(江蘇)高考數(shù)學(xué)-壓軸大題突破練-圓錐曲線

中檔大題規(guī)X練一一圓錐曲線1.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為<2,0>,實(shí)半軸長(zhǎng)為錯(cuò)誤!.<1>求雙曲線C的方程；<2>若直線l：y=kx+錯(cuò)誤!與雙曲線C的左支交于A,B兩點(diǎn),求k的取值X圍；<3>在<2>的條件下,線段AB的垂直平分線10與V軸交于M<0,b>,求b的取值X圍.解<1>設(shè)雙曲線方程為錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!=1<a>0,b>0>,由已知,得a=錯(cuò)誤!,c=2,b2=c2—a2=1,故雙曲線方程為錯(cuò)誤!一y2=1.<2>設(shè)A<xA,yA>,B<xB,yB>,將y=kx+錯(cuò)誤!代入錯(cuò)誤!一y2=1,得<1—3k2>x2—6錯(cuò)誤!kx—9=0.由題意,知錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!<k<1.所以當(dāng)錯(cuò)誤!<k<1時(shí),直線1與雙曲線C的左支有兩個(gè)交點(diǎn).<3>由<2>,得xA+xB=錯(cuò)誤!，所以yA+yB=<kxA+錯(cuò)誤!>+<kxB+錯(cuò)誤!>=k<xA+xB>+2錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，所以AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為錯(cuò)誤!.設(shè)10的方程為y=—錯(cuò)誤!x+b,將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入10的方程,得b=錯(cuò)誤!，?「錯(cuò)誤!<k<1,??.一2<1—3k2<0,.?b<—2錯(cuò)誤!.??.b的取值X圍是<—叩一2錯(cuò)誤!>.2.已知離心率為錯(cuò)誤!的橢圓C1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,拋物線C2：y2=4mx<m>0>的焦點(diǎn)為F2,設(shè)橢圓C1與拋物線C2的一個(gè)交點(diǎn)為P<x0,y0>,PF1=錯(cuò)誤!.<1>求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程與拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；<2>直線x=m與橢圓C1在第一象限的交點(diǎn)為Q,若存在過(guò)點(diǎn)A<4,0>的直線1與橢圓C1相交于不同的兩點(diǎn)M,N,使得36AQ2=35AM?AN,求出直線1的方程.解<1>??在橢圓C1中c=m,e=錯(cuò)誤!，.?.a=2m,b2=3m2,設(shè)橢圓C1的方程為錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1,聯(lián)立錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1與y2=4mx,得3x2+16mx—12m2=0,即<x+6m>?<3x-2m>=0,得X=錯(cuò)誤!或一6m<舍去>,代入y2=4mx得y=±錯(cuò)誤!，???設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為<錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!>,PF2=錯(cuò)誤!+m=錯(cuò)誤!，PF1=2a一錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，；.m=1,此時(shí),橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1,拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.<2>由題設(shè)知直線1的斜率存在，設(shè)直線1的方程為y=k<x—4>,由錯(cuò)誤!消去y整理,得<3+4k2>x2—32k2x+64k2—12=0.由題意知Δ=<-32k2>2-4<3+4k2><64k2—12>>0,解得一錯(cuò)誤!<k<錯(cuò)誤!.設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>,則x1+x2=錯(cuò)誤!,x1x2=錯(cuò)誤!.由<1>知m=1,.?.錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤！??點(diǎn)Q的坐標(biāo)是<1,錯(cuò)誤!>..?.AQ2=錯(cuò)誤!，由已知條件可知AM?AN=錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.又AM?AN=錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤！=<k2+1>?<4-x1>?<4-x2>=<k2+1>[x1x2-4<x1+x2>+16]=<k2+1><錯(cuò)誤!一4×錯(cuò)誤!+16>=<k2+1>?錯(cuò)誤!.??旅2+1>錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，解得k=±錯(cuò)誤!,經(jīng)檢驗(yàn)成立.??直線l的方程為x-2錯(cuò)誤!y-4=0或x+2錯(cuò)誤!y-4=0.3.<2013?課標(biāo)全國(guó)∏>平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)橢圓M：錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1<a>b>0>右焦點(diǎn)的直線x+y-錯(cuò)誤!=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為錯(cuò)誤!.<1>求M的方程；<2>C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.解<1>設(shè)A<x1,y1>,B<x2,y2>,則錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1,①錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1,②①一②,得錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=0.因?yàn)殄e(cuò)誤!=-1,設(shè)P<x0,y0>,因?yàn)镻為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為錯(cuò)誤!，所以y0=錯(cuò)誤!x0,即y1+y2=錯(cuò)誤!<x1+x2>.所以可以解得a2=2b2,即a2=2<a2-c2>,即a2=2c2,又因?yàn)橛医裹c(diǎn)<c,0>在直線x+y-錯(cuò)誤!=0上，解得C=錯(cuò)誤!,所以a2=6,所以M的方程為錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1.<2>因?yàn)镃D⊥AB,直線AB方程為x+y-錯(cuò)誤!=0,所以設(shè)直線CD方程為y=x+m,將x+y-錯(cuò)誤!=0代入錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1得：3x2-4錯(cuò)誤!x=0,即A<0,錯(cuò)誤!>,B錯(cuò)誤!，所以可得AB=錯(cuò)誤!；將y=x+m代入錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1得：3x2+4mx+2m2-6=0,設(shè)C<x3,y3>,D<x4,y4>,則CD=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，又因?yàn)棣?16m2-12<2m2-6>>0,即一3<m<3,所以當(dāng)m=0時(shí),CD取得最大值4,所以四邊形ACBD面積的最大值為錯(cuò)誤!AB?CD=錯(cuò)誤!..已知橢圓C：錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1<a>b>0>,OO:x2+y2=b2,點(diǎn)A,F分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),點(diǎn)P是。O上的動(dòng)點(diǎn).<1>若P<—1,錯(cuò)誤!>,PA是。O的切線,求橢圓C的方程；<2>是否存在這樣的橢圓C,使得錯(cuò)誤!恒為常數(shù)？如果存在,求出這個(gè)常數(shù)與C的離心率e；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解<1>由P<—1,錯(cuò)誤!>在。O：x2+y2=b2上，得b2=1+3=4.直線PA的斜率kPA=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!,而直線PA的斜率kPA=—錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!,所以錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!,解得a=4.所以a2=16,所以橢圓C的方程為錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1.<2>假設(shè)存在橢圓C,使得錯(cuò)誤!恒為常數(shù).設(shè)橢圓C的半焦距為c,當(dāng)P<—b,0>時(shí),則有錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!；當(dāng)P<b,0>時(shí),則有錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.依假設(shè)有錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.①當(dāng)c—b>0時(shí),有錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，所以<a-b><b+c>=<a+b><c-b>,化簡(jiǎn)整理得a=c,這是不可能的.②當(dāng)c—b<0時(shí),有錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.所以<8-b><b+c>=<a+b><b-c>,化簡(jiǎn)整理得ac—b2=0.所以c2—a2+ac=0,兩邊同除以a2,得e2+e—1=0.解得e=錯(cuò)誤!,或e=錯(cuò)誤!?<0,1><舍去>.可見(jiàn),若存在橢圓C滿足題意，只可能離心率e=錯(cuò)誤!.設(shè)P<x,y>為。O：x2+y2=b2上任意一點(diǎn)，則錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.<*>由上c2—a2+ac=0,得a2—c2=ac,所以錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!?c=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=1,從而錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.代入<*>式得錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，所以存在滿足題意的橢圓C,這個(gè)常數(shù)為錯(cuò)誤!，橢圓C的離心率為e=錯(cuò)誤!..已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F<1,0>的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.<1>求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；<2>過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線11,12,設(shè)11與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!的最小值.解<1>設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為<x,y>,由題意有錯(cuò)誤!一∣x∣=1?化簡(jiǎn)得y2=2x+2∣x∣.當(dāng)x≥0時(shí),y2=4x；當(dāng)x<0時(shí),y=O.所以,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x<x≥0>和y=0<x<0>.<2>由題意知,直線Il的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則Il的方程為y=k<x—1>.由錯(cuò)誤!得k2x2-<2k2+4>x+k2=0.設(shè)A<xl,y1>,B<x2,y2>,則Xl,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是xl+x2=2+錯(cuò)誤!,xlx2=l.因?yàn)镮1LI2,所以12的斜率為一錯(cuò)誤!.設(shè)D<x3,y3>,E<x4,y4>,則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.故錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=<錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!>?<錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!>=錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤！=I錯(cuò)誤!∣?∣錯(cuò)誤!|十|錯(cuò)誤!∣?∣錯(cuò)誤!|=<xl÷l><x2÷1>÷<x3÷l><x4÷1>=xlx2÷<xl÷x2>÷l÷x3x4÷<x3÷x4>÷l=1+錯(cuò)誤!+l+l+<2+4k2>+l=8+4錯(cuò)誤!≥8+4x2錯(cuò)誤!=16.當(dāng)且僅當(dāng)k2=錯(cuò)誤!,即k=±l時(shí),錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤!取最小值16.6.在平面直角坐標(biāo)系xθy中,動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C1：錯(cuò)誤!+y2=l上,且到橢圓Cl的右焦點(diǎn)的距離與到直線x=2的距離之比等于橢圓的離心率.動(dòng)點(diǎn)Q是動(dòng)圓C2：x2+y2=r2<l<r<2>上一點(diǎn).<1>設(shè)橢圓Cl上的三點(diǎn)A<xl,yl>,B<l,錯(cuò)誤!>,C<x2,y2>與點(diǎn)F<l,0>的距離依次成等差數(shù)列,線段AC的垂直平分線是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；<2>若直線PQ與橢圓Cl和動(dòng)圓C2均只有一個(gè)公共點(diǎn),求BQ兩點(diǎn)的距離PQ的最大值.解<1>橢圓C1：錯(cuò)誤!+y2=l的離心率e=錯(cuò)誤!,右焦點(diǎn)為<L0>,由題意可得AF=錯(cuò)誤!<2—xl>,BF=錯(cuò)誤!<2—1>,CF=錯(cuò)誤!<2—x2>.因?yàn)?BF=AF+CF,所以錯(cuò)誤!<2—xl>+錯(cuò)誤!<2—x2>=2χ錯(cuò)誤!<2—1>,即得xl+x2=2.因?yàn)锳,C在橢圓上,故有錯(cuò)誤!+y錯(cuò)誤!=L錯(cuò)誤!+y錯(cuò)誤!=1,兩式相減,得kAC=錯(cuò)誤!=—錯(cuò)誤!=一錯(cuò)誤!.設(shè)線段AC的中點(diǎn)為<m,n>,而m=錯(cuò)誤!=l,n=錯(cuò)誤!，所以與直線AC垂直的直線斜率為k,=y2+yl=2n.則線段AC的垂直平分線的方程為y-n=2n<χ-l>,即y=n<2χ-1>經(jīng)過(guò)定點(diǎn)<錯(cuò)誤!,0>.即線段AC的垂直平分線過(guò)一個(gè)定點(diǎn)<錯(cuò)誤!,0>.<2>依題意得,直線PQ的斜率顯然存在，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+t,設(shè)P<x,l,y,l>,Q<x,2,y,2>,由于直線PQ與橢圓Cl相切，點(diǎn)P為切點(diǎn),從而有錯(cuò)誤！得<2k2+l>x'錯(cuò)誤!+4ktx'l+2<t2—1