高考文科數(shù)學大二輪復習新講義3

第1講平面向量

考點1平面向量的概念與線性運算

1.在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形

要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化.

2.在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的

起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起

點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量.

[例1](1)[2019?河北衡水中學摸底]如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線

AC與80交于點0,且薪=2訪，則防=()

f2f

A.eqA。一QA3

B.eqAD+^AB

—*2f

D.eqAD+^AB

(2)[2019?四川綿陽聯(lián)考]如圖，在△ABC中，。為5c邊上的一點,且

2DC.C=mAB+nAD(m,〃￡R),則m—n=()

A.2B.1

C.-2D.3

■-A-?—?1-A-A1-A-A-?2-A1

【解析】(1)ED=E4+AZ)=~^AC+AD=—^(AD~\-AB)-\-AD=^AD~^

—?—?—?—?—?—?—?[—?3—A1

(2Y：BD=2DC,：.AD-AB=2(AC-AD),：.AC=-^AB+^AD^

3

n=&,.,./〃一〃=—2.故選C.

【答案】(1)C(2)C

,~⑹技法領(lǐng)悟■■■■-------------------------.

1.平面向量的線性運算技巧

(1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈

活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進行運算.

(2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標形式，常利用坐標運算來判斷；

若兩向量不是以坐標形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當方/0時，a〃b?存在

唯一實數(shù)九使得。=勸)來判斷.

2.［警示］證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線

與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

『對接訓練』

1.［2019?福建三明期末］在△ABC中，3CD=BD,4。為8C邊上的高，O

為4。的中點，若43=2蕊+〃/，貝IJ九〃=()

33

A--4B.16

C.eqD.eqD.

解析：

1

如圖，?.,3日)=訪,O為AD的中點，.?./=；箭)=短+；礪=多%+x3

2X2

13~13_13

BC—^AB-\-^AC—AB)——^AB-\-^AC=XAB-\-/2AC,.,"=—4,〃=不:.人平=一

3,

記.故選B.

答案：B

2.［2019?福建寧德五中期中］設(shè)O為△ABC的重心，若藍=/3+啟"，則

%+//=()

A.eqB.2

2

D.eqD.g

—>A.C—?—?

解析：解法一'：0為3c的重心，.,.AO=-3—，又A3=Z4O+〃AC,

「2

§—1=0,

%+修+jiZ=0.,.兄與公不共線，.二

,..2=3,(1——1,

^+/z=0,

.?〃+〃=2.故選B.

f7AD

解法二設(shè)8c的中點為Q,連接AD,TO為△ABC的重心，:.A0=-^一,

又藍=總+〃啟.\AB=yAD+//AC,：.AD^AB~^AC.'：B,D,C三點

共線，且。為BC的中點，...京=一條=；,...2=3,4=—1,..)+4=2.故選

ZZZZZ

B.

解法三連接OB,OC,VAB=14O+x/AC,：.OB-OA=-XOA+^LOC-

〃己，即(一i+a+”)&+防一〃5b=0,又o為△ABC的重心，.?.二+防+左

=0,.?.一1+丸+〃=1,〃=-1,；"=3,.?.丸+〃=2.故選8.

答案：B

考點2向量的平行與垂直

1.向量平行(共線)

(1)向量a(aWO)與方共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)九使力=/〃

(2)設(shè)“=(%I,y),b=(X2,竺)，其中bW0.a〃〃?％iy2—%2yi=0.

2.向量垂直

向量”，方是非零向量，a_Lb?a?8=0?%1%2+)1)2=0.

[例2](1)[2018?全國卷明已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(L幻.若

c〃(2a+方)，貝I2=；

(2)[2019?江西南昌二中期末]已知向量藍=a+3。，麗=5。+3'CD=-3a

+3b,貝1)()

A.A,B,。三點共線

B.A,B,力三點共線

C.A,C,。三點共線

D.B,C,。三點共線

【解析】(1)2“十分=(4,2),因為c〃(2a+〃)，所以42=2,得2=；.

(2)VCD=-3?+3Z>,說=5a+3b,.\BD=cb+BC^2a+6b,又低=a+

3b,：.AB=^BD,：.AB//BD,：.A,B,。三點共線.故選B.

【答案】(1)1(2)B

r~⑹技法領(lǐng)悟■■■i

共線向量定理的應用

(1)證明向量共線，對于向量a,b,若存在實數(shù)晨使。=2瓦則a與方共線.

(2)證明三點共線，若存在實數(shù)九使A8=Z4C,則A,B,C三點共線.

(3)求參數(shù)的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

[提醒]證明三點共線時，要說明共線的兩向量有公共點.

『對接訓練』

3.[2019?河北六校第三次聯(lián)考]已知向量a=(2+sin%,l),b=(2,~2),c=

(sin%一3/)，d=(l,k),%￡R,%￡R.

7171

(1)若%￡—2?]，且。〃S+c),求％的值；

(2)是否存在實數(shù)2,使得(a+J)_L3+c)?若存在，求出左的取值范圍；若

不存在，請說明理由.

解析:(l)Z>+c=(sinJC—1,—1),因為a〃3+c),

所以一(2+sin%)=sinx-1,即sinx=一；.

又入￡—卷，所以x=一專

(2)a+d=(3+sin%,l+A),方+c=(sin%—1,—1),

若(a+J)_LS+c),則(a+J)?S+c)=0,

即(3+sinx)(sinx—1)—(1+^)=0,

所以Z:=sin2x+2sin%—4=(sin%+1)2—5,

由sinx￡[-l,l],可得攵￡[-5,-1],

所以存在女￡[—5,—1],使得(a+tZ)J_(A+c).

考點3向量的數(shù)量積

1.平面向量的數(shù)量積有兩種運算形式：

(1)數(shù)量積的定義：a/=|a||b|cos6(其中。為向量a,?的夾角)；

(2)坐標運算：a=(x\,%),b=(xi,”)時,a-b=xiX2+y\y2.

2.平面向量的三個性質(zhì)

⑴若“=(%,y),則|”|=6^="？+優(yōu)

(2)若A(xi,yi),WX2,y2)>則

\AB\=AJ?X2-JCl?2+?^2-J^I?2.

n*h

(3)若a=(%i,yi),b—(X2,yi),。為a與b的夾角，則8S。=而而=

x\xz+y\yz

5+成

[例3](1)[2019?全國卷H]已知藍=(2,3),就=(3,。，|辰:|=1,則藍?麗=

()

A.-3B.-2

C.2D.3

(2)[2019?全國卷HI]已知m方為單位向量，且a協(xié)=0,若c=2a—小〃，則

cos〈a,c〉=.

【解析】(1)本題主要考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的坐標運算，意

在考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.

因為就=/一低=(1,1-3),所以|麗|=<1+?/—3?2=1,解得，=3,所

以說二(1,0),所以藍?詼=2*1+3義0=2,故選C.

(2)本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查考生的運算求解能力，考查的核

心素養(yǎng)是數(shù)學運算.

22

=

設(shè)a=(l,0),Z>=(0,l),貝c=(2,一小)，所以cos〈a,c〉=x^Tp|3-

【答案】(1)C(2)|

(一O技法領(lǐng)悟■■■■B---------------------------,

1.一般地，用向量方法解決模的問題的途徑有三：一是利用公式⑷2=層，將模

的平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題；二是利用模的幾何意義；三是坐標法.解決向量的

夾角問題主要是利用公式“cos〈a,b)=舌云”將向量的夾角問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量

積及模的問題來解決.

2.求解向量數(shù)量積最值問題的兩種思路

(1)直接利用數(shù)量積公式得出代數(shù)式，依據(jù)代數(shù)式求最值.

(2)建立平面直角坐標系，通過坐標運算得出函數(shù)式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

L『對接訓練」

4.[2019?河北衡水中學三調(diào)]在△ABC中，AB=3,AC=2,BD=^BC,則

ADBD=()

5

A.—/B.eqB.

5

C.—4D.eqD.

―?1—?—?—A1—?—?—?1—?1—?—?—?

角星析：「.AO—AB=2(AC—4B),.?.4。=]4。+厘3.又8。=4。

-*-*AC—AB——AC2—AB25,,、如

-AB,：.BD=--，————=一a.故選C.

答案：C

5.[2019?河南中原名校指導卷]已知平面向量a=(-l,2),b=(l,3),c=2a

-b,則向量C在向量G方向上的投影為()

A.eqB.eq

C.2啦D.3

解析：1,2),方=(1,3),\a\=y[5,c=2a—Z>=(—3,1),.,.ac=5,

...向量c在向量a方向上的投影為定=小.故選B.

答案：B

課時作業(yè)6平面向量

1.[2019?北京八十中學月考]已知向量i與/不共線，且薪=i+旬，AD=ni

+j,mW1.若A,B,。三點共線，則/%〃=()

A.eqB.2

C.1D.-3

-?-?-*--?171，

解析：B,。三點共線，：,AB//AD,設(shè)貝心.：.mn

m=A,

=1.故選C.

答案：c

2.[2019?湖南重點中學聯(lián)考]已知機=(5,12),則與m方向相同的單位向量

的坐標是()

A.eqB.eqB.

C.eqD.eqD.

解析:設(shè)所求向量為〃=癡?>0),,.,/n=(5,12),?,.干=(5九122).

25712+144A2=1,得2=擊，「?〃=信，H].故選A.

答案：A

3.[20及河北邢臺月考]若向量。=(1,2),方=(一2,1)送=(3,—4),則。=()

A.3a+〃B.2a——b

C.——a——2bD.a——3b

[3=/-2//,

解析：設(shè)c=2a+〃~,,:。=(1,2),方=(—2,1),c=(3,—4),，彳

.-4=2/1十〃，

-1,

?_之?>c=-a—2反故選C.

答案：C

4.[2019?河南安陽一模]已知向量a=(l,-1),^=(-1,0),若癡一?和2a

十》共線，則2=()

A.2B.eq

C.-1D.-2

解析:*.*?—(1,—1),b=(—1,0),Xa—)=(2+l,—A),2G+~=(1,一

2),又翁一力和2a+2共線,.*.-2=-2(A+l),.?期=一2.故選D.

答案：D

5.[2019?四川綿陽一診]已知向量a=(l,2),8=(%」)，若a_L〃，則％=()

A.2B.-2

C.1D.-1

解析：Va=(l,2),b=(%,l)且a_LZ>,.,.ab=x+2—0,，％=—2.故選B.

答案：B

6.[2019?湖南重點中學聯(lián)考]在AA3c中，AB=1,AC=3,^BBC=\,則

△ABC的面積為()

A.eqB.1

C.eqD.eqD.

AAAAAAAA

解析：ABBC=AB\AC~AB)^\AB\\AC\cosA~\AB\2=1,.?.cosA=g,Asin

A=W，...△4BC的面積S=J><1><3X坐=坐.故選C.

?J乙D乙

答案：c

―?—A-?1—?―?1—?

7.[2019?遼寧沈陽聯(lián)考]在△A3C中，AB^a,AC=b,AM^AB,AN=$C,

BN與CM交于點、P,則辦=()

A.eqa+|/>B.eqB.a+^Z>

C.eqa+；AD.eqD.a+；b

解析：

如圖，M,P,C三點共線，則AP=mAC+(l-MAM=/?+](l-/n)aO￡R),

又N,P,B三點共線，所以AP=〃A8+(l—〃)A/V=〃a+g(1—R),所以

r1

H=T;?1—m?,

212-*21

<1解得，”=5，n=y所以AP=ga+/故選B.

m=2?l—H?,

答案：B

8.[2019?遼寧葫蘆島六中月考]已知a=(2sin13°,2sin77°),\a-b\=\,a

7T

與a—b的夾角為］,則。巧=()

A.2B.3

C.4D.5

解析：Va=(2sin13°,2sin77°)=(2sin13°,2cos130),|a|=2,又|a一例

IF

=1,a與a—b的夾角為g,.\a(a—b)=1,c^—ab—l,.故選B.

答案：B

9.［2019?廣西南寧摸底］若兩個非零向量a,一滿足|a+b|=|a一加=2|a|,則

向量a+b與a-b的夾角的余弦值是()

A.eqB.一；

「n也

C.eqD.—2

解析：結(jié)合向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則可知a+b,a-b,

分別為以a,?為鄰邊的平行四邊形的對角線對應的向量，因為|a+臼=|a一0=

7T

2同，所以此平行四邊形是矩形，且對角線與矩形的較長邊的夾角為不數(shù)形結(jié)合

兀

可知向量a+6與a-b的夾角為2掌夾角的余弦值為一；1.故選B.

答案：B

10.［2019?湖南懷化重點中學第三次聯(lián)考］如圖，在△ABC中，點。在線段

8C上，且滿足8D=goC,過點。任意作直線分別交直線AB,4C于點M,N,

若茄=相低，AN=nAC,則()

A.m+〃=2B.2m+〃=3

C.eq+'=2D.eq+-=3

解析：連接AO,因為D,N三點共線，所以石=癡+(1—2疝蕊

>1>1—?—?—?—?—?1—?—?

+(1又BD=^DC,所以所以

A—2

1-?1-?2-1-*,391

TAC—于是，解得：+)=3.故選D.

?1T?"=.,

答案：D

11.[2019?江西南昌二中期末]已知向量。=(一2,-1),6=(九1),若a與

〃的夾角為鈍角，則丸的取值范圍是()

A.eqB.(2,+°°)

C.eqU(2,+°°D.eqD.U(0,+?=)

解析：,與〃的夾角為鈍角，.?.-2"1<0,即2>—；.又aW血/<0),.W2,

.?期的取值范圍是(一；，2)U(2,+8).故選C.

答案：C

12.[2019?山東淄博一中期中]已知|a|=3,|而|=2,OC=mOA+nOB,m,

〃￡R,若。4與OB的夾角為60。，HOC1AB,則刀的值為()

A.eqB.eqB.T

C.6D.4

解析：通解：|a|=3,|而|=2,己與防的夾角為60。，...6X6%=3.又

OC±AB,；.女麻=0.又鼠=相屬+〃防，AB=OB-OA,：.{mOA+nOB\(OB

—OA)=0,即一wiOM+l機一〃)0408+〃032=O,—9m+3m—3n+4n=0,

mI

:.n=6m,.故選

n=zoB.

優(yōu)解如圖，以。為坐標原點，Q4所在直線為工軸建立平面直角坐標系，

'：\OA\=3,|OB|=2,豆與茄的夾角為60。，.,.防=(1,A/3),OA=(3,0),：.AB

=6B-3A=(-2,小)，OC=(3m+n,小〃).又左，6，OC-XB=0,A-

m1

.,.n=6m,.故選

6m—2H+3W=0,n=zoB.

答案：B

13.[2019?天津二十四中月考]已知向量p=(2,-3),g=(x,6),且〃〃q,

則Ip+ql的值為.

解析：?「p〃q,4,.,.q=(—4,6),.?.p+q=(—2,3),/.\p-\~q\=y[~[3.

答案：而

14.[2019?安徽合肥一模]若非零向量a,b滿足a_L(a+2，)，則端q=

解析：通解Va±(?4-2Z>),.*.?-(?+2Z>)=0,.,.a2-\-2ab=0,.".\a-\-b\2=a2

+2。仍+從=方2,.?.白+臼=|“，.?.已用=1.

\b\

優(yōu)解

B