常微分方程第三版

關(guān)于常微分方程第三版第1頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三第一章緒論

常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具，它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、航空航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟領(lǐng)域等都有廣泛的應(yīng)用。第2頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，1676年詹姆士·貝努力致牛頓的信中第一次提出微分方程。微分方程建立后，立即成為研究，了解和知曉現(xiàn)實世界的重要工具。1846年，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家合作，通過求解微分方程發(fā)現(xiàn)了一顆有名的新星——海王星。1991年，科學(xué)家在阿爾卑斯山發(fā)現(xiàn)一個肌肉豐滿的冰人，據(jù)軀體所含碳原子消失的程度，通過求解微分方程，推斷這個冰人大約遇難于5000年以前，類似的實例還有很多。在微分方程發(fā)展的史中，數(shù)學(xué)家牛頓，萊布尼茨，雅各布·貝努利、歐拉、拉格朗日等等都做出了卓越的貢獻。第3頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三一、什么是微分方程？

方程對于學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的人來說是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。

第4頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。

解這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達式——即求解微分方程。第5頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三二、微分方程的研究內(nèi)容1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對初值的連續(xù)性和可微性問題。第6頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論

1900年，希爾波特提出的23個問題中的第16個問題之一，至今未解決。4、微分方程的數(shù)值解法3、微分方程解析理論

由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）表示成級數(shù)形式，并引進特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了微分方程解析理論。第7頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三§1.1微分方程模型

微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.

為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進行適當(dāng)?shù)暮喕图僭O(shè),建立數(shù)學(xué)模型,當(dāng)問題涉及變量的變化率時,該模型就是微分方程,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.第8頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例1鐳的衰變規(guī)律:第9頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三解第10頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例2RLC電路

如圖所示的R-L-C電路.它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t).設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關(guān)系.

第11頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三電路的基爾霍夫（Kirchhoff）第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中在時刻t的電流強度為I(t),

則電流經(jīng)過電感L,電阻R和電容的電壓降分別為

其中Q為電量.第12頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三由Kirchhoff第二定律,得到因為

于是得到這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

解第13頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus）在擔(dān)任牧師期間，查看了當(dāng)?shù)亟烫?00多年人口出生統(tǒng)計資料，發(fā)現(xiàn)：人口增長率是一個常數(shù)。假設(shè)條件：凈相對增長率（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口數(shù)之比）為常數(shù)

.例3人口模型解

Malthus模型：Logistic模型：第14頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例4

傳染病模型:長期以來,建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機理分析的方法建立模型.第15頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三解:SI模型SIS模型SIR模型第16頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例5生物種群模型

意大利生物學(xué)家棣安考納發(fā)現(xiàn)某海港在第一次世界大戰(zhàn)期間捕魚量減少而捕獲到的捕食魚占的百分比確急劇增加，為解釋這種現(xiàn)象，意大利數(shù)學(xué)家沃特拉（Volterra）建立了一個關(guān)于捕食魚和被食魚生長情形的模型。

沃特拉把所有的魚分為兩類：被食魚與捕食魚，設(shè)t時刻被食魚的總數(shù)為x(t),而捕食魚的總數(shù)為y(t).第17頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三Volterra被捕食-捕食模型：Volterra模型：解第18頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例6Lorenz方程

氣象學(xué)家洛倫茨在美國天氣預(yù)報中心工作，進行數(shù)值天氣預(yù)報。他在20世紀60年代初開始用數(shù)字計算機，曾簡化氣象方程，最終得到后來被成為混沌（Choas）現(xiàn)象第一例的有名的氣象方程——Lorenz方程。第19頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

微分方程模型的構(gòu)造方法：1、從已確定的自然規(guī)律（物理、力學(xué)知識）出發(fā)，考慮主要因素，忽略次要因素，提煉出自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即相應(yīng)微分方程。2、如果沒有直接的已知規(guī)律可參考，可應(yīng)用類比方法，建立模型。3、根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)，通過分析數(shù)據(jù)的相互關(guān)系加上合理的邏輯推理，尋找相關(guān)規(guī)律建立相應(yīng)的模型。4、還可根據(jù)一定的目的，通過反復(fù)實驗，尋找適合要求的模型。第20頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù)

,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等

.第21頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓

.他還設(shè)計了作乘法的計算機

,系統(tǒng)地闡述二進制計數(shù)法

,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來

.第22頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,

伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,

位數(shù)學(xué)家.

標和極坐標下的曲率半徑公式,

1695年

版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,

而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.

年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多

1694年他首次給出了直角坐

1713年出

這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,

他對雙紐線,懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究.第23頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學(xué)家.

他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,如《無窮小分析引論》,《微

還寫了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.

他在工作期間幾乎每年都完成800