第二十六講圓錐曲線原卷版

第二十六講：橢圓、雙曲線、拋物線

【考點(diǎn)梳理】

1、求曲線的軌跡方程

直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法

2、橢圓方程

橢圓相關(guān)計(jì)算

(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量仇C的幾何意義2

=b+C2

(2)通徑:過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦,其長匕焦點(diǎn)弦：橢圓過焦點(diǎn)的弦。

a

最短的焦點(diǎn)弦為通經(jīng)2b絲2，最長為2a。

a

(3)最大角：P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)P是橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，/6尸鳥為最大角。

(4)橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。

焦點(diǎn)三角形的面積SAgF2=〃tan,,其中6=N耳「工(注意公式的推導(dǎo))

3、雙曲線

(1)雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通

徑.通徑長為變.

a

(2)點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對于雙曲線與-1=1(4＞人＞0),點(diǎn)尸(%，％)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于莖

arba"b

點(diǎn)p(與，％)在雙曲線外部，等價(jià)于工一再＜1結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析.

礦b

(3)雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)/7；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)

也.

C

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)嘩；

C-

(4)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為J(可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越

tan-C7

2

小，面積越大)

(5)雙曲線的切線

r22

點(diǎn)在雙曲線=-二v=13>0/>0)上，過點(diǎn)用作雙曲線的切線方程為

crb"

22

警-縛=1.若點(diǎn)"(%,%)在雙曲線，-4=1(4>02>0)外，則點(diǎn)〃對應(yīng)切點(diǎn)弦方程

crb-ab

為其-綽=1

ab~

4、拋物線

(1)、焦半徑

拋物線上的點(diǎn)P5,%)與焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑，若y2=2px(p>0),則焦半徑

\PF\=xo+j,\PF\nm=^.

(2)、焦點(diǎn)弦

若4?為拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，4(%,%),8(%,%)，則有以下結(jié)論：

2

⑴為々=勺.(2)y,y2=-p.

(3)焦點(diǎn)弦長公式1:|AB|=x,+x2+p,xt+x2>2>/xjXj=p,當(dāng)芭=當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取

最小值2p,即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為2P.

焦點(diǎn)弦長公式2：\AB\=-^-(c為直線AB與對稱軸的夾角).

sin-a

2

(4)A4O3的面積公式：SM°B=—匚(&為直線鉆與對稱軸的夾角).

2sina

(3)、拋物線的通徑

過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對于拋物線丁=2px(p>0),由Ag，p),%，-p),可得|A8|=2p,故拋物線的

通徑長為2P.

(4)、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：%="

k

(5)、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)

已知&方,%)、8(孫必)是過拋物線V=2px(p>0)焦點(diǎn)廠的弦，又是反的中點(diǎn)，/是

拋物線的準(zhǔn)線，MNL,N為垂足.

(1)以"為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切，以4尸(或3尸)為直徑的圓與y軸相切；

(2)FNLAB,FC1FD

；2

(3)西工2=§yty2=-p

(4)設(shè)。為垂足，則A、O、。三點(diǎn)在一條直線上

【典型題型講解】

考點(diǎn)一：橢圓

【典例例題】

例1.(2022?廣東清遠(yuǎn)?高三期末)若橢圓C：￡+￡=l的焦距為6,則實(shí)數(shù)，〃=()

4tn

A.13B.40C.5D.2x/13

例2.(2022?廣東珠海?高三期末)已知橢圓C：5+〉l(a>b>0)的長軸長為4,左頂點(diǎn)A

到上頂點(diǎn)B的距離為右，F(xiàn)為右焦點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程和離心率；

(2)設(shè)直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(不同于A,B兩點(diǎn))，且直線8W_LBN時(shí)，求F

在/上的射影H的軌跡方程.

【方法技巧與總結(jié)】

22

標(biāo)準(zhǔn)方程/+方=13>匕>°)*十1(”〃>0)

T,

圖形L

1弋】。

■±____

焦點(diǎn)耳(一0,0),F2(C,0)6(0,—c),巴(0,c)

焦距2222

\FtF2\=2c(c=y]a-h)\FlF2\=2c(c=y/a-h)

范圍\x\<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱

性質(zhì)對稱性xy

頂點(diǎn)(±a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)

軸長軸長=2"，短軸長=26

離心率e=￡（0<e<l）（注：離心率越小越圓，越大越扁）

a

【變式訓(xùn)練】

小\,2

1.（2022?廣東佛山?高三期末）（多選）已知橢圓C:j+人=1（。>人>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

a"b~

0鳥，上頂點(diǎn)為且耳丹=/，點(diǎn)在上，線段與叫交于

B,tan/BPCQ,BQ=2QF2,

則（）

A.橢圓C的離心率為!B.橢圓C上存在點(diǎn)K,使得

4

C.直線PE的斜率為半D.平分

廣東?金山中學(xué)高三期末）已知橢圓丫右2?+v2方=與圓4b2

2.（2022G：l（^l>b>0）C2：x2+y2=?,

若在橢圓上不存在點(diǎn)使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心

Gp,pc2G

率的取值范圍是.

3.（2022?廣東汕尾?高三期末）己知乙分別是橢圓C：二+亡=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若

6m

橢圓C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)P,使得△P6E，的面積為石，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

22

4.（2022?廣東肇慶?二模）己知點(diǎn)”，鳥分別是橢圓C*+方=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，

點(diǎn)A是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|。4卜|0胃，直線鳥4的斜率為-3,則橢圓C的

離心率為（）

A.工B.@C.1D.叵

8434

5.（2022?廣東汕頭?二模）己知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F2,直線A8過6與該橢圓

交于48兩點(diǎn)，當(dāng)F/B為正三角形時(shí)，該橢圓的離心率為（）

A.BB.2C.絲D.立

4332

22

6.（2022?廣東中山?高三期末）已知橢圓。：3+方=1（”>6>0）的右焦點(diǎn)為尸漓心率為，

直線/：y=x被橢圓截得的弦長為亞

7

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若P是桶圓C上一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F與直線/平行的直線與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為

A8,且OP=WA+/.（OB，求"的最大值

22

7.（2022?廣東?金山中學(xué)高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：]+馬=1（。>〃>0）

ab~

UUUUU

的左，右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，AF=3FB，AFFB=3.

⑴求橢圓C的方程；

⑵不過點(diǎn)A的直線/交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記直線/、AM,AN的斜率分別為k、占、片.若

k&+Q=l,證明直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x-0)，+6=0相切.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)A,B為動(dòng)直線片k(x-2)(kH0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E,

使得E*+EAYB為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由.

9.(2022?廣東東莞?高三期末)已知點(diǎn)A為橢圓C：A+￡=l(a>6>0)的左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸(L0)

為右焦點(diǎn)，直線/:x=4與*軸的交點(diǎn)為N,且|AF|=|FN|,點(diǎn)M為橢圓上異于點(diǎn)A的任意

一點(diǎn)，直線AM交/于點(diǎn)P.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵證明：ZMFN=24PFN.

10.（2022?廣東深圳?高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A（o,l）在橢圓

丫22

C:—4-^—=l（6f>/?>0）±,過點(diǎn)5（2,-1）的直線/與c交于M,N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A）,記直

ab

線AM,AN的斜率分別為尢，k2,當(dāng)人=1時(shí)，|AM|=孚.

⑴求C的方程；

⑵證明：為定值.

11.（2021?廣東汕頭?高三期末）已知橢圓E:￡+/=l（a>6>0）的離心率為日，又點(diǎn)

［乎，：）在橢圓E上.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)直線/與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)M（L°）作直線/的垂線，垂足為°,試探

究：是否為定值，如果是，請求出該值；如果不是，請說明理由.

12.（2022?廣東潮州?二模）設(shè)橢圓cJ+￡=l（a>%>0）/，E為左右焦點(diǎn),8為短軸端點(diǎn)，長軸

長為4,焦距為2c,且6>c,48月用的面積為6.

（助求橢圓C的方程

（即設(shè)動(dòng)直線/：y=丘+，〃橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)M，且與直線X=4相交于點(diǎn)N.試探究:

在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P,使得以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P?若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若

不存在.請說明理由.

考點(diǎn)二：雙曲線

【典例例題】

22

例1.（2022?廣東珠海?高三期末）雙曲線C:1-5=1的右支上一點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)。的對稱

a"b~

點(diǎn)為點(diǎn)N,F為雙曲線的右焦點(diǎn)，若尸，則雙曲線C的離心率6為（）

A.y/2B.&C.72+1D.V3+1

例2.（2022?廣東佛山?高三期末）已知雙曲線C的漸近線方程為y=土*x,且過點(diǎn)P（3,0）.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)Q（l,0）,直線x=r（reR）不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A,8兩點(diǎn)，若直線8Q與C交于另

一點(diǎn)D,求證：直線AO過定點(diǎn).

【方法技巧與總結(jié)】

1.雙曲線的定義：焦點(diǎn)三角形

2.雙曲線的性質(zhì)：離心率、雙曲線的漸近線

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東潮州?高三期末）石、號(hào)分別為雙曲線C:x2-5=1的左、右焦點(diǎn)，過￡的直

線/與C的左、右兩支曲線分別交于A、8兩點(diǎn)，若！工F/,則鳥兒68=（）

A.4-26B.4+GC.6-2后D.6+2逐

2.（2022?廣東汕尾?高三期末）已知雙曲線，■-看■=1（“>0乃>0）的漸近線方程為〉=±瓜，

則該雙曲線的離心率為（）

A.亞B.41C.73D.2

3

3.（2022?廣東清遠(yuǎn)?高三期末）（多選）已知雙曲線C:=-2=1（〃>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別

a-b

為耳，尸2,點(diǎn)P是雙曲線C上位于第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)鳥作2耳「月的角平分線的垂線，垂足

為A,若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，h=2\OA\,則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為丫=±2犬B.雙曲線C的漸近線方程為y=±：x

C.雙曲線C的離心率為右D.雙曲線C的離心率為手

4.（2022?廣東東莞?高三期末）已知F為雙曲線C：三-片=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲

916

線C的一條漸近線的距離為.

5.（2022?廣東深圳?高三期末）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，F(xiàn)為雙曲線C:1=1（匕>a>0）

ab

的一個(gè)焦點(diǎn)，以尸為圓心的圓與C的兩條漸近線交于。、A、8三點(diǎn)，若四邊形O1FB的面

積為*|o殲，則C的離心率為.

6.（2022?廣東中山?高三期末）已知點(diǎn)M為雙曲線C：W-1=1（a>0,b>0）在第一象限上一

點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4\MO\=4\MF\=1\OF\,則雙曲線C的離心

率為;若ME"。分別交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，記直線QM與PQ的斜率分別

為k\&,則占?&=.

o2

29.（2022?廣東深圳,一模）已知雙曲線C：'—方=1（“>0,/,>0）經(jīng)過點(diǎn)A（2,0）,且點(diǎn)A到

C的漸近線的距離為過區(qū).

（1）求雙曲線C的方程;

（2）過點(diǎn)（4,0）作斜率不為0的直線/與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，直線x=4分別交直線AM,

AN于點(diǎn)、E,F.試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；反

之，請說明理由.

考點(diǎn)三：拋物線

【典例例題】

例1.（2022?廣東惠州?一模）若拋物線V=2px（p>0）上一點(diǎn)P（2,%）到其焦點(diǎn)的距

離為4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

例2.（2022?廣東韶關(guān)?一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，有兩定點(diǎn)F（0,-3）,G（0,3）,動(dòng)點(diǎn)T

倆足陽2,

⑴求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡”的方程：

（2）若拋物線M:X2=2py（p>0）與軌跡H按順時(shí)針方向依次交于四點(diǎn)AB,C,D（點(diǎn)、4,。在第

一象限）.

①求證：直線AC與直線8。相交于G點(diǎn)；

②設(shè)△ADG的面積為S,求S取最大值時(shí)的拋物線方程.

【方法技巧與總結(jié)】

1.拋物線的定義：到準(zhǔn)線與到定點(diǎn)距離相等.

2.拋物線的性質(zhì)：焦點(diǎn)弦長

【變式訓(xùn)練】

L（2022?廣東廣州?一模）設(shè)拋物線E:V=8x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M（4,0）的直線與E相交于4

B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C,點(diǎn)8在線段AC上，IB用=3,則△BCF與△ACF的面積

之比*=（）

ACF

1111

A.-B.—C.-D.一

4567

2.（2022,廣東廣東?一模）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，

若|）|=4,則點(diǎn)F到直線PO的距離為（）

A.6B.26C.—D.亞

77

3.（2022?廣東茂名?一模）（多選）已知拋物線C：r=4），的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,P是拋物線

C上第一象限的點(diǎn)，歸尸|=5,直線PF與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,則下列選項(xiàng)正確的是

（）

|eri=-S0P（?=—

A.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,4）B.4C.3

D.過點(diǎn)作拋物線C的兩條切線其中A,B為切點(diǎn)，則直線A8的方程為：

xQx-2y+2=0

4.（2022?廣東?一模）（多選）已知拋物線Uy、?的焦點(diǎn)為F,拋物線C上存在"個(gè)點(diǎn)片，

P,,L,P,（“22且〃eN"）滿足=AP_FP=APFP,=—,則下列

nxnnn

結(jié)論中正確的是（）

11C

A."=2時(shí)，而門面一

B.〃=3時(shí)，出產(chǎn)|+舊尸|+月產(chǎn)|的最小值為9

u〃=4時(shí)，麻麗f府麗F[=Z

D.〃=4時(shí)，丑尸|+出川+怛川+比》的最小值為8

5.（2022?廣東湛江?一模）（多選）已知F是拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條互相垂

直的直線4，4，4與C相交于A,B兩點(diǎn)，4與C相交于E,D兩點(diǎn)，M為48中點(diǎn)，N

為E,。中點(diǎn)，直線/為拋物線C的準(zhǔn)線，則（）

A.點(diǎn)M到直線/的距離為定值B.以|A4為直徑的圓與/相切

C.|A用+。目的最小值為32D.當(dāng)最小時(shí)，MN//1

6.（2022?廣東深圳?一模）（多選）已知定圓A的半徑為1,圓心A到定直線/的距離為d,

動(dòng)圓C與圓A和直線/都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦

點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為Pi，P2,則（）

A.d>\B.P|+P=2dC.PR=d°D.---->~

PtPid

【鞏固練習(xí)】

一、單選題

1.橢圓C：￡+金=1（。>石）的左、右焦點(diǎn)分別為月，尸2,經(jīng)過點(diǎn)”的直線與橢圓C相

a~3

交于A,8兩點(diǎn)，若S8乙的周長為16,則橢圓C的離心率為（）

A.姮B.—C.yD.迫

4424

2.已知橢圓*■+/=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別"，左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,點(diǎn)尸為

橢圓上一點(diǎn)，且若ABHPF、,則橢圓的離心率為（）

A.@B.；C.且D.—

5232

3.已知0鳥分別為橢圓工+二=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，以尼為圓心的圓與直

42

線尸匕恰好相切于點(diǎn)P，則NP6K是（）

A.45°B.30°C.60°D.75°

4.明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）

所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）

、⑵、⑶中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別*去爭設(shè)圖（1）、⑵、（3）中橢

圓的離心率分別為爾02、03，則（）

⑶

ee

A.e}<e3<e2B.。2<3<i

C.e3<e2<exD.e2<el<e3

22

5.設(shè)廠為橢圓C:±+±=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)42,0）,點(diǎn)3在。上，若|3尸|二2|AF|,則|AB|二

43

（）

A.75B.2>/5C.V7D.25/7

22

6.設(shè)橢圓二+工?=1（。>〃>0）長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)C為橢圓上不同于A、3的

crb“

任一點(diǎn)，若將AA8c的三個(gè)內(nèi)角記作A、B、C,且滿足3tanA+3tan8+tanC=0,則橢圓的

離心率為（）

A.立B.-C.在D.-

3333

7.已知直線/過拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于M,N兩點(diǎn).若線段MN

的長為16,MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離為6,則△"ON（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）

A.B.8夜C.6應(yīng)D.6

8.過拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作直線/,交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若|陽=3|尸8],則直

線/的傾斜角等于（）

A.30°或150°B.45?；?35。C.60°或120°D.與p值有關(guān)

二、多選題

9.已知尸為橢圓的焦點(diǎn)，A,B分別為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)（且A不是離F最近的那個(gè)頂點(diǎn)），

若|AF|=3,|AB|=5,則橢圓的離心率可以為（）

A.1B.姮C.2D.25-3.

56334

2.設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片,用，若曲線C上存在點(diǎn)尸滿足|拶|(zhì)：忻用：歸用=4:3:2,

則曲線C的離心率可以是（）

I23

A.-B.—C.—D.2

232

3.雙曲線C:工-￡=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，點(diǎn)尸在C上.若△尸耳心是直角三角形，

124

則斗鳥的面積為（）

A.巫B.逋C.4D.2

33

22

4.己知橢圓C：L+±=1的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥，尸為C上一點(diǎn)，則（）

43

A.C的離心率為①B.耳工的周長為5

2

C.N百尸工<90D.14|尸耳區(qū)3

5.己知拋物線C：x2=20，S>O),過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)7(1,-1)作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4

8,下列說法正確的是()

A.p=lB.拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)

C.TAVTBD.直線A8的斜率為3

三、填空題

I.與雙曲線V-工=1有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長為2石的橢圓方程是.

4

22

2.已知橢圓C