大學(xué)物理第二章 行波,波動方程

§2.1行波

一．機(jī)械波的產(chǎn)生二．描述波的物理量

§2.2平面簡諧波

一．波函數(shù)二．波動曲線

§2.3

波動方程作業(yè)：2.3、2.6、2.7第二章波動學(xué)基礎(chǔ)

振動在空間的傳播過程叫做波動第二章波動學(xué)基礎(chǔ)機(jī)械振動在媒質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波。如聲波、水波、地震波等變化電場或變化磁場在空間的傳播稱為電磁波。如無線電波、光波、等雖然各類波的本質(zhì)不同，各有其特殊的性質(zhì)和規(guī)律，但在形式上它們也具有許多共同的特征。如都具有一定的傳播速度，都伴隨著能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉或衍射等現(xiàn)象。一.機(jī)械波的產(chǎn)生§2.1行波

機(jī)械波產(chǎn)生的條件振源作機(jī)械振動的物體——波源媒質(zhì)傳播機(jī)械振動的物體在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波，是靠物體的彈性形成的，因此這樣的媒質(zhì)又稱彈性媒質(zhì)。什么是物質(zhì)的彈性？2.3物體的彈性變形物體包括固體、液體和氣體，在受到外力作用時，形狀或體積都會發(fā)生或大或小的變化。這種變化統(tǒng)稱為形變當(dāng)外力不太大因而引起的形變也不太大時，去掉外力，形狀或體積仍能復(fù)原。這個外力的限度稱作彈性限度。在彈性限度內(nèi)，外力和形變具有簡單的關(guān)系，由于外力施加的方式不同，形變可以有以下幾種基本方式：線變切變體變⑴線變一段固體棒，當(dāng)在其兩端沿軸的方向加以方向相反大小相等的外力時，其長度會發(fā)生改變，伸長或壓縮視二者方向而定。以F表示力的大小，以S表示棒的橫截面積，則叫F∕S叫做應(yīng)力，以l表示棒的長度，實驗表明：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。以Δl表示在外力F作用下的長度變化。則Δl∕l叫相對長度變化，又叫應(yīng)變⑴線變胡克定律在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。為關(guān)于長度的比例系數(shù)，它隨材料不同而不同，叫楊氏模量。⑵切變一塊矩形材料，當(dāng)它的兩個側(cè)面受到與側(cè)面平行的大小相等方向相反的力作用時，形狀就要發(fā)生改變，如圖，外力F和施力面積S之比，為切變的應(yīng)力施力面積相互錯開而引起的材料角度的變化ф，叫切變的應(yīng)變。這種形式的形變叫切變。⑵切變在彈性限度內(nèi)，切變的應(yīng)力也和應(yīng)變成正比。稱作切變彈性模量。由材料的性質(zhì)決定。⑶體變一塊物質(zhì)周圍受到的壓強(qiáng)改變時，其體積也會發(fā)生改變，如圖，以V表示原體積，ΔP表示壓強(qiáng)的改變，以ΔV∕V表示相應(yīng)體積的相對變化，即應(yīng)變，則有叫體變彈性模量,它由物質(zhì)的性質(zhì)決定,“－”表示壓強(qiáng)的增大總導(dǎo)致體積的減小一.機(jī)械療波的辜產(chǎn)生§2錯.1行波機(jī)械旁波產(chǎn)迎生的語條件振源作機(jī)鹽械振調(diào)動的津物體——波源媒質(zhì)傳播蟲機(jī)械垮振動鴿的物疏體在物嗚體內(nèi)適部傳砌播的理機(jī)械架波，關(guān)是靠倆物體另的彈康性形奶成的度，因此少這樣崇的媒篩質(zhì)又垮稱彈性許媒質(zhì)含。什么鴨是物仇質(zhì)的散彈性政？機(jī)械跪振動寨是如柴何靠羊彈性屑來傳使播呢練？機(jī)械劣波的蝴傳播縱波溪和橫達(dá)波按質(zhì)伯元振綱動方摩向與柳波傳沉播的假方向分之間藥的關(guān)驢系波小劃分船為橫波縱波振動找方向盈與波唉傳播繪方向初垂直慕的波腔。振動法方向叉與波滴傳播梁方向謝在一缺條直棍線上離的波緣瑞。如彈簧瓜中傳女播的好波以憲及聲國波如細(xì)繩王中傳稿播的嚴(yán)波波傳端播是撤由于纏質(zhì)元獲的形萌變，對橫聞波、京縱波滴來說眠，質(zhì)元攀發(fā)生宵形變孝情形瓣是什湖么樣騰的呢銷？橫波從圖上小可以職明顯鬼看出頁在橫州波中餐各質(zhì)產(chǎn)元發(fā)迅生切變，外形勺有波疤峰波楚谷之行分橫波騾只能煌在彈艷性固核體中心傳播縱波在縱留波中孕，各昨質(zhì)元衣發(fā)生長變武或體亞變，因而纖媒質(zhì)案的密細(xì)度發(fā)墳生改鍛變，環(huán)各處肥疏密儀不同堂，所以淋縱波也也叫燙疏密惰波?？v波吵在氣運(yùn)體、暈液體挖、固覺體媒偽質(zhì)中把都可萍以傳討播波的茫特征不管灰是橫堆波還窗是縱綁波，頑在波青傳播挨的過機(jī)程中月，媒質(zhì)扎中各懲質(zhì)元抗均在撓各自坑的平敵衡位抹置附衰近振蠟動，質(zhì)元篩本身槳并不么遷移吼，質(zhì)旱元并雅未“隨波翠逐流”。(2象)“上游偶”的黃質(zhì)元士依次誰帶動輔“下鍛游”管的質(zhì)弦元振縫動。(3址)某時狹刻某伏質(zhì)元泳的振瞇動狀王態(tài)將麻在較繼晚時管刻于“下谷游”某處碎出現(xiàn)--崇-波是氏振動滅狀態(tài)械的傳如播(4衣)在媒繭質(zhì)中罵沿波的傳播械方向端，相甘隔一投定距縫離存在秀同相匠質(zhì)元--卵--質(zhì)元嫂的振掌動狀廁態(tài)相縣同波的銀幾何兇描述波的傳播發(fā)是振條動的沾傳播怎而非妙質(zhì)元爆的遷鬼移，由于道振動軍狀態(tài)擦常用撞位相耽來表藏示，所以懸振動性狀態(tài)暮的傳來播也范可以迷用位潛相的唯傳播假來說鞭明。為了伙形象幫直觀井地表裙示媒孫質(zhì)中亞各質(zhì)散元的節(jié)位相患的關(guān)吵系以及就波傳解播的排方向尺，常雀用幾驕何圖勇形加頃以描蠢述。波線馳：用帶箭頭牢的線弊表示鬧波傳雜播的距方向嬌。波面頃：媒質(zhì)故中振稿動位超相相除同的配質(zhì)元定組成泳的曲煙面。波前侍：波源撲開始浸振動思后，雪在同日一時虛刻，誦振動喪到達(dá)渠的各點肯構(gòu)成危的面,顯然網(wǎng)是一她個同番位相桶面，由于考這一跨波面沙在波奸傳播殺方向完的最旁前方減，所以恥又叫令做波前或波陣田面。根據(jù)陽波前楚的形繪狀不圾同，波可來分為平面楊波，球面爐波，柱面夠波。球面波平面波波線

波面二．涉描述卷波的衛(wèi)物理賽量周期T、頻率ν波是弦機(jī)械粥振動慕的傳故播，卷在傳往播的小過程貍中，媒質(zhì)格的各房誠個質(zhì)篇元都譯在平其衡位兆置附局近作開機(jī)械競振動傲。由于數(shù)振動糾具有引時間男上的再周期筋性，所以泊波也液具有忠時間遇上的穩(wěn)周期駝性，即每閉隔一雨定的過時間截，媒逼質(zhì)中導(dǎo)各質(zhì)渴元的振動執(zhí)狀態(tài)丑都將借復(fù)原批。媒質(zhì)競中振巡壽動狀墳態(tài)復(fù)乏原時叛所需把的最扁短時每間，也即綁質(zhì)元摘完成銜一次皂全振僻動的臨時間艷叫波末的周期，周期縱的倒循數(shù)叫頻率。在媒慢質(zhì)中五沿波郵傳播濟(jì)方向印，每遙隔一腦定距膊離，媒質(zhì)霧的質(zhì)克元的絮振動存狀態(tài)服在各留時刻害都相掏同--撫--質(zhì)元棒的振遇動同儀相表明寫波具茂有空間薦上的粱周期袋性。引入波長的概岸念來飼描述沫波在叉空間纖上的保周期唇性。波長λ在波屆的傳播眉方向幫上兩粥個相辮鄰的屈同相跨質(zhì)元掏之間的距偵離叫言做波長。記作λ從外左形上為看，橫波燈的一范個波注長中良有一驅(qū)個波奏峰和俊一個葛波谷碗，相鄰效兩個搞波峰烈或波縣谷之撇間的坦距離騙等于資一個德波長λλ

波長λ在波的傳播方向上兩個相鄰的同相質(zhì)元之間的距離叫做波長。記作

λ縱波獵的一鴿個波仔長內(nèi)厲有一反個疏橡部和腎一個禁密部弊。相鄰圈兩個棍密部露或疏繪部之綁間的秋距離優(yōu)等于老一個慕波長λλ橫波稈中的薦一峰臨一谷某和縱爪波的投一疏廢一密效構(gòu)成且了一個筑“完整雁波”——包含塌了全轎部振待動狀鹽態(tài)，因此弟一希個波咳長就亡是一被個“完整顧波”的盤長度紗。周期T、頻率ν與波玻長λ的關(guān)奴系波的子時間抄上的宗周期顫性和旗空間表上的津周期嶄性是密鼠切聯(lián)孫系的獄，這陪種聯(lián)進(jìn)系就桶表現(xiàn)蹦在：在一滑個周承期的先時間敗內(nèi)，匯某一墨確定浪的振李動狀隸態(tài)，訓(xùn)也即某一仿確定扯的位莫相，務(wù)所傳污播的通距離別正好憶是一林個波微長。如果染以u表示追振動石狀態(tài)匠或振韻動相孔的傳浴播的與速度膨，則這薄一聯(lián)怨系可理用公住式表頂示為這是碧表示穗波的豬基本深特征抱的重密要公魂式將上貌式改績寫表明助：波的淡頻率腐等于割單位置時間順內(nèi)通均過媒異質(zhì)某一辨點的絹“完整線波”的顛個數(shù)閑。波速u波速扒的大疲小決絮定于勒媒質(zhì)駐的性凱質(zhì)，振動予狀態(tài)爽或振碰動位塞相的疑傳播惜速度商，也課稱相速欠度E—楊氏我彈性驢模量—體密霜度(2數(shù))固體勁棒中榴的縱腰波(1抓)固體暖中的冬橫波G—切變鏟模量∵G<E,固體腎中ｕ橫波<ｕ縱波(3某)彈性修繩上烏的橫們波T—繩的突初始柏張力,—繩的渡線密遺度(4借)流體甩中的青聲波k—體積判模量,0—無聲蹦波時棚的流燈體密啊度=Cp/Cv,—摩爾吼質(zhì)量理想糧氣體:§2體.2簡諧葬波如果堪媒質(zhì)絹中所訓(xùn)傳播卡的是鴿簡諧播振動侮，則媒忌質(zhì)中送各質(zhì)謹(jǐn)元均黨作簡圈諧振破動，則相推應(yīng)的昏波稱箏作簡諧迅波，又助叫正弦倚波。平面仙簡諧轎波：波面獅是平叫面的灘簡諧皺波。球面列簡諧姥波：波面謊是球獎面的弦簡諧迎波。一．究平面可簡諧偽波的病波函蝦數(shù)（按波的頓表達(dá)隔式）波函率數(shù)的牢含義挨：與簡就諧振妹動表變達(dá)式促對比檔說明x=Aco組s(t嚇o)是簡壤諧振廳動質(zhì)房誠點的垃運(yùn)動扯方程表示竿時刻t質(zhì)點叉離開互平衡擋位置的位陰移，融取決沸于位誕相t梁o一．聾平面甩簡諧旅波的狐波函權(quán)數(shù)（墓波的交表達(dá)告式）波函伐數(shù)波的咸表達(dá)廚式給出逼一個堤能夠揪描述絡(luò)媒質(zhì)割中所充有質(zhì)方元的運(yùn)動狗狀態(tài)擱的方吵程，洋即振額動表花達(dá)式應(yīng)表屠示出垂所有練質(zhì)元容在時鼠刻t的位劃移，除了饑取決t峰o外，還應(yīng)岸與質(zhì)誕元的福位置茶坐標(biāo)辰有關(guān)下面球來寫現(xiàn)出平迷面簡逼諧波炊的表雅達(dá)式假設(shè)犯一平葬面簡鴿諧波圓在理掉想的沖、不斑吸收尸振動安能量講的均勻齒無限份大媒社質(zhì)中態(tài)傳播伴。波傳播的速度為，方向如圖選擇跟平行倘波線贈方向霧的直弟線為x軸。●在垂直x軸的迅平面端上的美各質(zhì)老元（鼻振動收狀態(tài)守相同勒），它們潛在同耐一時商刻對觀各自痛的平訴衡位網(wǎng)置有鍋相同土的位秀移。因此現(xiàn)，對您于平聰面波液來說歐只需靠知道x軸上冶各質(zhì)泳元的振動染狀態(tài)煤就可搜以了立?！窦?平面榜波的心波函廈數(shù)給圾出的僚是x軸上各質(zhì)震元的振疊動表灑達(dá)式已知攜平面棵簡諧崗波沿x軸正舊向傳屑播，x軸上寄質(zhì)元犁離開棟平衡嶼位置丘的位休移用y表示●設(shè)t時刻能位于負(fù)原點o的質(zhì)框元的灣振動毛表達(dá)搭式為期：由假廚設(shè)，璃在振魔動傳遣播過在程中鞠，媒并質(zhì)并再不吸闖收振動是的能仗量，攻所以逃各質(zhì)圾元的皆振動閥的振壞幅相搖等。則當(dāng)o點質(zhì)侮元的饑振動寄以波津速u傳到耗任一培點P時●●P點質(zhì)妥元將壘以相銳同的講振幅攀和頻萬率，重復(fù)o點質(zhì)量元的爬振動服，但P點振積動的鵲位相展要比o點落鉛后。由于侄沿波譽(yù)傳播童方向鞭每隔旁一個魯波長λ，位相面就要凍落后2π，每隔刮單位涌長度竊位相抬落后2π∕λ設(shè)P點距o點的訪距離透為x，P點振軌動的御位相額要比o點落店后x2π∕λ●●P點振緩動的愿位相手要比o點落具后x2π∕λ●●t時刻o點質(zhì)頃元的距振動恨位相固：t時刻P點質(zhì)鳴元的曉振動你位相姿：●●結(jié)果扎：t時刻P點質(zhì)邀元振執(zhí)動的翁振幅潑和頻踢率與o點相努同，P點振圖動的裳位相t時刻P點質(zhì)衫元振典動的旦表達(dá)險式：●●因為P點是賤任選趟的，孫上式方就是x軸上繼任意容質(zhì)元的振朋動表廚達(dá)式兩，即洽平面毒簡諧花波的波函壁數(shù)利用暗關(guān)系波函奧數(shù)還有任其它屆形式令波數(shù)討論平面方簡諧姜波波炊函數(shù)途的物姑理意鍋義當(dāng)x一定削時，即對狗于某蔑一確嘩定位顯置（x＝x0）的質(zhì)席元。波函達(dá)數(shù)給出留了x＝x0處質(zhì)套元作盯簡諧翁振動粉的表漁達(dá)式當(dāng)t一定漠時，鐘即對探于某幅一確形定時敞刻（t＝t0）。波函闊數(shù)給出誼了t0時刻浩各個太質(zhì)元斑離開扶平衡膜位置殊的位鬼移當(dāng)x、t變化心時，波函猜數(shù)給出涼了任叫意x處質(zhì)貝元在突任意t時刻離開飾平衡嘆位置萬的位估移表達(dá)負(fù)式也反映備了波嫁是振湊動狀幣態(tài)的錢傳播●●●沿負(fù)轟向傳納播的篇平面降簡諧室波的趟表達(dá)藥式●●二．部波動憂曲線根據(jù)駕波動咳表達(dá)農(nóng)式以t時刻槐，質(zhì)辮元的艷平衡接位置x為橫貓坐標(biāo)首，以質(zhì)頃元離國開平喝衡位沉置的獻(xiàn)位移y為縱脅坐標(biāo)河，畫出苦的曲稿線，鍛叫t時刻紹波形橋曲線嘉。xyo

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u→波形米曲線擠上兩禿相鄰亂波峰盟或波形谷之無間的冶距離等于開一個置波長持，表紫示一禽個周瓣期內(nèi)摩波傳稼播的材距離導(dǎo)。波形梅曲線西上波伸峰或家波谷羞的縱塌坐標(biāo)坡的絕株對值等于辣波的貧振幅款，表肺示質(zhì)治元離密開平盞衡位急置的鳴最大濟(jì)位移打。-AA

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λ

t＋Δto-AA不同查時刻慮對應(yīng)糠有不唱同的削波形繪曲線將平面慰簡諧懷波的地波函嶄數(shù)分鐵別對t及x求兩旬次偏序?qū)?shù)比較信兩式波動外方程驗的運(yùn)烘動學(xué)姐推導(dǎo)§2奸.4波動棚方程——波動固方程注意緊：波動刊方程貼是由賀平面限簡諧翻波推針導(dǎo)出驕的，但對利其它拴平面映波仍誕然成尋立，從數(shù)乳學(xué)上厭，平冶面簡坦諧波陣波函故數(shù)只是吊上述怒波動腐方程輝的一唐個特張解?！▌愉N方程波動姜方程架的動朱力學(xué)涼推導(dǎo)以平面困波在竿固體噸細(xì)長騾棒中找的傳峰播為矛例以上盾是按涉運(yùn)動拆學(xué)的銹觀點遮來討瀉論波托動過跳程的成傳播摸規(guī)律冤，還可耕以進(jìn)驚一步沫從動獸力學(xué)良的觀愈點，晶更本闖質(zhì)地繼分析波動快方程路的意孤義.設(shè)有坡一截寫面積濾為S，密度猴為ρ的固扎體細(xì)族棒，一平磁面縱波沿基棒長填方向睡傳播引。當(dāng)有葡縱波既傳播核時，幫該體斷積元扎發(fā)生琴線變辯，設(shè)t時刻蔬體積案元正統(tǒng)被拉趟長(先做真力分膽析—應(yīng)力堪分析熄）：這一達(dá)體積的元的副長度師為dx，體積選棒渣長的余方向荒為x軸，芹在棒逗上距o點x處附近取一譽(yù)體積疾元ab，●●●●左端讓受到節(jié)應(yīng)力用為σ，方向即向左籍；右端詞受到蔑應(yīng)力養(yǎng)為σ＋dσ，方向來向右被；●●●●應(yīng)力饒是x和t的函夫數(shù)t時刻敘體積揀元所糖受合栗力體積聯(lián)元質(zhì)舍量為根據(jù)傘牛頓腐第二掃定律架有●●●●●●●在應(yīng)此力作矛用下臘體積國元發(fā)坡生線觀變（府分析糕長度肆方向銅的變局化—應(yīng)變波分析夜）：a端發(fā)錘生的銜位移擋為y，b端發(fā)餡生的鹿位移侮為y＋dy由圖賠上幾消何關(guān)墊系，會體積疏元長齊度變宿化為dyt時刻由圖貞上幾僵何關(guān)逃系，遷體積盜元長旅度變口化為dy●●●●●●●t時刻體積松元的寄原長dx體積捏元的逐應(yīng)變某為由胡克娃定律楊氏模量。●●●●●●●t時刻牛頓壁第二排定律應(yīng)力膛公式速度蝴公式例1手.⑴o點振搜動表性達(dá)式盯；⑶P點振遲動表趁達(dá)式漢；⑹Q，P點的材位相向差⑵波函鄙數(shù)⑷Q點振拾動方誼向⑸P點振劑動方掀向；xyo●●mm⑴o點振栽動表卻達(dá)式執(zhí)；解：設(shè)o點振嘴動表賴達(dá)式xyo●●由波形語圖⑴o點振水動表械達(dá)式鎮(zhèn)；解：xyo●●解：xyo●●⑵波函鄙數(shù)解：xyo●●⑶P點振柴動表刊達(dá)式蝕；解：xyo●●⑹Q，P點的搜位相鑼差⑷Q點振寶動方宴向⑸P點振邀動方洽向向上向下o例2奶.求:⑴波的征周期由、角句頻率怒和波沸數(shù)⑵波函漢數(shù)某平面恩簡諧勢波在t=0和t