高考數(shù)學函數(shù)與導數(shù)的綜合應用

高考數(shù)學函數(shù)與導數(shù)的綜合應用

的散的單調性、極值、最值問題

不等式證明問題

目錄

一、不等式的證明問題

二、極值點偏移問題(換元構造法)

三、不等式恒成立問題

四、函數(shù)的零點問題

五、雙(多)變量函數(shù)(不等式)問題

一、不等式的證明問題

1.已知函數(shù)/(x)=x2-*4(a-2)x-a\nx(aeR).

⑴求函數(shù)y=/(x)的單調區(qū)間；

⑵當。=1時，證明：對任意的x>0,/(x)+ev>x2+x+2.

2.已知函數(shù)/(x)=x-sinx,XG(0,+oo).

(1)求曲線夕=/(X)在點gJ(9)處的切線方程；

⑵證明：2ex-/(x)+cosx-ev>1.

3.已知函數(shù)g(x)=l-1詈.

(1)求g(x)的單調區(qū)間；

(2)當!<，"<"<1時，試證明"<""".

em1+Inw

2

4.已知函數(shù)/(x)=Hnx+x+-+24(aeR).

⑴證明函數(shù)/(X)有唯一極小值點；

P4-)

(2)若0<。<二,求證：/(x)<x+----.

4x

試卷第1頁，共9頁

5.已知函數(shù)/(x)=lnx-爾+x+l.

⑴當a=0時,求函數(shù)g(x)=xe'-/(x)的最小值；

⑵當歹=/(x)的圖像在點處的切線方程為產1時，求〃的值，并證明：當〃GN*

/、k

時，X>n|1+1|<(V?+l)2-2.

A=Ikk)

6.已知函數(shù)/(x)=〃e'—lnx(awO).

⑴若求實數(shù)。的取值范圍.

⑵求證：l+'+-----F—>In|+1?.

23n\2)

7.已知函數(shù)/(x)=sin2x+2sin2x.

⑴若/(x)Z2"在0胃上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

,、、〒口口.(兀)(2兀]+兀[3>/2

(2)證明：sin-------+sin-------1+…+sin----------->------.

1'(2n+U(2〃+口2/7+1J8

二、極值點偏移問題(換元構造法)

常見的解題步驟

①有參先消參：利用方程/(XI)=於2)消掉解析式中的參數(shù)，若無參數(shù)直接利用題目給的

等式

②抓商構元或抓積換元：令/=&(/=X|X2),消掉變量X”X2,構造關于/的函數(shù)〃(/)

X2

③求導求解：利用導數(shù)求解函數(shù)〃(。的最小值(最大值)，從而可證得結論

法二、移項構造法

①求導，獲得HX)的單調性，極值情況，做出;(X)的圖像，由大X1)=/(X2)得出XI，X2的取

值范圍(數(shù)形結合法)

②構造輔助函數(shù)，若結論是Xl+X2>(<)2xo,構造F(x)=/(x)：/(2xo-x),若結論是X1X22>(<)X()2,則

構造F(x)=/(x)V(/)，求導,限定范圍(XI或X2的取值范圍)，判定符號獲得不等式

X

③帶入XI或必利用"1)如2)和/)的單調性證明最終結論

8.已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx-x2+ax(aeR).

⑴若函數(shù)y=/'(x)有兩個零點，求。的取值范圍：

⑵設看,三是函數(shù)/(x)的兩個極值點，證明：X,+X2>2.

試卷第2頁，共9頁

9.已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)證明：/(x+l)<x.

(2)若函數(shù)力口卜？;^x)，若存在再<》2使/)(占)=A(xJ,證明：xrx2<4-.

e-

10.已知函數(shù)f(x)=xe~\xGR).

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調性;

(2)若方程/(1)+2/_3〃+1=0有兩個不同的根，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)如果且/(須)=/(工2)，求證：勿(演+工2)>歷2.

11.已知函數(shù)/(x)=lnx-〃(x-2)(aGR).

⑴試討論函數(shù)/(X)的單調性；

3

⑵若函數(shù)/(X)有兩個零點為，X2(芭<%2),求證：Xj+3X2>--a+2.

12.已知函數(shù)/'(x)=x(l—alnx),a20.

⑴討論/(x)的單調性；

(2)若xe(0,；時，都有求實數(shù)。的取值范圍；

⑶若有不相等的兩個正實數(shù)為也滿足苦&=豆，求證：xl+x2<er,x2.

1?iri-Vj

13.已知函數(shù)〃光)=上也，。>0.

ax

⑴若/(x)Wl,求。的取值范圍;

(2)證明：若存在X”使得/(再)=/(々)，則x：+x；>2.

14.已知函數(shù)/(x)=xe*-alnx-",其中a>0.

(1)若。=2e,求/("的極值：

⑵令函數(shù)g(x)=/(x)-ax+a,若存在A,巧使得g(xj=g(x2),證明：書，1+守4>2a.

15.已知函數(shù)/(x)=x(lTnx).

⑴討論/(x)的單調性；

⑵設。，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b,證明：2<-+-.

ab

16.已知函數(shù)/(x)="lnx,g(x)=6e'(e為自然對數(shù)的底數(shù))

試卷第3頁，共9頁

⑴當”=e時，恰好存在一條過原點的直線與/(x),g(x)都相切，求6的值;

(2)若6=1,方程xg(x)-/(x)-ax=O有兩個根％,x2,(0<x,<x2),求證：

x,-x2>e"*"".

17.已知函數(shù)/(x)=lnx+x(x-3).

⑴討論/(x)的單調性；

(2)若存在占戶2，三e(0,+oo)，且再<*2<工3,使得/(石)=/(々)=/(不)，求證:2xt+x2>x3.

三、不等式恒成立問題

解題技巧

分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題的思路

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況

下，可以根據不等式的性質將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達

式的不等式，只要研究變量表達式的最值就可以解決問題.

求解含參不等式恒成立問題的關鍵是過好“雙關”

通過分離參數(shù)法，先轉化為/(a)Ng(x)(或火。)<蛉))對VxC。恒成立，再轉化

轉化關

為/(。)2g(X)max(或次。)Wg(X)min)

求最值關求函數(shù)g(x)在區(qū)間。上的最大值(或最小值)問題

18.已知./Xx)=x2-Axlnx-1,g(x)=-xlnx+x

⑴不等式/(x)20對任意恒成立，求％的取值范圍；

⑵當g(x)有兩個極值點看,々(芭<々)時，求證：(2ae-l)(x,+x2)<2e.

19.已知函數(shù)/"戶匕產-"。?用.

(1)若。=0,求/(x)的單調區(qū)間；

⑵若〃x)40在(0,+8)上恒成立，求。的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(x)=2，g(x)=ax2+2ex+e.

e

⑴判斷函數(shù)/(X)的單調性，并求其最值；

(2)若g(x)2/(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(x)=lnr-mx2,,”wR.

⑴當，〃=；時.，求/(x)的極值；

⑵若不等式e*/(x)+：+加<e在xe(l,+8)時恒成立，求加的取值范圍.

試卷第4頁，共9頁

22.已知函數(shù)“x)=x(lnx-A-l),kwR.

(1)當x>l時，求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間和極值；

⑵若對于任意xe[e,e[,都有/(x)<41nx成立，求實數(shù)左的取值范圍；

23.已知函數(shù)/(x)=e*+x-aln(x+l)-l,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴當”=0時，曲線y=/(x)在x=0處的切線方程；

⑵當xe[0,+°o)時，〃x)20恒成立，求。的取值范圍.

24.已知/(x)=,g(x)=x+lnw(wGR,m>0)

⑴討論/(x)的單調性；

(2)當a=-l時，若不等式eg3+g(x"/(x)在XG(0,-)上恒成立，求加的取值范圍(e

為自然對數(shù)的底數(shù))

25.函數(shù)/。)=沖二g(x)=a(*+l)-=^(aeR).

⑴求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間和極值；

⑵若》?0,儂)時，不等式g(x)2x恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

26.已知函數(shù)/卜)=2/+涼+》僅€!<).

⑴判斷函數(shù)/(x)零點的個數(shù)；

(2)若函數(shù)g(x)=e*+x+cosx,且對任意xw(0,+oo),都有g(/(x)"g(lnx)恒成立，求

實數(shù)b的最小值.

27.已知函數(shù)/(x)=tanx+asin2x,其中Q41.

⑴若。=_|一1,求函數(shù)、=/(幻在工=彳處的切線方程；

⑵當xe0，^j時，/(x)W2x恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

四、函數(shù)的零點問題

判斷函數(shù)零點個數(shù)的常見方法

直接法：令y(x)=o,則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù)

畫圖法：轉化為兩個易畫出圖象的函數(shù)，看其交點的個數(shù)

定理法：利用零點存在性定理判定，可結合最值、極值去解決

已知函數(shù)(方程)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍常見方法

①函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)，滿足零點存在性定理.

②若函數(shù)不是嚴格的單調函數(shù)，則求最小值或最大值結合圖象分析.

試卷第5頁，共9頁

③分離參數(shù)后，數(shù)形結合，討論參數(shù)所在直線與函數(shù)圖象交點的個數(shù).

28.已知函數(shù),f(x)=alnr+(a+1且"0).

⑴當"0時，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)當〃＞0時，求函數(shù)/(x)零點的個數(shù).

29.已知函數(shù)/(x)=ax2ex-1("0).

(1)求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

(2)已知。＞0且xe［l,+8),若函數(shù)/(X)沒有零點，求a的取值范圍.

30.已知函數(shù)/(x)=e*-ar-a.

⑴若/(x)在(0,+8)上單調遞增，求a的取值范圍；

⑵若/(“存在零點且零點的絕對值小于2,求a的取值范圍

31.已知函數(shù)/(x)=e*+cosx-wx,xe(0,+8).

⑴若函數(shù)/(X)在(0,兀)上單調遞減，求實數(shù)加的取值范圍；

⑵若3-1＜帆＜^，證明：函數(shù)/(x)有兩個零點?

參考數(shù)據：/?4.81,e，?2.85,e*?23.14

32.已知函數(shù)/(x)=ax2_|l+lnx|(a＞0).

⑴若”=1，求“X)的單調區(qū)間；

⑵討論了(X)零點的個數(shù).

33.己知函數(shù)/(x)=xhiY+w7x.

⑴討論函數(shù)/(X)在。,內)上的單調性；

(2)若P(X)=/'(X)-2有兩個極值點，求〃?的取值范圍.

34.已知函數(shù)/(x)=2/+3爾，aeR.

⑴若/(x)在［-1,3］上的值域為［-8,0］,求/(X)在R上的單調區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)+6(x+a)cosx-6sinr,則當aNO時，求g(x)的零點個數(shù).

35.已知/(x)=e*-(a-b)x,g(x)=x-lnx-b,"(x)=￡^D+g(x).

⑴若/7(X)N0,求a的取值范圍;

試卷第6頁，共9頁

(2)若a=l,證明:存在函數(shù)y=〃x)-6(x+l)和函數(shù)y=g(x)共有3個不同的零點,

并且這3個零點成等差數(shù)列.

36.已知函數(shù)〃x)=sin2x-ln(l+x),/'(x)為/(x)的導數(shù).

⑴證明：/'(x)在區(qū)間(-11)上存在唯一的極大值點;

⑵討論/(x)零點的個數(shù).

37.已知函數(shù)/(x)=?ie*-x?-x+2.

⑴若函數(shù)〃x)在R上單調遞增，求加的取值范圍;

(2)若"?<0,且/(x)有兩個零點』,三，證明：卜-當卜3+g.

38.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=4x--j=.

⑴試比較/(X)與g(x)的大??；

(2)若方程lnx=《x-［有三個實根，求實數(shù)上的取值范圍.

39.已知函數(shù)/(x)=e'+(a-e+l)x,g(x)=ax2+l,aeR.

⑴若a=e—2,求/(x)的單調區(qū)間；

(2)若方程/(x)=g(x)在區(qū)間(0,1)上有且僅有1個實數(shù)根，求a的取值范圍.

40.已知函數(shù)/*)=alnx-x(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若為,匕(0<再<占)是函數(shù)y=/(x)的兩個零點，證明：-^-<2x2-xt；

(2)當。=2時，若對于Vk>0,曲線。:夕=機-b2與曲線y=/(x)都有唯一的公共點,

求實數(shù)機的取值范圍.

五、雙(多)變量函數(shù)(不等式)問題：換元法與變更主元法

41.已知函數(shù)/(x)=-Ax+lnx

⑴討論函數(shù)的單調性；

⑵若/(x)有兩個極值點不應，證明：|/(^)-/(^2)|<^-2

42.已知函數(shù)/(x)=e*一加x,g(x)=ev(-sinx+cosx+^

⑴若函數(shù)/(x)在x=0處取得極值，求〃?；

-JT

⑵在(1)的條件下，3xl；x2e0?-,使得不等式ga”/(X2)成立，求°的取值范

圍.

試卷第7頁，共9頁

43.已知/(x)=alnx+；x2-2x(aeR且”0),g(x)=cosx+xsinx.

(1)求g(x)在卜肛句上的最小值；

⑵如果對任意的X|e[-肛萬],存在—,e,使得1-aWg(xj成立,求實數(shù)a

的取值范圍.

44.已知函數(shù)/(x)=ax-l-lnx(aeR).

⑴若函數(shù)/(x)的最小值為0,且對於6(0,48),/(x)》反-2恒成立，求實數(shù)b的取值范

圍；

⑵當0<x<y<e2且xwe時，試比較上與國吵的大小.

x1-lnx

45.已知函數(shù)/(x)=lnx+|'x2-(〃+1)X(Q￡R),g(x)=/(x)-^-x24-(6r+l)x.

⑴討論/(x)的單調性；

(2)任取兩個正數(shù)司,而，當玉時，求證：g(xj-g(x2)<2(.F.

X)+x2

46.己知函數(shù)/(x)=lnx+^x2-tzjv.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調性；

⑵若/(X)有兩個極值點X”面,證明-<2-1.

47.已知函數(shù)/(X)=-x-ae".

⑴若〃x)有兩個不同的極值點，求。的取值范圍；

(2)設加>0,〃>0,加?！ㄇ襪ln〃一〃Inm=加一〃，求證：mn>e4.

48.已知函數(shù)/(x)=e、(/+l)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴討論函數(shù)少=/(》)+(。-2)*e(4€見的單調性；

(2)若網>%>0,不等式e"-e2*2>Wa)_/(xJ恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

49.已知函數(shù)〃x)=x-』-alnx,當x21時，,f(x)20恒成立.

X

⑴求實數(shù)。的最大值；

⑵若a=2,證明：對任意1<%<々，+

2

50.已知函數(shù)/(x)=tzx-(2tz+l)lnx--.

⑴當a=l時，求曲線/(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

試卷第8頁，共9頁

(2)若對Wae[2,3],Vx?x2e[1,2],不等式加+ln2>|/(%恒成立，求實數(shù)機的

取值范圍.

試卷第9頁，共9頁

參考答案:

1.⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)利用導數(shù)求單調區(qū)間；(2)將不等式等價轉化為e、-lnx-2>0,利用導數(shù)討

論最值即可求解.

【詳解】(1)由題可知函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),

f'(x)=2x-(a-2)--=-------——---------

XX

即八x)=(x+D(2xi),

X

(i)若a<0,

則f\x)>0在定義域(0,+8)上恒成立，

此時函數(shù)/J)在(0,+8)上單調遞增；

(ii)若〃>0,

令/'(x)>0,即2x-a>0,解得x>(

令八x)<0,即2x-a<0,解得0<x《，

所以“X)在(0,會上單調遞減，0,+8)上單調遞增.

綜上，aWO時，/(x)在(0,”)上單調遞增；

。>0時?，/(幻在(0,9上單調遞減，g,+8)上單調遞增.

(2)當Q=1時，f(x)=x2+x-lnx,

要證明/(工)+巳'>/+工+2,只用證明e'—lnx—2>0,

令g(x)=e》-lnx-2,gf(x)=eY——,

x

令g'(x)=e，-1,即e'=1,可得方程有唯一解設為％,且與*1,

XX

匕1

所以*=一,

X。

當X變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下,

X(0/)X。(%,+00)

答案第1頁，共74頁

g'(x)一0+

g(x)單調遞減單調遞增

所以g(x)min=g(/)=e"-ln/-2=—+/-2,

因為LX0-2N2口%_2=0,因為X°R1,所以不取等號,

X。V%

BP-+X0-2>0,即g(x)mM>0恒成立，

xo

所以，e、-lnx-2>0恒成立，

得證.

2.(l)x-^-l=0

⑵證明見解析

【分析】(1)根據切點和斜率求得切線方程.

(2)構造函數(shù)g(x)=(2x-2sinx+cosx)e"利用導數(shù)判斷g(x)的單調性，從而證得不等式

成立.

【詳解】⑴八x)=l-cosx,.若)=1,八.=下，

故曲線》=/*)在點處的切線方程為=

即x——l=0.

(2)?g(x)=(2x-2sinx+cosx)eA,

貝！Igr(x)=(2x-2sinx+cosx)e'+(2—2cosx—sinx)ex

=[2(x-sinx)+2—近sin(x+—)]eA.

4

由(1)知x>sinx,X2-V2sin(x+-)>0,

4

所以g'(x)>0,所以g(')在(0,+8)上單調遞增，故g(x)>g(0)=l,

所以，Vre(0,-KX)),2ev-/(x)+cosxev>1.

3.(1)g(x)的單調遞增區(qū)間是(l,+￥),單調遞減區(qū)間是(0,1)；(2)證明見解析.

答案第2頁，共74頁

【分析】(1)由題可求函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)可求;

(2)利用函數(shù)的單調性可證.

【詳解】(1)因為g(x)=l-匕?

(l+lnx)'x-(l+lnx)_Inx

所以g'(x)=-，

令g<x)>0,得x>l；令g<x)<0,得0<x<l.

所以g(x)的單調遞增區(qū)間是(1，+8),單調遞減區(qū)間是(0』).

(2)由(1)知g(x)=l-匕詈在(0,1)上單調遞減,

所以,<加<〃<1時，g(/M)>g(M),

e

口n.1+In加,1+In〃

即］------->1-------,

tnn

LL,、J+lnml+ln/7nl+ln〃

所以------<------,即art一<二;一

mntn1+Inm

4.(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)首先求函數(shù)的導數(shù)，利用求根公式，判斷函數(shù)的單調區(qū)間，再證明函數(shù)存在極

小值點;

(2)首先不等式整理為華士&<*再構造函數(shù)g(x)q,x>0,.卜卜“。？2),

利用導數(shù)求函數(shù)的最值，即g(x).和“x)1rax，即可證明不等式.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=alnx+x+：+2。的定義域為(0,+4，/”)=￡+1_]=巴詈三

對于方程—+如_2=0,A=a2+8>0.

解方程/+狽-2=0,

HT俎一〃-J.、+8—a+>Ja24-8

口J得再=----------<0，X,=----------->0，

2_____22

當0<x〈士五整時，/”(x)<0；當x>士近!踵時，"(x)>0,

22

所以函數(shù)/(X)在o,W±孚踵上單調遞減，在-。孚還,+刃上單調遞增.

答案第3頁，共74頁

所以函數(shù)/(X)有唯一極小值點.

(2)要證明〃x)<x+^^,

2eA+2

即證x+Hnr+—+2。<x+----，

xx

即證a(lnx+2)<?,即證“(?+2)〈馬.

令g(x)=\,其中x>0,則g，(x)，(；2),

XX

當0<x<2時,g'(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調遞減;

當x>2時,g'(x)>0,此時函數(shù)g(x)單調遞增.

2

所以g(X)min=g(2)=》

構造函數(shù)Mx)=a(R+2),其中x>0,

則小尸當U.

當0<%<,時，Az(x)>0,此時函數(shù),(x)單調遞增;

e

當X>!時，〃(x)<0,此時函數(shù)〃(x)單調遞減.

e

所以Mx)max=〃(：)="e<，，則h(x)nm<g(x)min,

所以“l(fā)nx+2)<；.

XX

故原不等式得證.

5.(1)0

(2)a=l,證明見解析

【分析】(1)當”=0時，g(x)=xe*-hix-x-l.利用導數(shù)，可得在x=x0時,

g(x)有最小值，其中*='.據此可得答案；

(2)由切線斜率為0,可得“：利用導數(shù)研究/(x)單調性，可得〃

)n

從而可得*ln[l+:<[苗+**+〃.后利用當心

2,〃wN*時,

答案第4頁，共74頁

112

一<-r=<-i=-----1,可證得結論.

nyjn-1

【詳解】(1)當4=0時，g(x)=xev-lnx-x-l.

g(x)定義域為(0,+8),g'(x)=(x+l)e*-：-l=(x+l)(e*-￡]

令h(x)=ex--,xe(0,+8),則〃(x)=e'+二>0,故人(x)在(0,+8)上單調遞增.

因以l)=e-l>0,/0=6-2<0,貝必(x)在(g,l)上有唯一零點與，即人(x<,)=e*-}=0.

則在(0,%)上,〃(x)<0,即g'(x)<0,g(x)在(0,%)單調遞減.

在(x0,+8)上，/)(x)>0,Bpg'(x)>0,g(x)在(%,+8)上單調遞增.

故g(x)min=g(Xo)=Xoe”-lnXo-Xo-l,又-=—=>x0=-lnx0,

xo

則8(%)=1+/一才0-1=0.即函數(shù)8(*)的最小值為0：

(2)由題，f'(x)=--2ax+\,/'(1)=0,則0=1；

X

即<(x)=lnx-x2+x+l,貝ljf'(x)=(2x+l)(xT)

X

故/(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞遞減，則“X)1raL/⑴=1.

[nx

則當xe(l,+<?)時，Inx-f+x+ki,即lnx<x(x-l)=>------<x.

x-1

.In?—F1j

取x=一+1,其中〃eN'，則一——-<—+l=>^ln|—+!<—+1.

n￡n\n)n

n

k

則力⑷g)=ln(l+l)+21n《+lH--+4-1|<|1+—1+T1+---H■—]+〃.

n23n

r、……1111111

又汪意到1+彳+；+…+—<；+K+F+…+~r

23n1V2V3Jn

222

<1+---------1--------------F???d----------

y/2,+1y/3+y/2,yfn+yjn—\

=1+2(>/2—1)+(>/3—^2)H—,+-1)

=2冊-1.故+<26-1+〃=(冊+1)2-2.

【點睛】關鍵點點睛：本題涉及利用隱零點求函數(shù)最值及利用函數(shù)證明數(shù)列不等式，難度較

大.本題最值點不能具體求出，但能證明其存在，后利用其滿足等量關系可得最值；證明數(shù)

答案第5頁，共74頁

列不等式，關鍵為能利用題目函數(shù)找到合適的不等式，后通過改變不等式形式及不等式放縮

可證明結論.

6.(1)

(2)證明見解析

【分析】(1)根據已知條件得了⑴21,進而得出利用不等式的性質及構造函數(shù)，利

e

用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解；

(2)根據(1)的結論及已知條件，只需證當xe(l,2)時，成立即可，轉化成求

函數(shù)的最值，利用不等式的性質構造函數(shù)及法求函數(shù)的最值即可求解.

【詳解】(1)因為則^a>~,

e

反之當a21時，/(x)=W-Inx2eY-1-Inx,

e

f]

令g(x)=e'7_hr,則g(x}=e---=,

xx

設Mx)=xe~_l,由于R(x)在(O,+8)單調遞增，且可1)=0,

所以當xe(O,l)時，A(x)<0,即g")<0,

當xe(l,+co)時〃(x)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調遞減，在。,物)上單調遞增.

所以g(X)min=g()=l，即g(x)21,所以

(2)由(1)可知：ev-'-lnx>l,ev-'-l>lnx(1)

下面證明當xe(l,2)時，

2-x

等價于(2-x)ei-140,設鞏x)=(2_x)ei_L￡(x)=(I)ei,

當xe(0,1)時，￡(x)>0,

當xe(l,2)時，S(x)<0,

所以鞏x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，

所以鼠x(x)=3(l)=0,所以②式成立,

答案第6頁，共74頁

由①、②可得：J--l>lnx,當x=l時取到

2-x

取“等有，/>1"無+2)—111(左+1)(左=1,2,一、〃)，

所以1+；+；+…+L>ln(〃+2)-ln2=ln(齊1),不等式成立.

【點睛】解決此題的關鍵第一問根據條件得出/⑴21,進而構造函數(shù)，將恒成立問題轉化

為求函數(shù)的最值，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可，第二問的關鍵根據第一問得

eA-'-lnx>leA-'-l>lnx,進而問題轉化為只需證當工?1,2)時-，士尸即可，不等式恒

(2-x

成立問題轉化為求函數(shù)的最值，轉而構造函數(shù)S(x)=(2-x)e'T-l,利用導數(shù)法求函數(shù)的最值

即可.

7.(1)|-oo,-

I乃」

⑵證明見解析

【分析】(1)化簡/(x)=sin2x-cos2x+l,令(=2x,得到，^［。，兀］且/(E)=sinf-cosf+1,

Sin/C0S/+1

根據題意轉化為aWs】n-cos/+1在@加上恒成立,g(r)=-,求得

，/、ZcosZ+ZsinZ-sinZ+cosZ-l,,1一e口加4，口

g(/)=------------------------------，設rl〃。z)x=%cos/+/smr—sin，+cosr—l,利用導數(shù)求得

〃(/)的單調性，結合且力(兀)<°，得到咐)在(:㈤上存在一個零點，設

7

為%,進而得到g(/)的單調性，求得g?)的最小值g(n)=2即可求解;

71

(2)由(1)得到不等式sin/-cosf+l22/恒成立，即asin(f—￥)22/一1恒成立，從而證

兀4兀

得sin(產Dk1

---進而證得

2〃+12〃+12

〃兀

6(+1)之35+1)

sm^Lsinf2E.Y...+sin，得到

(2n+。+D2/?+1-2(2n+1)

n271

sm+sin+…+sin進而證得結論.

2n+T2/1+12〃+l4(2w+1)

【詳解】(1)解：由題意，?^/(^)=sin2x+2sin2x=sin2x-cos2x+1,

令f=2x,因為xw,可得Zw［O,兀］,且/?)=sinZ-cos，+l,

答案第7頁，共74頁

因為/(x)±2亦在旭上恒成立,

即sinr-cosE+1NS在［0,兀］上恒成立，

當￡=0時,不等式sinE-cosf+INfa，顯然成立,

廣「t、i/wv/A-I-/sint—cos，+1_j./八,.t—tv

所以等價于44-----------在(0,7t]上恒成立,

、幾/、sin/-cosz+li

設g(，)=-----------,xe(0,n],

(2cosf+2sin。?，一(sinf-cosf+1)_/cos/+/sinZ-sin/+cos/-l

則g'(/)=

.22

^//(/)=ZcosZ+/sin^-sinZ+cosZ-1,可得〃'(f)=Kcos"sinf),

當fe(0令時，〃(f)>0,力⑴單調遞增；

當代(：,無)時，h'(t)<0,〃(f)單調遞減，

又因為人(0)=0"(5)>0,"兀)<0,所以在(彳,無)上存在一個零點，設為外,

所以當fe(0j。)時，A(/)>0,可得g'?)〉0,g(。單調遞增；

當fw(右㈤時,人(/)<0,可得g'(f)<0,g(t)單調遞減,

所以g(。在/=1。處取得極大值，且為最大值,

由g(〃)=2,所以即實數(shù)。的取值范圍為1-8,2.

兀7CI兀_

2

(2)解:由(1)知，當，e［0,對時，不等式sinf-cosf+12T恒成立,

71

)，TT)

即sinZ-cos/>—/-I,即V2sin(/——)之一￡一1恒成立，

兀471

當1W左4〃+1,且AeN+時，可得04旦?+兀，

2〃+14

所以sm(熱)=sin(熱++力4?(3+a一12k1

2w+l-2

所以近sinlnj+sin|——+---+sin〃+l)兀

l2n+ljI2/7+1J2〃+l

2(工」)+(,」)+…+(亞業(yè)」)=工」向)(〃+2)一”1=也山

2/7+122n+l22/74-122〃+1222(2〃+1)

所以si”嘉卜in高+…+sin(〃+1)兀>3@〃+1)

2?+1-4(2〃+1)

答案第8頁，共74頁

111

n-\---F-[

〃+11n+11

又因為=-x=-x

2〃+12~r2f口+2

〃+一n+-nH——

222

77+l)7T>30〃+l"30,J3&

所以.肅+疝謂+.?.+?-4(2n+l)>-X2-"I"

J2n+l

【點睛】思路點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1>通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

3、根據恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就

要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

8.(1)(2,加)

⑵證明過程見解析.

【分析】(1)根據函數(shù)零點定義，結合常變量分離法、構造函數(shù)法，結合導數(shù)的性質進行求

解即可；

(2)根據所證明不等式的結構特征，構造新函數(shù)，結合導數(shù)的性質進行求解即可.

【詳解】(1)/(x)=(x-l)lnx-x2+ax=>-1--+\nx-2x+a-0,

該方程有兩個不等實根，由=l---FInx—2x+a=0="=2xH---Inx-1,

所以直線，=。與函數(shù)8(X)=2》+/-111》-1的圖象有兩個不同交點，

11112%2—X—1(2X+1)(X—1)

由g(x)=2x+——\nx-\=>ga)=2-------=--------=-----p----,

XXXXX

當xe(O,l)時，g'(x)<O,g(x)單調遞減，

當xe(l,+oo)時,g[x)>O,g(x)單調遞增，Bjttg(x)min=g(l)=2,

當X->0時，g(X)->+8,當Xf+oo,g(X)->+8,

如下圖所示：

答案第9頁，共74頁

所以要想有兩個不同交點，只需。>2即。的取值范圍為(2,+8);

(2)因為外,三是函數(shù)/(x)的兩個極值點,

所以/'(%)=/'(工2)=0,由⑴可知：g(xj=g(x2)=a,不妨設0<占<1<2,

要證明占+%>2,只需證明顯然

由(2)可知:當x?l,T8)時,g(x)單調遞增，所以只需證明g(%)>g(2—xj,

而g(xj=g(x2)=a,所以證明g(xj>g(2-xj即可,

即證明函數(shù)%(x)=g(x)-g(2-x)>0在xe(O,l)時恒成立,

由h(x)=4x+—-Inx-^*+ln(2-x)-4=>A,(x)=

顯然當x?O,l)時,〃'(x)<0,因此函數(shù)Jx)=g(x)-g(2-x)單調遞減,

所以當0<x<1時,，有h(x)>h(l)=O,所以當0<西<1時，g(xj>g(2-xj恒成立，因此命

題得以證明.

【點睛】關鍵點睛：常變量分離構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性求解證明是解題的關鍵.

9.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)構造g(x)=/(x+l)-x=ln(x+l)-x,求導后判斷函數(shù)最大值，得到g(x)40,

即ln(x+l)4x得證；

(2)根據題意判斷0<%<，，-<x,<l,將原題轉化為證明〃(％)>?」一］，構造函數(shù)后

eee~x9

答案第10頁，共74頁

求導證明即可.

【詳解】⑴令g(x)=/(x+l)-x=ln(x+l)-x,x>-l,g((x)=-

令g'(x)>0,解得：-l<x<0；令g[x)<0,解得：x>0,

g(x)在(-1,0)遞增，在(0,+8)遞減，貝!IgGLx=g(0)=0，

.?.g(x)V0恒成立,Bpin(x+l)<x.

(2)V/i(x)=2xlnx,(x>0),〃'(x)=21nx+2,

令，(x)>0,解得：x>-；令解得：0<x<~；

ee

.?/(X)在(J,+8J遞增，在遞減.

又=〃(1)=0,<x,h(x,')=h(x),K0<x,<-,-<x<1.

Je22ee2

11

<-

要證百WT2，即證石一.

eex2

1i/、(1、

0<——<-,/.——,

e%e

又：h(x,)=h[x2),只證Mx?)>J即可.

Ie

令陽(x)=/?(x)-//=2xlnx+2f-Ine2用—<X<1,

e~x

/.M（x）在-<x<1單調遞增.

又,「加(，)=0,/.w(x)>0,/./?(x)

即〃(12)>人~X|X2<w.

【點晴】極值點偏移的題目常用的手法就是對稱構造，本題可先判斷。<演<5i<x2<i,

1I1）

再轉化為證明玉<『，根據〃（x）的單調性可以將其轉化為證明6（七）>6—L構造函

eX2VeX27

數(shù)后利用導數(shù)證明不等式即可.

答案第11頁，共74頁

10.(1)在(-8,1)上單調遞增，在(L+8)上單調遞減.；⑵6，1卜(3)證明見解析.

【分析】(1)根據導數(shù)和函數(shù)單調性的關系即可求出；

(2)先求出函數(shù)的值域，即可求出。的范圍；

(3)構造函數(shù)尸(x)="l+x)-/(l-x),判斷函數(shù)的單調性，即可證明.

【詳解】解：(1)因為/(x)=xe-、，所以./"㈤=(l-x)e-\令/'(x)>0,解得x<1,令f\x)<0,

解得X>1,

即函數(shù)/(x)=xe-x在(-8,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減.

(2)由(1)可得函數(shù)/G)=xe-，在x=l處取得最大值，=/(1)=-)

e

因為方程/(刈+2片-34+「0有兩個不同的根，

所以-2/+3a-le(0,5,即-2/+3a-l>0，-2a2+3a-\<-,解得

<?e2

即實數(shù)。的取值范圍為(；4).

(3)證明：由/(X1)=/(X2),X|HX2，不妨設王<》2，

構造函數(shù)尸(x)=/0+x)-/(l-x),xe(0,1］,

則F\x)=f'(l+x)+f'(l-x)=4(/*-l)>0,

e

所以尸(x)在xe(0,1］上單調遞增，F(xiàn)(x)>F(0)=0,

也即+X)對xe(0,1］恒成立.

答案第12頁，共74頁

由0cxic1c%，則1-匕€(0,1],

miu./(I+(1-X,))=,/'(2-x1)>/(l-(1-X,))=/(x,)=/(x2),

BP/(2-x,)>/(x2)，又因為2-演，&w(1，+8),且/(x)在(1,爾)上單調遞減，所以2-再<%，

即證占+々>2.

即/n(x,+x2)>ln2.

【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性及最值，考查不等式與函數(shù)單

調性的應用，考查轉化思想，屬于中檔題.

11.⑴當a<0時，/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增；

當a>0時，/(x)在區(qū)間(0,，)上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.

(2)證明見解析

【分析】(1)求導后，根據。的不同取值范圍，對/'(X)的符號進行討論即可；

12

(2)由已知及(1)中單調性，可知。>0,工2>—且々>2,故只需證明2+占>一，再借

a