(女工0),求點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)A'(w，％)，則稱點(diǎn)A的連線

,kAA'=T

A4'被直線/垂直平分，即y,+y,x+x,解方程組得馬，女?

—_—=k?-+b

22

經(jīng)典精講一.

【例5】六試確定機(jī)的取值范圍，使得橢圓］+《=1上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+〃?對(duì)稱.

【解析】法一：

設(shè)出對(duì)稱的兩點(diǎn)及其所在的直線方程，再利用判別式A>0及中點(diǎn)在對(duì)稱軸上來求解.

設(shè)橢圓C上關(guān)于直線/對(duì)稱的兩點(diǎn)為P(%,y),Q(X2,y2),其所

在直線的方程為y=--x+b,代入橢圓的方程中整理得：

4

13X2-8Z?X+16/72-48=0./.A=-192(4/72-13)>0,

*2產(chǎn)x/13V13公

解仔:-----<b<----①

22

又％+W=皿，)1+%=1芭二12"

?2-2---4-2~~~V39

而點(diǎn)(號(hào)，汽上)又在y=4x+加上，，機(jī)=入產(chǎn)—4?號(hào)=一s②

把①代入②得：一名叵<團(tuán)〈型3.

1313

法二：

C上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱，等價(jià)于存在c的弦被/垂直平分，且垂足必在橢圓c的

內(nèi)部，因此，這類問題可考慮利用交點(diǎn)在曲線c的內(nèi)部建立不等式.

設(shè)橢圓C上關(guān)于直線/對(duì)稱的兩點(diǎn)為尸(斗，X),Q(x2,y2),弦PQ的中點(diǎn)為M5,%),

代入橢圓方程得：21二旦=_2乜=①

占一X24%4

由點(diǎn)Af在直線y=4x+，〃上得：y0=4x0+m.②

由①②解得x0=-m,%=-3m.

'：M(-m,-3㈤在橢圓的內(nèi)部,:.3(-m)2+4(-3根了<12.

短產(chǎn)2x/132萬

用隼何?------<m<-----.

1313

提高班學(xué)案2

22A

【拓1】橢圓A+當(dāng)=1(。>力>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)片、F,,點(diǎn)。在橢圓C上，且尸耳，耳月，|明|=3,

aa3

附I號(hào).

⑴求橢圓C的方程；

(2)若直線/過圓/+>2+4》-2丫=0的圓心M交橢圓于A、8兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)“對(duì)

稱，求直線/的方程.

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓C上，所以2a=歸用+|尸用=6,a=3.

在RtZkPf；6中，恒用=麗獰j另『=26，故橢圓的半焦距c=石，

從而從=/一<:2=4,

所以橢圓C的方程為土+工=1

94

(2)法一:

設(shè)A,8的坐標(biāo)分別為(%,%),區(qū),y2).由圓的方程為(x+2)2+(y-l)2=5，所以圓心用

的坐標(biāo)為(-2,1).

從而可設(shè)直線/的方程為y=k(x+2)+l,

代入橢圓C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18Z)x+36〃+36k-27=0.

因?yàn)锳,8關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.

所以士力=_18K+9A=_2,解得％=目，

24+9公9

10

所以直線/的方程為y=，x+2）+l,即8x-9y+25=0.（經(jīng)檢臉，符合題意）

法二：

已知圓的方程為（x+2）2+（y-l）2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（一2,1）.

設(shè)A,8的坐標(biāo)分別為（石，y）,（x2,%）.

2222

由題意占WX,且工+義=1①也1+互=1②

9494

由①-②得a一馬）（%+%）+（%-）‘2）（x+力）=（）③

94

因?yàn)锳,B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以％+w=-4,y+%=2,

代入③得江港=§,即直線/的斜率為日，

x,-x299

Q

所以直線/的方程為y-l=］（x+2）,即8x—9y+25=0.

（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）.

考點(diǎn)4：直線與橢圓的綜合

【例6】再已知橢圓方程為］+>2=1,定點(diǎn)E（-l,0）,直線y=fcc+2與此橢圓交于C、D兩點(diǎn).是

否存在實(shí)數(shù)3使得以線段8為直徑的圓過E點(diǎn).如果存在，求出火的值；如果不存在，請(qǐng)

說明理由.

【解析】設(shè)C（3,yj,D（X2,y2）,若存在實(shí)數(shù)%,使得以線段8為直徑的圓過E點(diǎn)，

則ECJ.ED,即（％+1,y,）?（x2+1,丫2）=。=西/+%+毛+1+M%=。，

=（左2+1）玉W+（2攵+1）（%+;^）+5=0,...①

y=kx+2

由）消去y得（1+3〃卜2+12米+9=0，

?。?=

A=（12*）2-36（1+3*2）=36（*2-1）>0,即公>1,

-12k9

%+=T，刀看=T②

'-1+3/勺21+3公

7

把②代入①得：棗RL兇經(jīng)卻+5=0,解得％=’.滿足題意,

1+3公1+3公6

7

.??存在實(shí)數(shù)左=-，使得以線段8為直徑的圓過E點(diǎn).

6

【備選】橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，e=正，過橢圓左焦點(diǎn)尸的直線交橢圓于尸、Q兩

2

點(diǎn)，|PQ|=￡,且OP，。。，求此橢圓的方程.

22

【解析】設(shè)橢圓方程為5+與=1（a>h>0）

優(yōu)b

A2’2

（1）PQ_Lx軸時(shí),F（-c,0）,\FP\=—,又IfQ|=|FP|且OP_LOQ,...|OE|=|FP|,即c=—

解得6=墾1與題設(shè)6=且不符，所以PQ不垂直X軸.

22

⑵PQ:y=A(x+c),P5,%),Q(X2,y2),

e=—,a2--c2,b2=-c2,

233

所以橢圓方程可化為：3x2+12y2-4c2=0,將P。方程代入，

得(3+12k)x2+2442cx+12%2c2-4c2=0,；.占+x,=二^空，xx,=二4

1-3+12爐1-3+12*

222

A=(24丘7-4(3+12公用2丘2_4c)=48c(1+A:)

由間得G.崢組□型①

1193(1+4廿)9

VOPLOQ,???入匹二一1即％工2+乂%=0，

%x2

2222

/.(\+k)x]x2+kc(x}+x2)+ck=0②

把入]+工2，$工2代入，解②得公=',把公=(■代入①解得C、2=3

2

：.a2=4,6=1,則所求橢圓方程為工+y2=i.

【例7】tt（2012北京理19）已知曲線C:（5-/M）x2+（m-2）y2=8（/MwR）

（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求〃?的取值范圍；

⑵設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B（點(diǎn)A位于點(diǎn)3的上方），直線y=fcc+4與曲線C

交于不同的兩點(diǎn)“，N,直線y=l與直線交于點(diǎn)G.求證：A,G,N三點(diǎn)共線.

22

【解析】⑴原曲線方程可化簡(jiǎn)得：一^+一^=1

OO

5-mm-2

88

------->--------

5-mm-2

Q7

由題意可得：—^—>0,解得：-</n<5

5-m2

(2)由已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：(2/+l)d+16米+24=0,

3

由△=32(2^_3)>0,解得：k2

一同?4

由韋達(dá)定理得：X+X^--?,XX-TTT-,②

MN乙Kr十1MN乙K?1

設(shè)NQN,4/+4),M(XM,kxM+4),G(XG,1)

MB方程為:y=kX^6x-2,則G(工一，1],

%3.M+6J

/□\

X

/.AG=———,-1AN=(xN,kxN+2)

151+6)f

欲證A,G,N三點(diǎn)共線，只需證AG,AN共線

即3："(xNk+2)=-xN成立，化簡(jiǎn)得：(3A+k)xMxN=-6(xw+xN)

"+6

12

將①②代入易知等式成立，則A,G,N三點(diǎn)共線得證.

【例8】H(2010天津理20)

已知橢圓「+/叱力＞。)的離心率e邛，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為今

⑴求橢圓的方程；

⑵設(shè)直線/與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0),點(diǎn)。(0,%)在線

段4?的垂直平分線上，且QAQB=4,求為的值.

【解析】⑴由e=￡=,得3a2=4c*,再由c?="一從，得a=2b

a2

由題意可知，一x2。x2Z?=4,即=2

2

a=2b，.

解方程組付a=2,h=\

ab=2

所以橢圓的方程為三+丁=1

4

⑵由(1)可知A(-2,0).設(shè)3點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，%),由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的

斜率為左，則直線/的方程為y=-x+2),

y=k(x+2)

于是A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，f

—+y'=1

I4-

由方程組消去y并整理，得(1+4公)Y+16〃X+(16A2-4)=0

,c16k2-4p2-8公?彳4k

由辦二77記’侍寸TT充'從而尸

1+4公'

弘22k

設(shè)線段43是中點(diǎn)為則/的坐標(biāo)為-

l+422'1+4吃

以下分兩種情況：

①當(dāng)A=0時(shí)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0).線段Afi的垂直平分線為y軸，于是

QA=(-2,—%),Q8=(2,_%)由QA.QB=4,得％