高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題3三角函數(shù)（學(xué)生版+解析版50題）

競(jìng)賽專題3三角函數(shù)

（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、單選題

1.（2018?吉林?高三競(jìng)賽）已知了⑴一."，則對(duì)任意xwR，卜列說(shuō)法中錯(cuò)誤的

24-cos.V

是（）

A./（x）>|sin.vB.|/（刈斗］

C|/（.V）|<^D./（7F+A）+/（^-X）=（）

2.（2018.四川?高三競(jìng)賽）函數(shù)y=（sin、T）（cgi-l）（Ye汽）的最大值為（）.

2+sin2K

A.正B.1C.L正D.拉

222

3.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）函數(shù)_y=kinx?>sx］+卜inx+cosx］的值域?yàn)椋ǎǎ踴］

表示不超過(guò)實(shí)數(shù)》的最大整數(shù)）.

A.{-2,-1.0,1,2}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1)D.{-2.-1.1}

4.（2010?四川?高三競(jìng)賽）己知條件p：Jl+sin2aq和條件q:卜ina+cosa|=g.則〃

是的（）.

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在AA8C中，zS4<ZB<ZC,.smA+si叱=6

cosA+cosB+cosC

則DO的取值范圍是（）.

二、填空題

6.（2018?江西?高三競(jìng)賽）若三個(gè)角J）'、z成等差數(shù)列，公差為則

tanxtantanytanz+tanztanx=

7.（2018?廣東?高三競(jìng)賽）已知△ABC的三個(gè)角A、B、C成等差數(shù)列，對(duì)?應(yīng)的三邊為

a、b、c,且a、c、言成等比數(shù)列，則5川"=

8.（2019?全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)銳角a、P滿足awQ,且

（cos』a+cos24）（I+lana?lan￡）=2,則a"=.

9.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）函數(shù)戶sin?l+tan「tai，）的最小正周期為

10.（2021?浙江金華第一中學(xué)高三競(jìng)賽）設(shè)/（、）=（Y+4X+3廣哈為定義在K上的函

數(shù).若正整數(shù)“滿足（V?。?2021,則”的所有可能值之和為

AT

ACT—!_1*45_

11.（2021.全國(guó)?高三競(jìng)賽）在AA8c中，-―A+~~C~~一耳二。,PPJHC+AH

tan—tan—tan—

222

的值為

59

12.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）H知AA8c滿足2sinA+sin8=2sinC,則——+——的

sinAsine

最小值是

13.（2020?浙江.高三競(jìng)賽）己知64、ye0,y，則

cosa+2cosQ+cosy-cos（a+y）-2cos（〃+7）的最大值為

14.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知三角形A8C的三個(gè)邊長(zhǎng)“、b、c成等比數(shù)列，并且滿

足則NA的取值范圍為

15.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)且cos*+sin*+lMAKcosd+sinO+iy,則

實(shí)數(shù)，”的取值范是

16.（2021?浙江兩三競(jìng)賽）在“8c中，N8=/C=30°,A8=2.若動(dòng)點(diǎn)P,。分別

在A8,8c邊上，且直線0Q把AA8c的面枳等分，則線段尸。的取值范圍為.

17.（2021?浙江?高三競(jìng)賽）若則函數(shù)產(chǎn)紀(jì)j-—3的最小值為

K447sin.v+cos.v

18.（2021?全國(guó)高三競(jìng)賽）已知等腰直角dQM的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角於8。的三

條邊上,記“QR、”8C的面枳分別為臬咿、$“它,則沁■的最小值為

19.（2021-全國(guó)?高三競(jìng)賽）滿足方程cos2A+cos22x—2cos.vcos2.vcos4.v=?,xw[0,2川

4

的實(shí)數(shù)K構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)為

20,（2021全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)“8C的三內(nèi)角4、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為〃、b、c,

若b+c—a=2?則h2sin2—+c1sin'--Zftcsin—sin—sin—值為

22222

21.（2021,全國(guó)兩三競(jìng)賽）“8C中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.。是、28c的

外心，點(diǎn)?滿足加:厲+班+元，若8=三，且所.反1=4,則d/3c的面積為

22.（2021?全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)“8c的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C,并且

sinA、c?s8、sinC成等比數(shù)列，cosA、sin8、cosC成等差數(shù)列，則B為

23.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如果三個(gè)正實(shí)數(shù)x、Az滿足V+.ry+./=25,

）6+）2+/=144,r+zx+.t2=169,則人力+產(chǎn)+次=.

cosV

24.（2021.全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)/（叱、八―則〃1。）+〃2。）+…+/（40。）=

IDU.1I

25.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知cosx+cos「=1,則sinx-sinp的取值范圍是

26.（202（）?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在“8C中，48=6,8C=4,邊AC上的中線長(zhǎng)為布，

則sin^+cos。/的值為

27.（2019?江蘇,高三競(jìng)賽）已知函數(shù)f（x）=4sin2x+3cos2.v+2asinx+4acosx的最小

值為一6,則實(shí)數(shù)”的值為

28.（2019?福建?高三競(jìng)賽）在△A8c中，若4C="，AB=2,且

GsinA+cosA5萬(wàn)

-l----------------=tan—.則8C=____________

近c(diǎn)osA-sinA12

29.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)NA、O8、NC是AA8c的三個(gè)內(nèi)角.若sinA=a,cos8=b,

其中,a>0,b>0,且a2+b!1，則tanC=

30.（2018?全國(guó)兩三競(jìng)賽）在A48c中，已知“、b、c分別是ZA、D3、NC的對(duì)

邊.若二+2=4cosC,cos（A-B）=-,則cosC=

ba6

31.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若時(shí)任意的AA8C，只要,+，=，（〃、“€氏），就有

psiirA+r/sin2B>p（/sin:C,則正數(shù)，?的取值范圍是-

32.（2018,全國(guó)高三競(jìng)賽）在銳角AA8C中，cosA+cos8-sinA-sin8的取值范圍是

33.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知單位圓.*+『=1上三個(gè)點(diǎn)4（』,）［）,8（占.%）,

X）滿足-v>+x2+-S=V,+*+.*=0.則x；+*+X；=y：+y：+y；=

34.（2021?全國(guó)■高三競(jìng)賽）在AA8C中,2cosA+3cos8=6c.sC,則cost?的最大值

為_(kāi)_____________?

35.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知正整數(shù)小P，且〃N2,設(shè)正實(shí)數(shù)〃卜嗎,…也滿足

V—^―=1,則〃”"，???〃?”的域小值為_(kāi)___.

$+現(xiàn)

36.（2021.全國(guó)?窗三競(jìng)賽）設(shè)銳角AA8c的三個(gè)內(nèi)角4B、C,滿足

sinA=sinBsinC.Wi]tanAtanB-tan。的最小值為.

37.（2019?貴州?高三競(jìng)賽）在△ABC中，GA-FGB+GC=6.GXG5=（）.J1IJ

（tanA4-tan/?）taiiC_

tanAtan8

38.（2019?江西?高三競(jìng)賽）A/WC的三個(gè)內(nèi)角八、從。滿足：A=3?=9C,則

cosAcos8+cosBcosC+cosCcosA=

三、解答題

39.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在一BC中，三內(nèi)角4、5、C滿足

tanAtanB=tanfiianC+tanClanA,求cos。的最小值.

2n2。V

40.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）解關(guān)于實(shí)數(shù)A的方程：Zarctan：={1}9°（這里

4=1K

3=）-3，卜]為不超過(guò)實(shí)數(shù)》的眼大整數(shù)）

41.（2021全國(guó)?高三競(jìng)賽）己知點(diǎn)42cosor,$ina）,8（2cos夕,$in/?）.C（2cosy,siny）,其

中a，A7€[0,2萬(wàn)）,且坐標(biāo)原點(diǎn)O恰好為AA8c的重心，判斷邑田是否為定值，若

是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

42.（2019?上海?高三竟賽）已知48J。,g],且當(dāng)=sin（A+8）,求〃"認(rèn)的展大

I2JsmB

值.

43.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在AA8C中，證明：

BCCAAB

cos—cos--cos—?cos——cos—cos-士華，當(dāng)且僅當(dāng)AA8C為正三角形時(shí)，上式

2222+22

A~

cos—

2

等號(hào)成立.

44.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在△ABC中，若空四+上*=2,證明:NA+NB=90。

sin8sinA

45.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知的三個(gè)內(nèi)角滿足NA+NC=2N8,

COSA+COSC=-"C°SACOSC,求8s空C的值.

cos82

46.(2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽)己知函數(shù)”x)=3(sin\+cos3.r)+///(sinx+cos工)’在

?re0,1有最大值2.求實(shí)數(shù)，”的值.

47.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)求/(.")=&os4x+7+JCQS4y+7+

^/cos4.v+cos4y-8sin2x-siify+6的最小值.

48.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)求證：對(duì)任意的〃￡此，都有

1111n

arctan-+arctan-+…+arctan--------+arctan----=——.

371+〃+獷4

49.(2021?全國(guó)兩三競(jìng)賽〉設(shè)久［3、/是銳角，滿足a+〃=y,求證：

cosa-i-cos/?+cos/-l>2>/cosfz-cos/Jcos/.

50.(2019?河南?高二競(jìng)賽)銳角三角形人“。中,求證:

cos(B-C)cos(C-iA)cos(A-B)..8cosAcosBcosC.

競(jìng)賽專題3三角函數(shù)

（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、單選題

1.（2018?吉林?高三競(jìng)賽）已知r（x）=cS"x，則對(duì)任意xwR,卜列說(shuō)法中錯(cuò)誤的

'2+cosx

是（）

A./（x）＞|sin.vB.|/（"因.可

C.|/（小，D./（萬(wàn)+*）+〃…）=0

【答案】A

【解析】

【詳解】

由得sin.r（l-cos.x）NO,?「l-cos工N。，所以該式不一定成京，sinx行川能

是負(fù)數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤：

|/（3=熱、4忖間41.所以選項(xiàng)B正確：

1〃.川=卜間=1sinV-0

I表示單位圓上的點(diǎn)和（-2,0）所在直線的斜率的絕對(duì)

,|24-cos.r|cosA-(-2)

情，數(shù)形結(jié)合觀察得到|/3歸9.所以選項(xiàng)c正確：

/（zr+.r）+f（K-x\=-s^nA+=—--=0,所以選項(xiàng)D正確.

'2-cosx2-cos.v2-cos.v

故答案為A

2.（2018?四川?高三競(jìng)賽）函數(shù)v=（='一以儂一1）（、6R）的最大值為（）.

,2+sin2x

A.正B.IC.」-+且D.72

222

【答案】B

【解析】

【詳解】

sint?cos,t—卜山口+COSA)+1

因?yàn)閂=金

2+2sinvcosx

f=situ+cosx=

則sinA.cos_t=i(l-12).『是

:(/_])_/+]I/

2+(r-l)

I--

個(gè)g（'）=號(hào),則#'（/）

西?

由"([)=0知/=-|或I.

因?yàn)?（_應(yīng)）=+于是&（/）的最小侑是

8（-1）=-；，所以了的最大值是91口=|

故答案為:B

3.（2019.全國(guó)?高三競(jìng)賽）函數(shù),y=、inxcosx]+卜inx+cos.t]的值域?yàn)椋ǎ╗x]

表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.

A.{-21,0,1,2}B.{-2,-1,0.1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-14}

【答案】D

【解析】

【詳解】

v=^sin2.r

下面的討論均視AEZ.

(I)當(dāng)2k冗W&42kn+一時(shí)，.、'=?：

2

當(dāng)2A/r+gv2&不+子時(shí)，y=-1：

當(dāng)2￡〃+至<女<2*乃+”時(shí).y=-2-

⑶

4

當(dāng)x=2*乃+”或2*乃+半時(shí)，)'=-1；

(5)當(dāng)2R/r+TC<x<2kjr+時(shí)，y=—2:

當(dāng)24乃+包v.r<24乃+二時(shí)，}'=一2

(6)

24

當(dāng)2?萬(wàn)+上亢亢時(shí)，y=-1.

(7)Sx<2k+2

4

綜上，yi1.

故答案為D

，Ai

4.（2010?四川.高三競(jìng)賽）已知條件〃：+sin2a=、和條件q:卜ina+cosa|=1.則〃

是<7的（）.

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【詳解】

因也+sin2a=^（sina+cosa）'=[sina+coscr|.所以.P是C1的充要條件.

5.（2018.全國(guó).高三競(jìng)賽）在AA8c中，NAVN84/C,S叫+澗'+sm'=互

cosA+cosZ?+cosC

則所的取值范圍是（）.

【答案】C

【解析】

【詳解】

由條件有si【M+siIW+sinC=cosA+cos^+cosC)

n2sin"Jcos"Jsin8

±t￡ocosdz￡+cos/?

222

A1￡.2sinA±￡=sin/?-A^COSB

22

nA+CA-C

利用輔助角公式有2sin=sin|3一匹

322

A-C

=>2sin

2―

c°s上Jc°s生"

=0

222

B-60°A-C+B-60°B-A+C-6O0

=sfn------°osfn-------------°Osln-------------0,

24

所以，-600=0或者4一/。+/8-60。=0或者/3-/4+/。-60^=0.

即NB=60?；蛘逳C=60?；蛘?A=60。,亦即NA、NB、NC中有一個(gè)為60。.

若ZB<60。,則NASN8<60。，所以，只能NC=60°，此時(shí)./4+/8+/。<180。,矛

盾;

若N8>60。，則NC2N8>60°,所以，只能NA=60°,從而.ZA+ZB+ZC>180°.

亦矛盾.選C.

二、填空題

6.（2018?江西?高三競(jìng)賽）若三個(gè)角X、八z成等差數(shù)列，公差為。，則

tanxtany+tanytanz+tanztanx=.

【答案】-3

【解析】

【詳解】

根據(jù)x=y-1.z=y+g.

Mlltanv-JJlanv+G

則taox=--r.[anz=—廠.

I+V3tanv1-v3tany

tair)j-y5tanvtan2v+>/3tanvtan2

所以tan.vtai\v=tanytanz=---'-j-----—,tanztanx=----，一

I+>/3ianvI-，3tanv1-3tan'v

則tanzanv+tanvtanz+tanztaar=也3=-3

,l-3tan?v

故答案為-3

7.（2O18?廣東?商三競(jìng)賽）已知AABC的三個(gè)角A、B、C成等差數(shù)列，對(duì)?應(yīng)的三邊為

4

a.b、Cr且a、c、而〃成等比數(shù)列，則5M妙"、.

【答案】正

2

【解析】

【詳解】

因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，28=A+C,38=A+8+C=180。，因此8=60。.

又因?yàn)閍、c、成等比數(shù)列,所以c=q〃.力=畫Z.

4

由F弦定理，-=四上?=qa,

sinA4sin60°sin(l200-A)

整理得sinA=/,—cosA=---y,(9-2)%3+5/+4+(q-2)[=。.

42**-LJ

所以g=2,siiL4=1.A=30°,C=90°.

故又4附=；。。=李/，所以

故答案為亞

2

8.(2019?全國(guó)高三競(jìng)賽)設(shè)銳角。、夕滿足且

(ces2a+cos20(1+lana?lan/7)=2,則a+尸=.

【答案】90

【解析】

【詳解】

由已知等式得(2+tan%+3］刈(！+lanauin4)=2(1+ian%)(l+tan2/?),

(tana-tan/?)~(tanatan/?-1)=0.

但銳知。。,故tana-tan/?-1=0

=cos(a+/?)=0=a+4=90。.

故答案為90

9.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)函數(shù)y=$in.“+tan.v-tan^j的最小正周期為

【答案】27r

【解析】

【詳解】

解析：當(dāng)x=2公r,AeZ時(shí)，y=sinI+tan.v-tan~^=0?

當(dāng)sZ時(shí)，Y=sin.r(l+J""」■—|=tanx,Jti|ikrr+—5L

\cosxsinx)2

大。224+工,

畫出圖象可得函數(shù)周期為2%.

故答案為：2〃.

10.(2021?浙江金華第一中學(xué)高三競(jìng)賽)設(shè)/(X)=(1+4N+3丫吟為定義在&上的函

數(shù).若正整數(shù)〃滿足口./'/)=2021，則〃的所有可能值之和為

Xcl

【答案】12121

【解析】

【詳解】

f(k)=代+4A+1)'哼="?+1)嘮伍+3)冶；

H〃A)=(1+1)。(1+3)"(2+尸(2+3)-'x...x(4,〃_3+1)。(4,〃-3+3)°

<a1

X(4/H-2+1)-'(4，〃-2+3尸x(4,n-l+l)°(4/n-l+3)°(4〃，+1)'(4，"+3)1,

考慮cosj.v的周期為4,分四種情況考慮

(I)當(dāng)Jt=4，〃-3(川為正整數(shù))時(shí).

]/(￡)=(2+l)T(2+3)-'(4+l)i(4+3)i.“x(4〃t_4+3)i(4"i-3+l)"(4，H-3+3)°

HI

二3"x(4/〃-1)=2021.

所以4〃L1-6063,fi=4rn-3=6061；

4m-2

⑵當(dāng)A=4，〃-2時(shí)，[I/(Q=3-'x(4,〃+l)-'=2021,無(wú)正整數(shù)解：

■l/n-l

⑶當(dāng)火=4，〃一1時(shí)，1I，⑹=3'X(4〃?+1尸=2021,無(wú)正糠數(shù)解：

(4)當(dāng)氏=4，〃時(shí),咨/⑹=3"x(4〃?+3)’=2021,此時(shí)〃=4，〃=6060，

i-I

綜上,“=6060或“=6061.

故答案為：12121.

A0_§1_J______5_

11.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)在AASC中，=''—A+'―C—豆二°,則8C+A8

tan—tan—tan-

222

的值為

【答案】7

【解析】

【詳解】

解析：記“8c中A8、C所對(duì)的邊分別是a、〃、c.

如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，,

ArCrBr

m.flan-,tan—=.tan-=-------

則2b+c-a、2u-^b-c.2a+c-b,

~~2~-2~~2~

故〃+c-a+a+〃-c=5(“+c-〃)，故5(a+c)=7〃，

即〃+c=7,

故答案為：7

59

12.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）己知“WC滿足2sinA+sinB=2sinC,則--十——的

sinAsinC

最小值是

【答案】16

【解析】

【詳解】

解析：2sinA+sinB=2sinC=>sinB=2(sinC-sinA)

c.A+CA+C.C-AA+C

n2sin-----cos-----=4sin------cos-----

2222

A+C個(gè).C-ACcA

nsin-----=2sin-----=>tan—=3tan—.

2222

5959—27人3

+

令"tan5,則sinAsinC~^T~6T2t2t

r+19/+】

⑹2+4

>—=16.

A1C

當(dāng)f=一,tan—-Jan—時(shí),tan一一上>0,所以A+C<180。，

2222=12

59

故16

sinAsinCmm

故答案為：16

13.（2020?浙江.高三競(jìng)賽）已知a.#,7w.則

cosa+2cos[i+cos/-cos(a+7)-2cos(尸+y)的最大值為

【答案】3板.

【解析】

【詳解】

cosr2-cos(rz+/)=2sin-sina+乙<2sin-,

'')2I2)2

同理cc\〃一cos(77+7)W2sin].

y

故cosa+2cos/7+cosy—cos(a-Fy)-2cos(/7+/)<6sin彳+cosy.

而6sing+co$y=-26in2(+6sin§+l=-2(sin§_3)+?，

lB^0<sin-^<—,故-2(sinZ-3]+-<3>/2.

22\22)2

當(dāng)且僅當(dāng)士什"十時(shí)，各等多成立.

故答案為：3五

14.（2021.全國(guó)高三競(jìng)賽）已知三角形48c的三個(gè)邊長(zhǎng)〃、Ac成等比數(shù)列,并且滿

足則NA的取值范圍為

【答案】已當(dāng)

33

【解析】

【詳解】

由條件＞？=“＜:，結(jié)合余弦定理cos8="+'.WlJ/fcos/y=I）＞—.

2aclea2

「7t.UMI々..-rA「12才）

從而A￡（o,不，而A是最大角，從而4G—.

JL?*?

3比,八、j「42不）

故答案為：y.yI.

15.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)。＜〃＜★，且85'6+甯!?6+1=〃代（^6+$皿6+1）3,則

實(shí)數(shù)〃J的取值范是

【答案】3*上；

.7

【解析】

【詳解】

cos'0+sin，0+1

解析:

(cos6+sin8+I?

(cos。+sin，)(cos20-cossin。+sin?。)+1

(cos0+sin04-1)5

令x=cQs0+sin0,則A=0$in［°+；)￡(1,0］,且sin9cos°=:'二］,

一，2

于是(2)24-3.V-.V2+x22-x3I?

(工+1)32(.v+ir2*+【尸2(A+I)2(X+I)2

為然，〃是。.應(yīng)］上的減函數(shù)，所以八0)</(，〃)</(1),即機(jī)￡嗨心二.

.24J

2,［誓叫

16.(2021?浙江?高三競(jìng)賽)在AA8C中，N8=NC=30。，人8=2.若動(dòng)點(diǎn)尸，。分別

在48,8c邊上，且直線「。把“8C的面積等分，則線段P。的取值范圍為.

【答案】［“0-6河

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖所示.設(shè)8P=.r.8Q=.v,

所以S=—.vysin30=—S=—，所以xv=273.

4?i7v2?2MC2?▼

由余弦定理可得.P。2=.$+3,2-2.CX—=.v2+y2-6=.J+￥-6.

2x~

易得xe|l,2].所以.v?

所以4G-64PQ?47.

則PQ的取值范圍為.

故答案為：“4癢6,"卜

17.(2021?浙江?高三競(jìng)賽)若則函數(shù)產(chǎn)比”8c+3的展小值為

\44ysinA'+COSA,

【答案】2夜

【解析】

【分析】

【詳解】

令，=$inx+cos.v=-J7.

12（,'）+3=*=2,+占在

當(dāng)且僅當(dāng)"加考時(shí)取等文

故答案為：20.

18.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知等腰直角APQR的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰口角AA8c的三

則沁的坡小值為

條邊上，記WQR、”8C的面積分別為S,”、",

【答案】I

【解析】

【分析】

【詳解】

(I)當(dāng)dQR的在角頂點(diǎn)在“8C的斜邊匕如圖I所示，則P,C、Q,/?四點(diǎn)共

圓，ZAPR=ZCQR=1800-Z.BQR,所以sinZAP/?=sinNBQR.

在.△APR、ABQR中分別應(yīng)用正弦定理得上=丁I。。，篝=.臂

sinAsm/APRsinBsinZ.BQR

乂NA=N8=45o,PR=QR,故AR=8R,即/?為A8的中點(diǎn).

過(guò)R作RH1ACJ〃，則PRNRH=gBC,

所以L#_PR-_1,此時(shí)N的最小值為!.

不=記一"4

則NCPR=90。一Z.PRC=ZBRQ=a.

CRv

《Rf.CPR中,"?=-=」一，在△/次Q中，

sinasina

Y3

BR=I-.v.RQ=PR=——.4RQB=/r-4QRB-4B=」兀-a.

sina4

RQRBTn.1-.vx1

由正弦定理，蓊=嬴數(shù)=U=-H―[OG=c°sa+2sinM因此

」sin-sin-n-a

4U}

、H二S"3二(_____J_____]>1_￡

」J札S0Aoe(cosa+2sinaj-(1+2?乂cos?a+sin?a)5

當(dāng)且僅當(dāng)a=arctan2時(shí)取等*}?此時(shí)的最小值為；-

5

故答案為：—.

19.(202L全國(guó),高三競(jìng)賽)滿足方程cos2A+COS:2.V-2cosxco:;2xcos4x=-,.re[0.2^-]

4

的實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)為

【答案】14

【解析】

【分析】

【詳解】

將方程變形為，cos2.v+cos4.v-4cos.rcos2.vcos4.v=-g

兩邊同乘2sin.i,運(yùn)用積化和差和正弦的倍用公式，得:

(sin3.v-sin.r)+(sin5.r-sin3.v)-sin8.v=-sinx,

即sin5x=sin8K.

故5.v+8x=(2k+1)1，AeZ或8.v=5x+2ATT,kwZ,

即.r=2K+1n、ke2或》=竺eZ.

133

乂因?yàn)樵诜匠虄蛇呁瑫r(shí)乘sinx時(shí)，所以引入了增根K=北無(wú)/wZ（代入原方程檢驗(yàn)可

得）.

再結(jié)合.“［。、2兀］,得所求結(jié)果為14.

故答案為：14.

20.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)AA8c的三內(nèi)角八、8、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為“、b、c

若〃+c-“=2,則/Psin'C+cZsin'g-Z/'csinAsinOsinC值為.

22222

【答案】I

【解析】

【分析】

【詳解】

,,.,C、.、Br,.A.B.C

p'sin'—be-sin-----2/;csin—sin—sin—

22222

=-/;2(l-cosC)+-c2(l-cosfi)--Z>c(cosA+cosB+cosC-1)

222

=.!?(//+c:+2bc)--h(bcosC+ccosB)--c(ccosB+bcosC)+-(b2+c2-2bccosA)

4224

12,+ca

=-(b~+C+2hc)--ha--ca+-a=^~y=]

42242

故答案為：1.

21.(2021?全國(guó)?島三競(jìng)賽)AA8c中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,O是AABC的

外心，點(diǎn)?滿足而=5+而+左，若8=號(hào)，且靜.阮=4.則“8C的面積為

【答案】26

【解析】

【分析】

【詳解】

由3+9+0亍，得濟(jì)-)=麗+3。.即/+元.

______5卬IMAI

注意到(而+工)-L，所以人戶_LBC.

同理，BP1AC.所以尸是“8C的垂心，

麗?阮=(BA+AP>BC=BA-BC、

所以accos8=4,ac=8.

所以S.sc=~ac$inB=26.

故答案為：2vL

22.(2021?全國(guó),高三競(jìng)賽)設(shè)“8c的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C,并且

sinA、cos8、sinC成等比數(shù)列，cosA、sin8、cosC成等差數(shù)列，則B為

【答案】y

【解析】

【分析】

【詳解】

儂題意，sin4sinC=cos28,cosA+cosC=2sinB,

前一式積化和差可得cos(4-C)=2cos2B-cosB.

4_CR

后一式和羌化枳可得cosC-2=2COS2.

22

所以cos(A-C)=2cos3—~~--I=8cos2—-l=4cosfi+3,

22

聯(lián)立兩式得cos8=-g或3(舍去)，所以8=生.

23

故答案為：y

23.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如果三個(gè)正實(shí)數(shù)六J、z滿足.e+x、，+y2=25,

/+yz+z2=144,z\zx+.d=169,則.。+"+次=

【答案】406

【解析】

【分析】

【詳解】

,V2+>,2-2,n-cos)20°=52,

易知三個(gè)等式可化為卜2+Z?-2)283120。=12、

z2+.V2-2z.vcos120°=132.

構(gòu)造Rt^ABC.其中AB=]3,BC=5,CA=12.

設(shè)P為△A8c內(nèi)一點(diǎn)，使得PB=工PC=y.PA=z.乙BPC=Z.CPA=ZAPB=120°.

閃S“"T+S??,\+=S"*"c，則—(-'3'++zv)sin120°=—x5x12,

22

所以r.r+yz+zv=405/3.

故答案為：40>/3.

COSX

24.(2021?氽國(guó),高三競(jìng)賽)設(shè)了⑴飛(孫…),則/?！?+〃2°)+…+/(60。)=

【答案】1Z2立

6

【解析】

【分析】

【詳解】

COS.V

因?yàn)?*)=,所以:

cos.vcos（6l°-x）

/（.V）-F/（60°-.V）=

cos（30°-A）cos（.v-30°）

cos.v4-cos（60°-,v）_2cos30°cos（.v-30°）

cos（.v-30°）cos（.v-30°）

令：￡=〃1。）+/（2。）+???+/（59。）.①

s=〃59。）+/（58。）+…+/（2。）+/（1。）?②

①+②得:：

2s=[/（1。）+f（59。）]+[/（2。）+/（58。）]+…+[/（59。）+/（1。）]=596.

所以$=當(dāng)?shù)?即/（】）+/（2）+,+/（59）=竿.

2

,向）=cos60。=5=]

'1）cos（300-60。）一0一3,

T

則/（1。）+.”2。）+...+/（59。）+/（6（）。）="+坐=上步.

236

故答案為：122^.

6

25.（2（）21?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知85工+8§、=1,則sin.v-siny的取值范圍是

【答案】[-6,6]

【解析】

【分析】

【詳解】

產(chǎn)—1/_]

設(shè)sinx-sinv=，,易得cos.rcosv-sin.tsinr=~^―,EPcos(,v+y)=.

由f--l<cos(.v+y)<1,所以,

解得一代二品班.

故答案為：卜6,0]

26.(2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽)在“8C中，AH=6JiC=4,邊AC上的中線長(zhǎng)為加,

4A

則sid^+cosG]的侑為

【答案】三21I.

【解析】

【分析】

山中線氏公式計(jì)算出AC的長(zhǎng)度,然后運(yùn)用余弦定理計(jì)算出cos/l的值.化簡(jiǎn)后即可求

出結(jié)果.

【詳解】

記M為4C的中點(diǎn).山中線長(zhǎng)公式得

4BM2+AC'=2[AB2+BC2),

川AC=^2(6:+4:)-410=8.

CA2+AB2-BC2_8,+62-42

由余弦定理得cos人=所以

2CAAB2-8-68

,6八6人八1八]/.4八2

sin—+cos—=sin'—I-cos--sin---sin△■2+cos』

22122A2223

1/A、A。A->A

ilK-4-COS一—3sjn'—cos'一

2-222

=I--sin24

4

2II

故答案為:

256

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵是能夠熟練運(yùn)用中線長(zhǎng)公式、余弦定理、倍角公式等進(jìn)行

計(jì)算，考查綜合能力.

27.(20|9-江蘇.高三競(jìng)賽)己知函數(shù)/(A)=4sin2x+3cos2x+2asin.v+4ncos%的最小

值為-6,則實(shí)數(shù)a的值為

【答案】±^2

【解析】

【詳解】

令sin.r+2cosx=t,則/e卜-如j.

2/2=4$in2x+3ce$2x+5，

??/。)=g(/)=2廣+2al-5,/€|一退，行|?

當(dāng)-54.a>2>j5時(shí)，

函數(shù)的最小值為：^(->/5)=2X(-^)?+2X(-75)X?-5=-6.

解得：”=/，不合題意，舍去；

當(dāng)一：N邪,〃4-2b時(shí)，

函數(shù)的段小值為：g(6)=2x(6『+2x(#)x“-5=-6,

解得：“=不合題意’舍去：

當(dāng)一正<-'<小、-2石<a<2石時(shí)，

函數(shù)的最小侑.為：g(一])=2x[—+2x(-]]xa—5=-6.

解得：?=±>/2.滿足題意.

故答案為：土.

28.(2019?福建?高三競(jìng)賽)在△AAC中，若AC=",4?=2,且

J3sin4+cos45兀,

-r------------二tan—,m則r“C=______________

V3cos4-sinA12

【答案】[

【解析】

【詳解】

r.2sinf/l+-]

；J3sin4+cosA5”—16J5左

1H-A------------=ian—.奇-----7-----v=tan——，

j3ccs4-sinA122cos,+：)12

即tan(A+工]=tan包，所以二'+4兀，keZ.

I6J12612

結(jié)合0<4