高中數(shù)學(xué)競賽真題8立體幾何（學(xué)生版+解析版50題）

競賽專題8立體幾何

（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

1.（2018?四川?高三競賽）在三棱錐戶-A8c中，三條棱幺、PB、戶C兩兩垂直，且

24=1、戶8=2、PC=2.若點(diǎn)。為三棱錐戶-A8c的外接球球面上任意一點(diǎn)，則Q到面

ABC距離的最大值為.

2.（2018?遼寧?高三競賽）四面體ABCD中，已知4?=2,

AD=-.?C=8.CD=-,則異面直線AC與BD所成角的正弦值是.

22

3.（2018?湖南?高三競賽）四個半徑都為】的球放在水平桌面上，且相鄰的球都相切

（球心的連線構(gòu)成正方形）.有一個正方體，其下底與桌面重合，上底的四個頂點(diǎn)都分

別與四個球剛好接觸，則該正方體的棱長為

4.（2018?湖南高三競賽）在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接網(wǎng)柱，則內(nèi)接圓柱全面積的最大值

是.

5.（2018?湖南?高三競賽）正方體〃中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC,的中

點(diǎn).異面直線EF與AQ所成角的余弦值是.

6.（2020?江蘇?高三競賽）在長方體AACD-A4CQ中，A8=4,BC=CC、=2叵,

M是8G的中點(diǎn)，N是MG的中點(diǎn).若異面直線AN與C仞所成的角為0,距離為

d，則2?2,dsin6=

7.（2021?全國?高三競賽）已知一個正四面體和一個正八面體的核長相等，把它們拼接

起來，使一個表面重合，所得多面體的有面數(shù).

8.（2018?全國高三競賽）在三棱錐P-ABC中，PA=PB=4,PC=3,NAPB=/APC

=60。，NBPC=90。.則三極錐P-ABC的體積為?

9.（2018?全國?高三競賽）已知長方體/WCD-AAG〃的長、寬、高分別為1、2、

3,/,為平面A/O內(nèi)的一點(diǎn)，則4,長的最小值為

10.（2021?全國高三競賽）已知三棱錐A-8c。的三個側(cè)面及底面的面積分別為5、

12、13、15,且側(cè)面的斜高相等，則三棱錐的體積為

11,（2020?浙江?高三競賽）如圖所示，在單位正方體匕有甲、乙兩個動點(diǎn)，甲從戶點(diǎn)

勻速朝/，'移動：乙從Q點(diǎn)勻速出發(fā)朝。'移動，到達(dá)。'后速度保持不變并折返.現(xiàn)甲、

乙同時出發(fā),當(dāng)甲到達(dá)發(fā)時,乙恰好在到達(dá)。'后折返到Q,則在此過程中，甲、乙兩

點(diǎn)的最近距離為

12.（2021?全國?高三競賽）在帔長為3的正方體A8CO-A4G2上，點(diǎn)〃為A8中

點(diǎn)，從點(diǎn)尸發(fā)出的光線經(jīng)側(cè)面8CG4內(nèi)部（不含邊界）一點(diǎn)。反射后投射到側(cè)面

DCgR內(nèi)部（不含邊界），則滿足條件的點(diǎn)。所組成區(qū)域的面積為

13.（202L全國高三競賽）已知正三棱錐P-A8C而為2,底面邊長為3，現(xiàn)在將三棱

錐切去一部分，得到一個頂點(diǎn)為P,底面在&A8c內(nèi)的正四梭錐，則該四棱錐的體積

最大為

14.（2021?全國面三競賽）正四面體A8C。中，點(diǎn)G為面A8c的中心，點(diǎn)加在線段

DG上，且tanZAM8=-拽L則

5

15.（2021?全國兩三竟賽）A、B、C、。是半徑為I的球面上的4個點(diǎn)，若

AB=CD=[,則四面體A8CD體積的最大值是一.

16.（2021?全國兩三競賽）已知三棱錐S-A8c的底面A8C為正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面

S8C上的射影4是△58c的垂心，二面角4-A8-C的大小為30°,且"=2,則此

三棱錐的體積為

17.（2021.全國?高三競賽）如圖,已知正方體A8C。-A4GL的極長為2,尸為空間

一點(diǎn)，且滿足A/J_A4,4P4=NAO4,則4P的最小值為

18.（2021?全國?高三競賽）四面體A8C7）中，

CD.LBC,AB1HC.CD=AC,AB=BC=],平面8co與平面A8c成45°的二面角，則

點(diǎn)4到平面AC3的距離為

19.（2021?全國?高三竟賽）已知正三棱錐P-A8C,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn),

PB.LAM.若N是A例的中點(diǎn)，則異面直線8/V與Pt所成角的余弦值為.

20.（2021?全國?高三競賽）正方體A8CQ-A8C。中，P是線段AC上一點(diǎn)，平面

PAB與底面ABCD的夾用為a,平面p8c與底面A8co的夾角為夕，則tan（a+4）的

最小值為.

21.（2021.全國.高三競賽）在三棱錐P-A8c中，

則這個三棱徘的體積為

22.（2021?全國,高三競賽）在三棱錐P-A8c中，2c=6,CA=8,A8=10.若三側(cè)面

與頂面所成二面角均為45。，則三棱錐P-A8c的體積為

23.（2021.全國.高三競賽）已知正方形A8co上是邊A3的中點(diǎn).將4K和AC龐

分別沿。"和CE折起，使得A6與的重合.記A與3重臺后的點(diǎn)為凡則平面。CO與

平面ECD所成的二面角的大小為.

24.（2021?全國?高三競賽）在菱形4?。）中，乙4=6（）。,A8=,將△A3。折起到

△P8O的位置，若三棱錐P-8c。的外接球的體積為也，則二面角2-8。-C的

6

正弦值為

25.（2021?全國?高三競賽）如圖，樓長為I的正四面體S-A8C的底面在平面a上，

現(xiàn)將正四面體繞棱8c逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線SA與平面々第一次成30。角時，點(diǎn)A到平

面a的距離為.

7人

26.（2019?江西?高三競賽）P是正四棱錐丫一/WC。的高K4的中點(diǎn)若點(diǎn)夕到側(cè)面的距

離為3,到底面的距離為5,則該正四棱錐的體積為_____________

27.（2019?吉林?高三競賽）己知三棱銖P-/WC的四個頂點(diǎn)在球。的球面上，

M=PB=PC,△A8C是邊長為2的正三角形,￡產(chǎn)分別是AC、8c的中點(diǎn),

NEPF=60,則球。的表面積為

28.（2019?上海,島三競賽）邊長為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可以圍成

一個正四棱錐，則此正四棱錐的體積最大值為.

29.（2018?甘肅??高三競賽）已知空間四點(diǎn)A,8,三。滿足

ABLAC,AB^,AD.AC.LAD,且A8=AC=A。=1.Q是三棱錐A-8CO的外接球上

的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)。到平面BCD的最大距離是.

3（）.（2018?天津?高三競賽）半徑分別為6、6、6、7的四個球兩兩外切.它們都內(nèi)切于

一個大球，則大球的半徑是

31.（2018?河南?高三競賽）一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小

正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動.則小正四面體棱長的最大值為.

32.（2018?河北?高三競賽）已知棱長曲的正方體內(nèi)部有一圓柱,此

圓柱恰好以直線AG為軸，則該圓柱體枳的最大值為.

33.（2018?河北?高二競賽〉若△A&A,的三邊長分別為8、10、12,三條邊的中點(diǎn)分別

是B、C、D,將三個中點(diǎn)兩兩連結(jié)得到三條中位線，此時所得圖形是三棱錐A-BCD

的平面展開圖，則此三棱錐的外接球的表面積是.

34.（2018?江西?高三競賽）四棱錐尸-A8CO的底面A8CQ是一個頂角為60。的菱形，

每個側(cè)面與底面的夾角都是60。，棱銖內(nèi)有一點(diǎn)M到底面及各側(cè)面的距離皆為I,則

棱錐的體積為.

35.（2018?福建?高三競賽）如圖，在三棱錐尸-48C中，△PAC、“8C都是邊長為6

的等邊三角形.若二面向P-AC-8的大小為12?。，則三棱鋸尸-A8c的外接球的面

積為.

P

36.（2018?全國?高三競賽）在正方體4昭。-A4CQ中，已知棱長為1,點(diǎn)E在AR

上，點(diǎn)F在CD上，4I￡=2EDI,。尸=2FC.則三棱錐8-在弓的體枳為

37.（2019?全國?高三競賽）已知四面體ABCD的四個面

AD8C、ADC4、A￡）A8、AA8C的面積分別為12、21、28、37,頂點(diǎn)D到面AA8C的

距離為h.則h=

38.（2018?全國,高三競賽）在四面體ABCD中，己知NA/）B=NBDC=NCDA=%,

3

△ADB.ABDC、ACDA的面枳分別為更、2.1.則此四面體體積為.

2

39.（2018?全國?高三競賽）在金屬絲制作的3x4x7的長方體框架中放置一個球，則該

球的半徑的最大值為.

40.（2018?安徽?高三競賽）在邊長為I的長方體內(nèi)部有一小球，該小

球與正方體的對角線段AC,相切，則小球半徑的最大值=.

41.（2021,全國?高三競賽）把半徑為1的4個小球裝入一個大球內(nèi)，則此大球的半徑

的最小值為

42.（2019?浙江高三競賽）如圖，在△A8C中，/48c=120。，A/S=8C=2.在AC邊上取

一點(diǎn)/）（不含八、C）,將△43”沿線段8。折起，得到△P/3D當(dāng)平面P8/）垂直平面/WC

時，則P到平面A8C距離的坡大值為_____________

43.（2019?貴州高三競賽）若半徑0=2+#皿的空心球內(nèi)部裝有四個半徑為，?的實(shí)心

球，則，所能取得的最大值為c"j

44.（2019.四川?高三競賽）己知正四核錐「的高為3,側(cè)面與底面所成角為先在「

內(nèi)放入一個內(nèi)切球O」,然后依次放入球。?…，使得后放入的各球均與前一個

球及「的四個側(cè)面均相切，則放入所有球的體積之和為.

45.（2019?山東.高三競賽）空間有4個點(diǎn)4、13、C、D,滿足｛8=8C=C。.若

NABC=//，0）=/。）人=36°,那么直:線人C與直線4”所成角的大小是.

46.（2019.重慶?高三競賽）已知正四面體可容納10個半徑為I的小球則正四面體棱氏

的最小值為

二、解答題

47.（2019.甘瑞?高三競賽）已知三棱錐/一人8。的平面展開圖中，四邊形ABCQ為邊

長等于2點(diǎn)的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐產(chǎn)一A8C中：

（I）證明:平面削CL平面A8C；

PM

（2）若點(diǎn)M為棱加上一點(diǎn)且—=\I求二面角P-BC-M的余弦值.

MA2

48.（2018?廣東?高三競賽》如圖①，已知矩形ABCD滿足AB=5,人C="I,沿平行

于AD的線段即向上翻折（點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動），得到

如圖②所示的三核柱ABE-DCF.

⑴若圖②中△ABG是直角三角形，這里G是線段EF上的點(diǎn)，試求線段EG的長度x

的取值范圍：

⑵若⑴中EG的氏度為取值范圍內(nèi)的最大整數(shù)，且線段AB的長度取得最小值，求二

面角C-EF-〃的值：

⑶在⑴與⑵的條件都滿足的情況下，求三棱錐A-BFG的體積.

49.（2021?全國?高三競賽）空間中的“個點(diǎn),其中任何三點(diǎn)不共線，把它們分成點(diǎn)數(shù)

互不相同的也組（〃>〃|N3）,且，”位,2m,在任何三個不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)

作三角形，要使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)是多少？

50.（2021.全國商三競賽）證明：如下構(gòu)造的空間曲線「的任意五等分點(diǎn)組都不在同

一球面上，曲線「的構(gòu)造：作周長為/的圓。，在圓。上取A"心使5<4,用的長度

2

<-/.并以A8為軸將4〃8旋轉(zhuǎn)180°得弧A，〃8，在圓。上取8"C，使4”8的長度

2

+8”C的長度<不，并以8。為軸將加。旋轉(zhuǎn)，度（0°<。<18?！悖┑没∫云撸@樣，由

弧&8〃C、、CM組成的曲線便是空間llh線.（如圖所示）

競賽專題8立體幾何

（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

I.（2018411川高三競賽）在三棱銖P-A8C中，三條棱尸A、PB、PC兩兩垂直，且

PA=1、PB=2、PC=2.若點(diǎn)Q為三棱錐P-ABC的外接球球面上任意一點(diǎn)，則Q到面

A8C距離的最大值為.

【答案】之+必

26

【解析】

【詳解】

三棱錐P-48c的外接球就是以以、PB、PC為長、寬、高的長方體的外接球，其直

徑為

2R=y/\'+21+22=3.

又cosN8AC=：,從而sinN8AC=2^,于是.A43C的外接圓半徑為

55

BC56

’2sinZ/MC6

故球心。制A8C面的距離為=7=亞.

6

從而，點(diǎn)Q到面A8C距離的圾大值是三+它.

26

故答案為之+或

26

2.（2018?遼寧?高三競賽）四面體ABCD中，已知A/?=2,

11io

AO=U,8C=8,CO=，,則異面宜線AC與BD所成角的正弦值是____.

22

【答案】I

【解析】

【詳解】

因?yàn)镠C2-AB2=82-2:=10x6CD2-AD2,故AC-L8D,因此異面

囪線AC與BD所成角的正弦值是I.

故答案為I

3.（2018?湖南?高三競賽）四個半徑都為1的球放在水平桌面上，且相鄰的球都相切

（球心的連線構(gòu)成正方形）.有一個正方體，其下底與桌面重合，上底的四個頂點(diǎn)都分

別與四個球剛好接觸，則該正方體的棱長為

【答案】。4

【解析】

【詳解】

設(shè)正方體的楂長為a，上底為正方形ABCD,中心為。,則OA=」Z〃.由對稱性知，球

2

心。?在面ABCD上的射影M應(yīng)在直線AC或BD上，IL球。?與鄰球的切點(diǎn)P在面

ABCD卜.的射影N在過點(diǎn)0且平行AB的內(nèi)線匕于是

丘MN=QM=0A+AM.

又qA/=1-“,則AM=^O,AZ-O,M:=，從而

V1=W”+.

整理得3/_8a+4=0,解得“二：.或a=2(舍去).故a=q.

2

故答案為“=。

4.(2018?湖南?高三競賽)在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接圓柱，則內(nèi)接圓柱全面積的最大值

是.

【答案】萬內(nèi)(1+6)

【解析】

【詳解】

設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為Rsina，則高位2Rcosa.

那么全面枳為2乃(Rsina)-+2兀Rsinax2Rcosa

=2TTR'(sin'Gf+sin2arj

=不A?(1—cos2a+2sin2a)

=萬川[】+6"R(2a-°)]4乃川(l+6).

其中網(wǎng)*=；,等號成立的條件是2a=p+1.

故最大值為萬/(1+6).

故答案為“*(1+6)

5.(2018?湖南福三競賽)正方體A8CO-A4G。中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC,的中

點(diǎn).異面直線EF與AR所成角的余弦值是,

【答案】各巨

3

【解析】

【詳解】

設(shè)正方體棱長為I,以DA為x軸，DC為y軸，。叫為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

￡0,別,《0,1，3A(1.0,1)<(01，1).

一(11、——

故有所=「1；,2常(;=(z-1,1,1).

京西=2丘

所以加姆二國西二『

故答案為逮

3

6.（2020?江蘇?高三競賽）在長方體A8CO-入4GA中A3=4，?C=CC1=2>/2,

M是8G的中點(diǎn)，N是MR的中點(diǎn).若異面直線AN與CW所成的角為。，距離為

d,則2020"sin6=

【答案】1616

【解析】

【詳解】

因?yàn)镃ML8G，故。=90。.

過點(diǎn)M作ME_LAN于點(diǎn)E,!!!ljME1CM,故d=ME.

因?yàn)锳8=4.*/V=3.所以AN=5,則d=ME=MNsinNAN8=g,從而可得

20204sin6=1616.

ClDiG

題圖解析圖

故答案為：1616.

7.（2021?全國?而三競賽）已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等，把它們拼接

起來,使一個表面重合，所得多面體的有面數(shù).

【答案】7個

【解析】

【詳解】

計兌可得正四面體的兩個相切的半平面的二面角的余弦值為1.

正八面體的兩個相鄰的半平面《兩個四棱鏈共底面的邊的兩個半平面）的二面角的余

弦值為-g.

故所得多面體的布7個面，

故答案為：7.

8.（2018?全國?高三競賽）在三棱錐P-ABC中，PA=PB=4,PC=3,NAPB=NAPC

=60。，NBPC=90。.則三棱椎P-ABC的體積為?

【答案】4叵

【解析】

【詳解】

如圖，過點(diǎn)A作AH.L面PBC于點(diǎn)H,過H作HD_LPB于點(diǎn)I）、HE_LPC于點(diǎn)E

由NAPB=NAPC=60°及PA=4,知

PD=PE=2.

從而，PH為NBPC的平分線，即

ZDPH=45°

則，PH=?>D=20

AH=-JPA--PH2=20?

故三楂錐P-ABC的體積為

卜，￡叱=46.

9.（201&全國?高三競賽）已知長方體A8CO-A4。。的長、寬、高分別為1、2、

3./，為平面A/。內(nèi)的一點(diǎn)，則加>長的最小值為

【答案】y

【解析】

【詳解】

注意到，AP長最小當(dāng)且僅當(dāng)4"，而A，，）.

此時，由V國札=V…削=>AP=的.

曷、即

由勾股定理得人。=正./\4=Ji6,BD=A.

則cos//3AD=nsinZBAD—“五-

1010

從而，5&\她=3

故人匕卷.

1（）.（2021.全國高三竟賽）已知三棱錐A-8CO的三個側(cè)面及底面的面積分別為5、

12、13、15,且側(cè)面的斜高相等，則三棱錐的體積為

【答案】5#

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)斜高為八，則8C=W,S=心-8=卷.

hhh

從而△8CZ）為宜角：角形，故15=Sg產(chǎn)??？空.得人=2點(diǎn).

*2nh

設(shè)三棱錐的高為AH，由斜高相等知H為△88的內(nèi)心.

由于內(nèi)切圓半徑片造器而=&'

故前AH—\Jh2->'2=庭,體枳為1#■15=5瓜.

故答案為：5&

II.（2020.浙江高三競賽）如圖所示，在單位正方體上有甲、乙兩個動點(diǎn)，甲從a點(diǎn)

勻速朝/，'移動；乙從。點(diǎn)勻速出發(fā)朝Q'移動，到達(dá)0'后速度保持不變并折返.現(xiàn)甲、

乙同時出發(fā)，當(dāng)中到達(dá)〃時，乙恰好在到達(dá)。'后折返到。，則在此過程中，甲、乙兩

點(diǎn)的最近距離為

【答案】華

【解析】

【詳解】

設(shè)甲、乙的速度分別為4、匕，在此過程中，—.RP2v,=^.

9匕

不妨設(shè)彩=2,則總的時間為1.

設(shè)在時間為外末,甲、乙之間的距離最短，即此時/>、。分別達(dá)到M、N點(diǎn).

分兩種情況討論：路程前半程與路程后半程.

（1）路程前半程：%e0.1，則QN=2/?,PM=瓜、,MH=/0.PH=飆,

2

QH=\+2t--2tu,進(jìn)而有+一§故MN2當(dāng)（當(dāng)且

僅當(dāng)。=：時取等號）.

（2）路程后半程：4,e^,1,則QN=2（"%）.PM=氐,MH=tu.PH=?,

QH2=\+2t--2t?,進(jìn)而有MN?=1喏-14/O+5=111，O-A）+寺24，故例N2坐

（當(dāng)比僅當(dāng)乙,=（■時取等號）.

因?yàn)榍摇地?，所以在此過程中,甲、乙兩點(diǎn)的最近距離為巫.

12.（2021?全國?高三競賽）在校長為3的正方體ASC'O-A/C。上,點(diǎn)〃為A8中

點(diǎn)，從點(diǎn)尸發(fā)出的光線經(jīng)側(cè)面8CG4內(nèi)部（不含邊界）一點(diǎn)0反射后投射到側(cè)面

DC￡4內(nèi)部（不含邊界），則滿足條件的點(diǎn)Q所組成區(qū)域的面枳為

【答案】4

【解析】

【詳解】

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于8的對稱點(diǎn)為片，

以R為頂點(diǎn).以。CG4為底面，作四極椎片-OCG4，

該四棱錐與側(cè)面BCC./y,的橫面即為滿足條件的區(qū)域.

該梯形的面積為4.

故答案為:4.

13.（2021?全國?高三競賽）已知正三棱錐戶-A8c高為2,底面邊長為3,現(xiàn)在將三棱

徒切去一部分，得到一個頂點(diǎn)為P,底面在AA8c內(nèi)的正四楂錐，則該四棱錐的體積

最大為

【答案】8-4班

【解析】

【詳解】

作圖可知該四極惟底邊邊長最大為3-6，

從而可得相應(yīng)的體枳為8-4赤.

故答案為：8-473.

14.（2021?全國?富三競賽）正四面體A8C。中，點(diǎn)G為面A8C的中心，點(diǎn)例在線段

3同兩

DG上，且tanZAMB=-3一,則—=.

II

【答案】I

O

【解析】

【詳解】

解析：設(shè)AM=8M=.t,A8=l,由余弦定理得x=逗、I1AG=G8=^,

83

則GM=JAM、AG）=亞.

24

.—!瓜瓜

而左="所以篙

3\DG\星8

T

故答案為：

O

15.（2021?全國?高三競賽）A、B、C、/）是半徑為1的球面上的4個點(diǎn)，若

A8=CO=1,則四面體A8C7）體積的最大值是

【答案】B

6

【解析】

【詳解】

設(shè)A8與C。間的距離為d,夾殆為。.

取AB中點(diǎn)M和CO中點(diǎn)N,則d4MN4OM、ON=幣,

故四面體體枳V=LAS.QBd.sin。4蟲.當(dāng)ABLCD且其中點(diǎn)連線過球心時等號成

66

立.

故答案為：也.

6

16.（2021?全國高三競賽）已知三棱錐S-A8C的底面A8C為正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面

S8C上的射影”是△$8c的垂心，二面角”-A8-C的大小為30°,且必=2,則此

三棱銖的體積為

【答案】43

【解析】

【分析】

【詳解】

由點(diǎn)4在側(cè)面S8C卜.的射影，是△S8C的垂心，知三棱銖S-A8c的三組對核互相垂

IX.從而點(diǎn)5在底面48c上的射影也是AA8C的垂心Q.

乂AABC為正三知形,所以垂心Q為AA8C的中心.則三棱錐S-4JC是正三棱錐.

延長BH交SC于點(diǎn)E,則二面角E-AB-C的大小為30°.

乂ASA84SBC,得AE=BE,取A8的中點(diǎn)D則易證NEOC為二面角E-A8-C

的平面角，ECLED（SCI平面AHB）.

設(shè)8c=“，則）CD=C￡=,^?=—.有.

244

3

從而三棱錐S—A8C的體枳為二.

4

故答案為：＜3

4

17.（2021?全國?高三競賽）如圖，已知正方體A8CO-A4C；〃的棱長為2,尸為空間

一點(diǎn)，且滿足4/，48“乙4尸4=/4。4，則"P的爆小值為

AB

【答案】舟""

【解析】

【分析】

【詳解】

先不看條件ApJLA8,,只關(guān)注4Pq=NADB、,即ZAPli,為定角.

若P點(diǎn)在平面ABQ）上，則如圖2所示，此時有NAP&=NADBi可知，P在以AQ為

直徑的圓弧4）8,匕

那么在任意一個過直線的平面上，尸點(diǎn)均為類似地一段圓弧.

故，點(diǎn)的軌跡即圓弧A。與繞旋轉(zhuǎn)形成的一個曲面「（蘋果加面）.

再由4PL44知.P在過A且垂立于A4的垂面，即平面A4C7）,上.

故P為平面，\8cg截曲面「所得的曲線,即圖3所示的ISO,

故易知。產(chǎn)的最小值為OP-OR,IIP73+1-76.

故答案為：&+瓜.

18.（2021?全國高三競賽）四面體A3C7）中,

CD1BC,AH1liC.CD=AC,Ali=BC=\,平面88與平面ABC成45°的二面角，則

點(diǎn)8到平面AC7）的距離為

【答案】叵

3

【解析】

【分析】

【詳解】

DC=AC=丘,作/非JL平面A8C,垂足為￡,連結(jié)C￡、AE.

山三垂線逆定理，EC.LBC.所以N/XE=45。，

故CE=DE=§DC=%“=|DE'=1.

Z5O

乂因A8C芯為正方形，AE=1,則4。=應(yīng)，

因此正二角形ACD的面枳為走，

2

設(shè)8到平面ACD的距離為八，由得"=中.

363

故答案為：昱.

3

19.(2021.全國?離三競賽)已知正三棱令P-A8C,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn),

PBJ,AM,若N是AM的中點(diǎn)，則異面直線8N與所成角的余弦值為.

【答案】2叵

21

【解析】

【分析】

【詳解】

易證外、PB、PC互相垂直.以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以戶8、PC、陽所在的在線為

."「、z軸建立空間也加坐標(biāo)系.

設(shè)PA=PB=PC=1,則.4(0,0,1),C(0.1,0),8(1,0,0)、M(0,則,心號),

所以8M=或=(0.0.1),

______2

“BN,PA_2_2&T

明麗H西：*巨-21°

故答案為：可紅.

21

20.(2021?全國?高三競賽)正方體A8CO-A4CQ中，P是線段A?上一點(diǎn)，平面

與底面A13CD的夾知為a,平面PBC與底面ABCO的夾角為尸，則tan(?+力)的

最小值為

【答案】-y

【解析】

【分析】

【詳解】

過戶作平面A8CO,垂足為＜：過R作4M.LA8,乖足為“，作RN.L8C,

垂足為M

Di

易知a==設(shè)正方體的校長為1,P.M=.v,^V=v,

則十+y=Liana=一,⑶】"=—.

tana+(an^_4+)'4

tan(a+/?)=

1-tancrtanfl.v)?-13,

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=「忖等4成立，所以tan（a+m的最小價為一大.

4

故答案為：-g.

21.（2021全國?高三競賽）在三棱錐P-A8c中,

AP=BC=7,BP=CA=&C7,=A8=9,則這個三棱錐的體積為

【答案】16后

【解析】

【分析】

【詳解】

可以把這個三棱錐嵌人到一個長寬高分別為4、后,4外長方體中，使其六條極分別為

K方體六個面的面對角線，

廣是棱銖的體積恰為長方體的;，即gx4x后x4出=160T.

故答案為：i6jrr.

22.（2021.全國.高三競賽）在三棱錐P-ABC中，8c=6.CA=8M8=10.若三側(cè)面

與頂面所成二面角均為45。，則三棱錐P-ABC的體積為

【答案】16

【解析】

【分析】

【詳解】

作POL平面A8C,垂足為。，作8co￡」CAOP」A8,垂足分別為

1E、F.

設(shè)OP=h,則NPDO=APEO=ZPFO=45°,OD=OE=OF=hcot450=/?.

在AASC中，有68+8OE+160尸=2S”水.=48,解得力=2.

故V=，S“wc=gx2x24=l6.

故答案為：16.

23.（202卜全國兩三競賽）已知正方形AGCDE是邊A8的中點(diǎn).將△以￡和

分別沿QE和CE折起，使得A?與8E重合.記A與5重合后的點(diǎn)為P,則平面PC。

與平面E8所成的二面角的大小為

【答案】XP

【解析】

【分析】

【詳解】

△PCO中，PC=PD=CD.故/PC。=60°.

?

△PCE中，cesZPCE=-^

△CDE中,cosZDCE=~^=.

設(shè)二面角P-CD-E大小為0.對三面角C-POE應(yīng)用三面角余弦定理，得：

_2__2J_

ccosZPCE-cosZPCDcosZECD忑F飛&

sinZPCDsinZECD小2~T'

-45

即。=3T.

故答案為：30°.

24.（2021?全國?高三競賽）在菱形A8CO中，NA=6（）。,A8=6，將△A3。折起到

△PBD的位置,若三棱錐P—88的外接球的體枳為也，則二面角P—BD-C的

6

正弦值為

【答案】昱

2

【解析】

【分析】

【詳解】

由外接球的體枳為也，則該球的半徑出=也，

62

設(shè)球心。在平面PHD和平面8c。上的射影分別為Q、O2，則*O2為正4PBD和正

△8C。的中心，

取8。的中點(diǎn)E,連結(jié)?！辍?2E,則q￡JL3DO2￡_L8。，

則N?是二面角P-8。-C的平面角.

在朋A。。夕中，0C=R=4,O￡=￡AB=1,則。。小專，

又在直角AOQ￡中，，則/。2￡0=60。/0或。2=120。.

則二面角P-3。一C的正弦值為由.

2

故答案為：立.

2

25.(202卜全國兩三競賽)如圖.棱長為I的正四面體S-A3C的底而在平面a上，

現(xiàn)將正四面體繞棱8C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)宜線SA與平面a第一次成30°角時，點(diǎn)4到平

而a的距離為.

【答案】選二1

4

【解析】

【分析】

【詳解】

取3c的中點(diǎn)。，折疊后A在平面a內(nèi)的射影為E,則

NAOE=/S4D-30°,

sinZADE=sin(/.SAD-30。)

花I

故答案為:一―--.

4

26.(2019?江西高三競賽)戶是正四棱錐丫一/WC。的高的中點(diǎn)若點(diǎn)P到側(cè)面的距

離為3,到底面的距離為5,則該正四棱錐的體積為

【答案】750

【解析】

【詳解】

如圖所示，PFJffiVBC.VP=5,W/=1().VF=W*PN=J5?_3二=4.

而PH例尸共圓，VP-VH=VF-VM,所以WW=",HM-VH2=—.

22

則A8=15.

所以正四極錐的體枳V=LVW?AB?=750.

3

故答案為：750.

27.(2()19?吉林?高三競賽)己知三棱錐P-A8c的四個頂點(diǎn)在球。的球面上，

PA=PB=PC,△/?8c是邊長為2的正三角形，E、F分別居AC、8c的中點(diǎn)，

NEPF=60.則球。的表面積為

【答案】6M

【解析】

【詳解】

由于/M/3C為正三棱錐，故砂=尸。，從而AEPF為等邊三加形，上I.邊長防=1.

由此可知側(cè)面PAC的高PE=I,故校長PA=應(yīng).

還原成棱長為及的正方體可知，

P.ABC的外接球的苴徑長恰為正方體的體對用線長卡.

從而表面積為6萬.

故答案為：67r.

28.(2019?上海上三競賽)邊長為2的正方形,經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可以圉成

一個正四棱錐，則此正四棱錐的體積最大值為

164

【答案】

375

【解析】

【詳解】

設(shè)圍成的正四極錐為P-ABCD.P0為四極錐的高作OEt.BC,垂足為E,連結(jié)PE.令

OE=x.則〃=1一%PO=Vl-2-v.

于是正四棱錐PABCD的體枳為V=?(2.1)工六二17.

所以已卷.”(1-2.0嚕2,⑶(l-2x)

xxxx,

一+—+—+—+1—2工

2562222256

“丁5"9x55'

故V”生叵.當(dāng)X=3時等號成立所以正四棱錐體枳的最大值為魴叵.

375、375

故答案為：如叵.

375

29.(201&甘山?高三競賽)已知空間四點(diǎn)A,8,C。滿足

AB.LAC.AB.LAD.AC.LAD,且A8=AC=AO=1,Q是三極錐A-BCD的外接球上

的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)。到平面BCD的最大距離是

【答案】獨(dú)

3

【解析】

【詳解】

將三棱錐A-8c。補(bǔ)全為正方體，則兩者的外接球相同.球心就是正方體的中心，記

為。，半徑為正方體對角線的一半，即為遭.

2

在正方體里,可求得點(diǎn)。到平面8c。的距離為息,則點(diǎn)。到平面88的最大距離是

6

73&2>/3

T+~6^^~,

30.(2018?天津高三競賽)半徑分別為6、6、6、7的四個球兩兩外切.它們都內(nèi)切于

一個大球，則大球的半徑是

【答案】14

【解析】

【詳解】

設(shè)四個球的球心分別為A、B.C、D.則AB=BC=CA=I2,DA=DB=DC=13,

即A、B、C、D兩兩連結(jié)可構(gòu)成正三棱錐.

設(shè)待求的球心為X,半徑為r.,則由對稱性可知DX.JL平面ABC.

也就是說，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心0.

易知0八=46，OD=yjDA'_04-=11.

設(shè)0X=x,WOAX=>JOX-+O^=V.V2+48

由于球A內(nèi)切于球X,所以AX=r-6

即yjx2+48=r-6,'

乂DX=OD-OX=Il-x,且由球D內(nèi)切于球X可知DX=r-7

于是||-.r=-7②

從①@兩式可解得.r=4,r=14

即大球的半徑為14.

故答案為14

31.（2018?河南?島三竟賽）一個校長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小

正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體校長的最大值為.

【答案】2

【解析】

【詳解】

因?yàn)樾≌拿骟w可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動.

所以小正四面體的棱長最大時，為大正四面體內(nèi)切球的內(nèi)接正四面體.

記大正四面體的外接球半徑為R，小正四面體的外接球（大正四面體的內(nèi)切球）半徑

為r,

易知r=g/?,故小正四面體極長的最大值為gx6=2.

32.（2018?河北?高三競賽）已知極長6的正方體A3CO-A4CQ,內(nèi)部有一圓柱，此

圓柱恰好以直線AQ為軸，則該圓柱體枳的最大值為____.

【答案】y

【解析】

【詳解】

山題意知只需考慮圓柱的底面與正方體的衣面相切的情況.山圖形的對稱性可知,圓柱

的上底面必與過A點(diǎn)的二個面相切，且切點(diǎn)分別在Aq、AC、A&上.設(shè)線段A片上的

切點(diǎn)為E,圓柱上底面中心為0-半徑。也=，?.由AAQESAABG得aq=應(yīng)廠，則圓

柱的高為3-2月。=3-2&八V=^r（3-272/）,由導(dǎo)數(shù)法或均值不等式得V；M='.

33.（2018?河北?高二競賽）若△A&A,的三邊長分別為8、10、12,三條邊的中點(diǎn)分別

是B、C、D,將三個中點(diǎn)兩兩連結(jié)得到三條中位線，此時所得圖形是三棱錐A-BCD

的平面展開圖，則此三棱錐的外接球的農(nóng)面積是.

【答案】子

【解析】

【詳解】

由已知.四面體A-BCD的三組對棱的長分別是4、5、6.構(gòu)造長方體使其面對角線長分

別為4、5、6.設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z.外接球半徑為R，則

X2+y2=4-

x2+z2=52,得（2/?）2=.「+）；!+22=二,故/?2=3.所以S=32.

22282

+產(chǎn)=6

34.（2018?江西?高三競賽）四棱錐P-A8c。的底面A8C0是一個頂角為60。的菱形，

每個側(cè)面與底面的夾角都是60。，棱錐內(nèi)有一點(diǎn)”到底面及各側(cè)面的距離皆為1,則

棱錐的體積為.

【答案】8代

【解析】

【詳解】

設(shè)菱形兩對知線AC、3。的交點(diǎn)為〃,則PH既是線段AC的中垂紋,乂是8。的中

垂線，故是四棱錐的高.且點(diǎn)可在P"上，于是平面P8。與底面A8CC垂直，同理平

面幺C與與底面A8C3垂直，平面P8O將四棱錐分成兩個等積的四面體.

只需考慮四面體P-A8/）.如圖，設(shè)點(diǎn)M在面幺。上的投影為￡,平面ME"過點(diǎn)

戶,且交A。于尸.

因4fHF=8°=ZMEF,則M、E、尸、〃四點(diǎn)共網(wǎng).

由于A/EJL面PA。，得M￡J_A。，由JL面A/?。，得

所以4。_1面/加，故AD工PF.

FH是PF在面A8/)內(nèi)的射影.則AD.LFH,

即二面角的平面角2EFH=6T,于是ZEMH=120°.

據(jù)ME=MH=1.得￡〃="，故直線二角形MKF與MHF中，EF=HF.

因NE/H=60°,所以△￡"/是正三角形，即尸〃=￡F=E〃=VL

在直角AA/77中，Z?4F=3O°.則4"=2/”=26.

故正AA8。的邊長為4,于是Sa,=4逝.

在直線APF”中，PH=FMan600=3,VP.,UIO=^PHS^lil)=4>/3.

從而Yp_Allil)=2VPwl)=S>j3.

故答案為86

35.(2018.福建俗三競賽)如圖，在三棱錐P-A8C中，APAC、，8C都是邊長為

6的等邊三角形.若二面角P-AC-8的大小為120°,則三棱錐P-ABC的外接球的面

積為.

【答案】84K

【解析】

【詳解】

如圖，取AC的中點(diǎn)。，連結(jié)。尸、08,則由△/%<?、AABC都是邊長為6的等邊三

角形，得PD.LAC,BD1AC./")/?為二面角P-AC-8的平面角，

NPDB=T2伊.

O

設(shè)。為三棱惟的外接球的球心，6、Q分別為△4JC、△%(7的中心.

則OQJ■而A8C,。。2，面而。，且。2。=?。=(—

00