高三數(shù)學(xué)培優(yōu)版-雙曲線-教師版講義

教師姓名學(xué)生姓名年級高三上課時間

一、知識梳理

1、定義

平面內(nèi)與兩定點6,尸2的距離的差的絕對值等于定長2a（＜|￡周）的點的軌跡，即點集

M={p^PFl\-\PF2^=2a,2a<\FlF2\\；

2”|叫＜=＞雙曲線

高中數(shù)學(xué)沖刺培優(yōu)

2。=忻用o兩條射線，數(shù)形結(jié)合

2"電|o無軌跡

其中兩定點6,外叫焦點，定點間的距離|耳閭叫焦距。

注：當(dāng)|PK|-|P6|=2a時，動點的軌跡是與巴對應(yīng)的雙曲線的一支，|PK|=2a時為

雙曲線的另一支.

2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

22

二一2r=1,焦點在X軸上，其中02=4+〃9〉。＞0),焦點耳(_c,0)、F,(c,O)

ab~

22

鼻―0=1,焦點在y軸上，其中="+/(。＞?！?),焦點6(o,_c)、F,(O,C)

a~b’

說明：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是指雙曲線在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的方程，這里的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)有兩層含義

(1)雙曲線的兩個焦點均在坐標(biāo)軸上；

(2)這兩個焦點的中心必須與原點重合。從這一方面理解，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是在特殊的直角

坐標(biāo)系下的方程；

(3)一般根據(jù)項的正負(fù)來判斷焦點所在的位置，即一項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；y2項

的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上.

3、雙曲線的幾何性質(zhì)

22

以雙曲線方程1—4=1,=。2+〃(。＞4＞0)為例“Ac的關(guān)系，如圖：

ab

2

4、特殊雙曲線

(1)等軸雙曲線

定義：若a=人即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線。

方程：X?-/或,2_J=。

性質(zhì)：①漸近線方程為：y=±x；

②漸近線互相垂直.

注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價；

設(shè)法：x2-y2=2(2*0),當(dāng)4>()時焦點在x軸，當(dāng)；1<()時焦點在y軸上。

(2)共趣雙曲線

定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共規(guī)雙曲線。

22222222

方程：(1)一一=1的共輾雙曲線為々---7=1：3—=1的共視雙曲線為一7—"r=1；

a"b~b~aa~b~b"

2222

xvvX

(2)互為共輾的一對雙曲線方程合起來寫成為-y-*=±1或與-7T=±1;

abab

性質(zhì)：有一對共同的漸近線；有相同的焦距，四焦點共圓；

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2,22y2

與X三—方y(tǒng)=1共漸近線的雙曲線方程X――9=/1(2^0).

ab~a

注意：

222

(1)共漸近線的兩雙曲線不一定是共規(guī)雙曲線，如土-匕=1和三->2=1

1829■

4

(2)二-4=1與5-]=1力)不共漸近線，有相同的焦距，四焦點共圓；

crb~crb~

6、直線與雙曲線的位置關(guān)系

聯(lián)立直線與雙曲線的方程得形如“一元二次”的方程以2+法+,=0

①。=O,b=O,cwO<=>相離=沒有交點；

②“=0,Ax0u>相交o一個交點

‘A<0O相離o沒有交點

③。。()<AnOo相切。一個交點

△>()0相交"沒有交點

小結(jié)：

(1)過雙曲線焦點的直線被雙曲線同支截得的弦長的最小值是通經(jīng)，被兩支截得的弦長的最小值

是實軸的長.

(2)雙曲線焦點到同一支上的點的距離最小值是c-a,到異側(cè)一支上點的距離最小值是c+a

二、典型例題

知識點1、雙曲線的定義

例1、已知A48C的底邊BC長為12,且底邊固定，頂點A是動點，使sin6—sinC=」sinA,求

2

點A的軌跡.

答案：以底邊BC為x軸，底邊BC的中點為原點建立xoy坐標(biāo)系，這時

B(-6,0),C(6,0),由sinB—sinC=Lsin4得力一c='a=6,BP|AC|-|AB|=6.

22

-y2

所以，點A的軌跡是以8(-6,0),。(6,0)為焦點,2a=6的雙曲線的左支.其方程為:=l(x<-3)

乂2

例2、(1)已知雙曲線的方程為二一-1=1,P是雙曲線上的一點，耳、鳥分別是它的兩個焦

916

點，若附1=7,則|尸用=o

分析：由雙曲線的定義||PF"-|尸產(chǎn)211=6，知|PBI=1或13.注意P點存在的隱含條件

|PF)|+|PF2|>|FXF2|=10>所以|PF2|=13.

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(2)雙曲線言-看-=1的兩個焦點分別為再，尸2,雙曲線上的點P到6的距離為12,則P到

F2的距離為()

A.17C.7或170.2或22

答案：D

例3：討論1表示何種圓錐曲線

25-kk-9

答案：

(1)當(dāng)25-%>0,左一9>0時，即ke(9,25)時

若25—k<k-9,即％>12時，所給方程表示焦點在y軸上的橢圓；

若25-4=%-9,即％=12時，所給方程表示圓；

若25-%>%-9,即火<12時，所給方程表示焦點在x軸上的橢圓；

(2)當(dāng)25-&<0,即Z>25時，此時々-9>0,所給方程表示焦點在y軸上的雙曲線;

當(dāng)"9<0,口IU<9時，此時25-Q0,所給方程表示焦點在x軸上的雙曲線；

例4：雙曲線的一條漸近線方程為3y—2x=0

(1)若雙曲線過點(笠,1),則雙曲線方程為;

(2)若雙曲線的一個焦點是(、質(zhì),0),則雙曲線方程為.

知識點1:雙曲線上半部分的函數(shù)形式y(tǒng)=77二I

6

例5、若關(guān)于x的方程二i=Z(x+2)有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)人的取值范圍是—

答案：［0,1)

知識點2：y=&的圖像也是雙曲線，因此雙曲線的很多方法對于反比例函數(shù)也適用

x

例6.已知函數(shù)./'(x)=x|2x—4一I有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為一

選自：2017.12松江一模10

答案：(272,+oo)

方法一：|2%-4=，，轉(zhuǎn)化為y=|2x—a|,y=2的交點問題

方法二：分離變量法

C1,、

a=2x±—,x>0,

x

.?.a=2x+L,x>0有兩個根，a=2x—L,x〉0有一個根,

XX

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方法三：去掉絕對值直接做

2爐一dx—1,x2一

小）=t

—2.x"+ax—1,x<一

I2

情形1：>=2/一辦一1,工？處有兩個零點，一2%2+6-1,X<幺有一個零點

22

情形2：y=2/一3一1,無2處有一個零點，一2/+以一1,X<色有兩個零點

22

例7、已知雙曲線2/—y2=5,過曲線上一點Q作兩條漸近線的垂線，垂足分別是，和8,求

西?砧的值.

8

解析：Q(x,y)，到直線y=后的距離為；到直線y=-&的距離為?五二”,

6

l-tan2Z/](9A_1

cos/-PQP=一cos2N[0A

[2l+ta/NqOA-5

???西.砒=函?函cosNRQR」%“I組V.n

3、焦點三角形

尤2y2

試一試.雙曲線f-J=1的焦點為E、F,,P是雙曲線上的一點，若3PF,=e,則4

ab

產(chǎn)?尸產(chǎn)2的面積為(仿橢圓焦點三角形面積推導(dǎo)).

答案：h2cot—

2

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例&橢圓1+2丁=1和雙曲線二一>2=1的公共焦點為￡、F2,尸是它們的一個公共點，求

62a

cos

Z.FXPF2

答案：-

3

方法一：由橢圓與雙曲線有公共焦點，可得6—2=。+1,所以。=3.又由橢圓的焦點三角形的面

積知鳥的面積為2tang/耳Pg,由雙曲線的焦點三角形的面積知"F島的面積為

1111y/2,

cot-ZFlPF2，則2tan—Pg=cot-Nf；Pg.解得tan-Z^PF^—,由萬能公式得

22222

cosZFjP/^=g.

方法二：也可以由[口片㈤尸'、2f（不妨設(shè)|P￡|>|P6|）,求得附|="+氐

[|P用-|尸鳥|=2百

\PF?\=瓜-瓜又由|尸冉1=4,利用余弦定理可得cosN片尸鳥=：.

-

試一試.雙曲線——y2=1（〃>1）的兩焦點為小入/是此雙曲線上的一點，且滿足

n

|戶產(chǎn)1|+IP尸2I=2五+2,求kPF'F?的面積。

2

X2i

解析：由題可以得出點P在橢圓--+=1±,設(shè)NE產(chǎn)產(chǎn)，=，，由焦點三角形的面積公式可

知對于橢圓S=tan2,對于雙曲線S=cot2,則必有0=工，所以APKK的面積等于1。

222

4、直線與雙曲線的位置關(guān)系

例9、已知曲線G：N—x=2與曲線c?：2f+y2=4恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)4的取

值范圍是（）

A、（-oo,-l]B、（—1,1]C、D、[-l,0]U（l,+o°）

選自：2017.12松江一模16

答案：C

10

例10、在雙曲線一一5=1上求一點，使它到直線5x-y+l=0的距離最短，并求此最短距離.

5x-y+c=0

解法：設(shè)直線5x—y+c=（）與雙曲線》2一［=1相切，聯(lián)立.

，2y2,消去y,得

X---=1

9

16x2+10cr+c2+9=0,A=0,c=±4,數(shù)形結(jié)合，可知c=4,直線5%—y+4=()與5x-y+l=0之

間的距離嚕為所求的最短距離.

相交

例11：過雙曲線2--丁=2的右焦點作直線/交曲線于A§兩點，若卜0=4,則這樣的直線存

在___________條.

答案：3.★★

解析：設(shè)4（和兇）,8（巧,為），直線=+G，與雙曲線2f-y2=2聯(lián)立可得

(2m2-ijy2+4\/3my+4=0

------J48.2—16（262—1）

陷二百丫士一L1+機2=|2療-1|,m=±V2r/n=0>

2次--1

圖示：

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試一試：過雙曲線2f-y2=2的右焦點作直線/交曲線于A5兩點，若|AB|=6,則這樣的直線存

在條.

答案：3.★★

解析：設(shè)4（Z,％）,8（巧,丫2），直線48:x=my+6，與雙曲線2』-），=2聯(lián)立可得

（2m2_1）,2+4mmy+4=0

,-----/48/M2-16（2ZM2-1）亞五

IAB|=yjl+m2----：-------；-----=6,4（1+/M2）=62/n2—1,m=+——,m=±——?

'1\）\\24

y2

例12、如圖：直線/與雙曲線二=1交于A、B兩點，與其漸近線交于C、。兩點，求證:

a

AC=DB.

解析:

12

當(dāng)直線1的斜率不存在時，依據(jù)對稱性知|,4|=|。必，

當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為y=kx+m.

y=kx+n1f

由<x2v2得（b，-a%?）/-Z/Awx-ay-a*=0.

：..W中點M的橫坐標(biāo)為對=交也=金」.

2b2-a2k2

y=kx+讖

由\X2V2得BC中點N的橫坐標(biāo)為

a'Ion??雙=Xy?

=0,

.a*b2

而M，N均在直線I±.：.M,N重合.

/.\AB\=\CD\.綜上|4B|=|CZ)|?

5：擴展

v-2

例13、（2018普陀一模）雙曲線§->2=1繞坐標(biāo)原點。旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度可以成為函數(shù)/（x）的圖

像，關(guān)于此函數(shù)/（x）有如下四個命題:

①/（x）是奇函數(shù);

3〕十

②/（X）的圖像過點一或'近-1

，Q八，-；

V27

33

③“X）的值域是-00,一U—,+00

22

④函數(shù)y=/（x）-x有兩個零點.

則其中所有真命題的序號為.

解析：顯然，雙曲線的軌跡轉(zhuǎn)動60°或者120°的時候我們能夠得到函數(shù)圖像（此時是一一對應(yīng)

的函數(shù)圖像），如圖所示，可判斷出①②正確。

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易錯：首先要知道滿足函數(shù)圖像的條件，其次是不要忽略旋轉(zhuǎn)120也能成為函數(shù)圖像。

6、應(yīng)用題

例14、A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B的正東，相距6千米；C在B的北偏西30,相距4

千米。尸為敵炮兵陣地。某時刻A發(fā)現(xiàn)P地某種信號，4秒后，B、C兩地才同時發(fā)現(xiàn)這種信號（該信

號的傳播速度為1千米/秒），A若炮擊P地，求準(zhǔn)確炮擊的方位角

答案：方位角為北偏東30

解析：以AB的中點為原點，正東、正北方向分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，則

A（3,0）,B（-3,0）,q-5,2G）,依題意|PB|-|PA|=4.

點在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，其中c=3,2a=4,則。2=5,方程為3-弓=1（**2