全等三角形的性質(zhì)和判定(SSS、SAS)02

全等三角形的性質(zhì)和判定（SSS、SAS）學(xué)生/課程初二-數(shù)學(xué)年級初二學(xué)科數(shù)學(xué)授課教師日期時段核心內(nèi)容全等三角形的性質(zhì)和判定（SSS、SAS）課型一對一/一對N教學(xué)目標(biāo)掌握全等三角形的性質(zhì)，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角；掌握并判定全等三角形，能利用三角形的全等證明一些性質(zhì)。重、難點重點：掌握并應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)；掌握并判定全等三角形；難點：能利用三角形的全等證明一些性質(zhì)．課首溝通由老師自行填寫知識導(dǎo)圖課首小測如圖，△OAD≌△OBC且∠O＝70°，∠D＝∠C＝25°，下列結(jié)論①OD＝OC，②BC＝OD，③BD＝AC正確的是 ．如圖，△ABC中，點A的坐標(biāo)為（0，1），點C的坐標(biāo)為（4，3），如果要使△ABD與△ABC全等，那么點D的坐標(biāo)是 ．如圖：點C，D在AB上，且AC=BD，AE=FB，DE=FC．求證：△ADE≌△BCF．如圖，E、C、D三點在一條直線上，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB．求證：△EAD≌△CAB．導(dǎo)學(xué)一：全等三角形的概念和性質(zhì)知識點講解1：全等三角形的概念觀察下列每組中的兩個圖形，你發(fā)現(xiàn)它們的形狀 ，大小 ，你能舉出些類似的生活實例嗎？由此，你得到上述圖形的共同特征是： 、 完全相同；放在一起能夠 ．能夠 的兩個圖形叫做全等形．類似地，可以得出，能夠 的兩個 叫做全等三角形．把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做 ，重合的邊叫做 ，重合的角叫做 ．△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF．表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上．【參考答案】1.相同，相等；2.完全重合，三角形；3.對應(yīng)點，對應(yīng)邊，對應(yīng)角。例1. （1）如圖1，把△ABC沿直線BC平移，得到△DEF，△ABC △DEF，點A與點D，點 與點 ，點 與點 對應(yīng)頂點；AB和DE， 和 ， 和 是對應(yīng)邊；∠A和∠D， 和 ， 和 是對應(yīng)角．如圖2，把△ABC沿直線BC翻折180°，得到△DBC，可得△ABC △DBC．AC的對應(yīng)邊是 ，BC的對應(yīng)邊是 ，∠A的對應(yīng)角是 ，∠ACB的對應(yīng)角是 ．如圖3，把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，可得△ABC≌△ ．點A的對應(yīng)點是點 ，DE是 的對應(yīng)邊AE是 的對應(yīng)邊，∠BAC和∠ 是對應(yīng)角，∠E是∠ 的對應(yīng)角．例2.[單選題]下列語句：①面積相等的兩個三角形全等；②兩個等邊三角形一定是全等圖形；③如果兩個三角形等，它們的形狀和大小一定都相同；④邊數(shù)相同的圖形一定能互相重合．其中錯誤的說法有（ ）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個我愛展示1.如圖，△EFG≌△NMH，在△EFG中，F(xiàn)G是最長的邊，在△NMH中，MH是最長的邊，∠F和∠M是對應(yīng)角，且EF=2.4cm，F(xiàn)H=1.9cm，HM=3.5cm．寫出對應(yīng)相等的邊及對應(yīng)相等的角；知識點講解2：全等三角形的性質(zhì)1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等．例1. 如圖，若△ABC≌△CDE，∠B和∠D是對應(yīng)角，BC和DE是對應(yīng)邊．按要求填空：①點A和點 是對應(yīng)點，點 和點E是對應(yīng)點；②AB的對應(yīng)邊是 ，AC的對應(yīng)邊是 ；③∠A的對應(yīng)角是 ，∠ACB的對應(yīng)角是 ．求證：∠B＝∠ACD．例2. 如圖，已知△ABC≌△DEF，AF=5cm．求CD的長．AB與DE平行嗎？為什么？解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC=DF（），∴AC﹣FC=DF﹣FC（等式性質(zhì)）即=∵AF=5cm∴=5cm（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A=（）∴AB∥（）例3.如圖，點D，E在BC上，且△ABE≌△ACD．求證：（1）BD＝CE；（2）∠BAD＝∠CAE．我愛展示如圖所示，已知△ABC≌△EDC，點D、C、A在同一直線上，∠E=∠A=30°，∠D=50°，則∠BCE= ．如圖，△ABC≌△DEF，求證：（1）AD＝BE；（2）AC∥DF．如圖，D是BC上一點，AB=AD，BC=DE．△ABC≌△ADE，求證：∠CDE=∠BAD．導(dǎo)學(xué)二：全等三角形的判定知識點講解1：三角形全等的條件（一）“SSS”三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）證明格式：在△ABC和△DEF中，∴ ≌ （ ）．【參考答案】DE；EF；DF；△ABC；△DEF；SSS例1.如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，AF=DE．求證：∠A=∠D．證明：∵BE＝CF（已知）∴BE＋ ＝CF＋ （等式的性質(zhì)即 ＝CE（等量代換）在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（ ）∴∠A=∠D（ ）我愛展示如圖，中， ，現(xiàn)想利用證三角形全等證明 ，若證明三角形全等所用的公理是 公理，則中所添加的輔助線應(yīng)是 ．如圖，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB。求證：△ABC≌△BAD．證明：∵CE＝DE，EA＝EB，∴ ＋ ＝ ＋ 即 ＝ ．在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（ ）．知識點講解2：三角形全等的條件（二）“SAS”兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）證明格式：證明：在△AOD和△COB中，∴ ≌ （ ）．【參考答案】CO；COB；BO；△AOD；△COB；SAS例1.已知，如圖，AB=CD，AB∥CD，BE=FD，求證：△ABF≌△CDE．例2. 如圖所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求證：△ABC≌△DEC．我愛展示如圖，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，若以“SAS”為依據(jù)，補充的條件是．如圖，AE∥CF，AE=CF，點E、F在線段BD上，且BF=DE，連接AB、DC．求證：AB∥CD．導(dǎo)學(xué)三：拓展延伸知識點講解1：例1.如圖：在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BD，E是AD上一點，CD＝DE，連結(jié)BE并延長交AC于點F．求證：（1）BE＝AC；（2）BF⊥AC．我愛展示1. 已知，如圖1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，點C在直線BD上且與F重合，AB＝FD，BC＝DE請說明△ABC≌△FDE，并判斷AC是否垂直FE？若將△ABC沿BD方向平移至如圖2的位置時，且其余條件不變，則AC是否垂直FE？請說明為什么？知識點講解2：例1.如圖，B、C、E三點在一條直線上，△ABC和△DCE都為等邊三角形，連接AE、DB．求證：AE＝BD．如果把△DCE繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，使B、C、E不在一條直線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（由）限時考場模擬： 分鐘完成[單選題] 如圖所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，有以下結(jié)論：①AC＝AE；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正確的個數(shù)是（ ）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是 ．如圖，OA=OB，要使△OAC≌△OBD，則需要添加的一個條件是 ．（只填寫一個條件即可）如圖，已知△ABC≌△DEB，點E在AB上，DE與AC相交于點F，當(dāng)DE=8，BC=5時，線段AE的長為 ；（2）已知∠D=35°，∠C=60°，①∠DBC的度數(shù)是 ；②∠AFD的度數(shù)是 ．已知：如圖，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，DE=BF．求證：AB∥CD．已知如圖，AD＝BC．AC＝BD．求證：∠CAD＝∠DBC.已知如圖，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．求證：BD＝CE．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接求證：（1）△BAD≌△CAE；試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．課后作業(yè)[單選題]已知圖中的兩個三角形全等，則∠α的度數(shù)是（ ）．A．72° B．60° C．58° D．50°如圖，方格紙中有四個相同的正方形，則∠1＋∠2＋∠3＝ °．如圖，已知△ABC≌△DBE，點D在AC上，BC與DE交于點P，若AD=DC=2.4，BC=4.1．（1）若∠ABE=162°，∠DBC=30°，求∠CBE的度數(shù)；（2）求△DCP與△BPE的周長和．如圖，點B在線段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求證：∠A=∠E．如圖，AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AE，∠B＝∠E，BD分別與CE，AE交于點求證：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，∠B＝∠C．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若點QP的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？如圖：在△ABC中，BE，CF分別是AC，AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連結(jié)AG．求證：（1）AD＝AG；（2）AD與AG的位置關(guān)系．1、熟記本節(jié)常見解題類型與解題方法，熟記定理，靈活變通2、完成老師規(guī)定的作業(yè)，制定相應(yīng)的學(xué)習(xí)安排。課首小測1.①③2.（－1，3）；（－1，－1）；（4，－1）證明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC．在△ADE和△BCF中， ，∴△ADE≌△BCF（SSS）。解析:先依據(jù)等式的性質(zhì)證明AD=BC，然后依據(jù)SSS進行證明即可．即∠EAD=∠CAB，在△EAD和△CAB中，，∴△EAD≌△CAB（SAS）．解析:先證明∠EAD=∠CAB，再利用SAS證明△EAD≌△CAB即可．導(dǎo)學(xué)一知識點講解1：全等三角形的概念例題1.（1）≌，B，E，C，F(xiàn)；AC，DF，BC，EF，∠B，∠E，∠C，∠F；（2）≌，DC，BC，∠D，∠DCB；（3）ADE，A，BC，AC，DAE，C。2.B解析:①面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項錯誤；②兩個等邊三角形一定是相似圖形，但不一定全等，故本選項錯誤；③如果兩個三角形全等，它們的形狀和大小一定都相同，符合全等形的定義，正確；④邊數(shù)相同的圖形不一定能互相重合，故本選項錯誤；綜上可得錯誤的說法有①②④共3個．故選B．我愛展示1.解：（1）∵△EFG≌△NMH，∴EF=NM，EG=NH，F(xiàn)G=MH，∠E=∠N，∠F=∠M，∠EGF=∠NHM；知識點講解2：全等三角形的性質(zhì)例題1.（1）①C，C②CD，CE③∠DCE，∠E（2）證明：∵△ABC≌△CDE，∴∠B＝∠D，∠ACB＝∠E∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∴∠B＝∠ACD2.（1）全等三角形對應(yīng)邊相等；AF=CD（2）∠D；全等三角形對應(yīng)角相等；DE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行3.證明：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∴BE－DE＝CD－DE即BD＝CE（2）∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE即∠BAD＝∠CAE．我愛展示1.20°解析:解：∵△ABC≌△EDC，∴∠DCE=∠BCA，∵∠E=30°，∠D=50°，∴∠DCE=100°，∴∠BCA=100°，∴∠BCE=100°+100°﹣180°=20°，故答案為：20°．2.證明：（1）∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB－DB＝DE－DB即AD＝BE（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠EDF，∴AC∥DF3.證明：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE，由三角形的外角性質(zhì)得，∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD．解析:根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠B=∠ADE，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，從而得證．導(dǎo)學(xué)二知識點講解1：三角形全等的條件（一）“SSS”例題1.EF，EF，BF，BF，SSS，全等三角形的性質(zhì)我愛展示BC上的中線CE；EB；DE；EA；CB；DA；CA；DB；CB；DA；AB；BA；SSS知識點講解2：三角形全等的條件（二）“SAS”例題1.證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D，∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）．解析:由BE=DF，兩邊加上EF，利用等式的性質(zhì)得到BF=DE，再由AB與CD等，利用SAS即可得證．2.證明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．解析:根據(jù)三角形全等的判定，由已知先證∠ACB=∠DCE，再根據(jù)SAS可證△ABC≌△DEC．我愛展示AC=AE解析:補充的條件是：AC=AE．理由如下：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠BAC=∠DAE．∵在△ABC與△ADE中， ，∴△ABC≌△ADE（SAS）．故答案是：AC=AE．在△AEB和△CFD中∴△AEB≌△CFD（SAS），∴∠B=∠D，∴AB∥CD．解析:由平行的性質(zhì)可得∠AEB=∠CFD，結(jié)合條件可證明△AEB≌△CFD，可得到∠B=∠D，可證明AB∥CD．導(dǎo)學(xué)三知識點講解1：例題1.證明：（1）∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°．在△BDE和△ADC中， ，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC．（2）∵△BDE≌△ADC，∴∠EBD＝∠DAC，∵∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠DEB＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＋∠EAF＝90°．∴∠AFE＝90°，∴BF⊥AC解析:（1）問由已知條件易證△BDE≌△ADC，從而證出BE＝AC。（2）問由△BDE與△ADC全等，得到∠EBD＝∠DAC，角∠BED＝∠AEF，從而△BED＝△AEF的兩對內(nèi)角分別相等，由三角形內(nèi)角和定理可證∠AFE＝∠BDE=90°。我愛展示解：（1）AC⊥EF，證明如下．∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，在△ABC和△FDE中 ，∴△ABC≌△FDE（SAS），∴∠A＝∠EFD，∵∠B＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠ACB＋∠ECD＝90°，∴∠ACE＝180°－90°＝90°，∴AC⊥CE．（2）AC⊥FE，證明如下，證明：∵∠A＝∠F，∠ABC＝∠ABF＝90°，∠AMN＝∠FMB，∴∠F＋∠FMB＝90°，∴∠A＋∠AMN＝90°，∴∠ANM＝180°－90°＝90°，∴AC⊥FE．知識點講解2：例題1.（1）證明：∵△ABC、△DCE都為等邊三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE，即∠BCD＝∠ACE，∵在△BCD與△ACE中： ，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）仍然成立。限時考場模擬1.B全等三角形的對應(yīng)角相等解析:由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依據(jù)SSS可判定△COD≌△C’O’D’，則∠COD≌∠C’O’D’，即∠A’O’B’=∠AOB（全等三角形的對應(yīng)角相等）．故答案為：全等三角形的對應(yīng)角相等．3.OC=OD4.3；25°；130°解析:（1）∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5，∴AB=DE=8，BE=BC=5，∴AE=AB﹣BE=8﹣5=3，（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=85°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBE=85°﹣60°=25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF=∠D+∠DBE=35°+60°=95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD=∠A+∠AEF=35°+95°=130°．故答案為：3；25°；130°，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°．又∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△AFB與△CED中，∴△AFB≌△CED（SAS）．∴∠A=∠C．∴AB∥CD．證明：在△ABC與△BAD中∴△ABC≌△BAD(SSS)∴∠CAB=∠DBA，∠CBA=∠DAB∴∠DAB-∠CAB=∠CBA-∠DBA即∠CAD=∠DBC即∠DAB=∠EAC又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD=CE即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．證明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．解析:要證（1）△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB=AC，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得．（2）BD、CE有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力．要證BD⊥CE，需證∠BDE=90°，需證∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．課后作業(yè)1.D2.135°3.解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE，∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度數(shù)為66°；（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AD